基于數(shù)學(xué)史視角的“完全平方公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

肖敬 隆廣慶 李碧榮

【摘要】本文闡述基于數(shù)學(xué)史的“完全平方公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)《九章算術(shù)》中的問(wèn)題導(dǎo)入，讓學(xué)生在情境中動(dòng)手操作探究完全平方公式的定義，以生活中的問(wèn)題引出公式的證明并滲透《幾何原本》的相關(guān)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰豌@研精神。

【關(guān)鍵詞】完全平方公式 數(shù)學(xué)史 教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）07A-0085-04

“完全平方公式”是整式的乘法以及平方差公式的延伸，是后面學(xué)習(xí)因式分解、配方法的鋪墊。筆者在設(shè)計(jì)“完全平方公式”的教學(xué)時(shí)，一方面融入了完全平方公式的數(shù)學(xué)史，既有利于學(xué)生了解完全平方公式的背景，又激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣;另一方面，通過(guò)具體情境，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，自主合作探究公式，既有利于學(xué)生理解完全平方公式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用意識(shí)，又能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Α?/p>

一、教材分析

本節(jié)課的內(nèi)容來(lái)自人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十四章，是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的乘法以及平方差公式后的延伸，為將來(lái)學(xué)習(xí)因式分解、配方法鋪墊，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰豌@研精神，所以本節(jié)課的內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。

二、學(xué)情分析

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了整式的乘法運(yùn)算以及平方差公式，初步具備了歸納總結(jié)能力。中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不夠嚴(yán)謹(jǐn)，可能會(huì)忽略公式中字母的結(jié)構(gòu)特征以及含義。但中學(xué)生有比較強(qiáng)的好奇心以及求知欲，教師在教學(xué)中能夠根據(jù)學(xué)生的這一特點(diǎn)，把課堂交給學(xué)生，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的主動(dòng)性，讓學(xué)生自主探究，對(duì)公式進(jìn)行推導(dǎo)論證，自主探究公式的結(jié)構(gòu)特征，理解公式中字母的含義。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：了解完全平方公式背景，能正確理解完全平方公式，能正確運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。

過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)數(shù)學(xué)史和具體情境探索發(fā)現(xiàn)完全平方公式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用意識(shí);在對(duì)完全平方公式進(jìn)行推導(dǎo)論證和應(yīng)用的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：體驗(yàn)運(yùn)用完全平方公式簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)符號(hào)感;體驗(yàn)數(shù)學(xué)史的融入，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣;在自主探究合作交流的學(xué)習(xí)過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

四、教學(xué)重難點(diǎn)及解決措施

教學(xué)重點(diǎn)：完全平方公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程、公式的本質(zhì)、公式的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：公式中字母的含義。

解決措施：在處理教學(xué)重點(diǎn)時(shí)，首先以數(shù)學(xué)史引入，然后由淺入深，層層遞進(jìn)，采用數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度推導(dǎo)得到完全平方公式，然后以數(shù)學(xué)史呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)公式的結(jié)構(gòu)特征;在處理教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生理解公式中的字母不僅可以表示數(shù)，還可以表示單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，再輔以練習(xí)加以強(qiáng)化。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入主題

1.情境一

師：我們已經(jīng)知道一個(gè)正方形的面積為55225，如果沒(méi)有計(jì)算器，我們能不能快速求得邊長(zhǎng)呢？

（預(yù)設(shè)學(xué)生覺(jué)得很難算出來(lái)）

師：我們要求正方形的邊長(zhǎng)，也就是求[55225]的值。因?yàn)?00[2]>55225>200[2]，所以[55225]的百位數(shù)字是2;所以就有55225=（200+x）[2]=40000+400x+x[2]，可以知道400x<15225，則有[55225]的十位數(shù)字是3;于是55225=（230+y）[2]=52900+460y+y[2]，而460y<2325，所以y=5;而剛好發(fā)現(xiàn)2325=460×5+5[2]，所以就得出了[55225=235]。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，我們中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家劉徽運(yùn)用了“位值估計(jì)”的算法很快解答出來(lái)了，并用到了下面的表格，或許有同學(xué)還不理解這解法，沒(méi)關(guān)系，經(jīng)過(guò)我們下面的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們會(huì)和我們古代數(shù)學(xué)家劉徽一樣的聰明。

2.情境二

師：剛才的正方形的面積太大，同學(xué)們不會(huì)算，現(xiàn)在這些面積小的正方形看看同學(xué)們會(huì)不會(huì)算。（1）邊長(zhǎng)為多少的正方形的面積為4？（2）邊長(zhǎng)為多少的正方形的面積為9？（3）邊長(zhǎng)為多少的正方形的面積為5？

學(xué)生對(duì)于第（3）問(wèn)的回答可能會(huì)不一樣，但學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)第（3）問(wèn)中的邊長(zhǎng)是介于2和3之間，然后教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)第（3）問(wèn)中的邊長(zhǎng)為（2+x）或者（3-x）。學(xué)生懂得設(shè)邊長(zhǎng)之后，可以進(jìn)一步列出方程（2+x）[2]=5或（3-x）[2]=5，教師引導(dǎo)學(xué)生思考方程左邊的代數(shù)式到底是什么，這就是本節(jié)課要探尋的秘密。

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境引入，古代的數(shù)學(xué)家可以將問(wèn)題解答出來(lái)，但自己卻不明白，激起了學(xué)生的好奇心和求知欲，制造懸念;在情境二中設(shè)置問(wèn)題串，讓學(xué)生有一定的成就感，有利于激起學(xué)生探究的主觀能動(dòng)性，這是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的原過(guò)程，同時(shí)也是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

（二）動(dòng)手操作，探究問(wèn)題

1.引導(dǎo)學(xué)生用多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則算出（2+x）[2]的值。

2.計(jì)算下列多項(xiàng)式的積。

a.（p+1）[2]=（p+1）（p+1）=

b.（m+2）[2]=

c.（p-1）[2]=

d.（m-2）[2]=

設(shè)計(jì)意圖：計(jì)算多項(xiàng)式的平方，可以看成計(jì)算兩個(gè)相同的多項(xiàng)式相乘，一方面引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，另一方面為下面學(xué)習(xí)完全平方公式鋪墊，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會(huì)從一般到特殊的思想，從而引出乘法公式——完全平方公式。

3.讓學(xué)生觀察剛才計(jì)算的式子，回答下列問(wèn)題。

a.等號(hào)的左邊都有什么相同特點(diǎn)？

b.計(jì)算出的結(jié)果有相似之處嗎？

c.你有什么發(fā)現(xiàn)，可以用字母表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在已具有前面知識(shí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己去觀察，探索具有一定形式特征的多項(xiàng)式乘法——完全平方公式，這樣的過(guò)渡顯得自然、合理，同時(shí)也是把課堂交給學(xué)生，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。通過(guò)由淺入深、循序漸進(jìn)的“計(jì)算與觀察”任務(wù)，一方面滿足了不同學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展需要，另一方面有利于引導(dǎo)學(xué)生自主實(shí)踐探究，積極地開(kāi)展思維活動(dòng)，尋求算式兩邊的左右聯(lián)系，獲得“發(fā)現(xiàn)”，找到“完全平方式的結(jié)構(gòu)特征”。

4.學(xué)生能夠大概概括出以上式子的結(jié)構(gòu)特征：

（a+b）[2]=a[2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2]

（a-b）[2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2]

教師帶領(lǐng)學(xué)生用同樣的字母復(fù)述剛才的式子，以證實(shí)學(xué)生猜想的結(jié)構(gòu)特征是正確的，并表明這就是本節(jié)課的主角“完全平方公式”。

教師板書(shū)課題“完全平方公式”，寫(xiě)下完全平方公式的兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式：

（a+b）[2]=a[2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2]

（a-b）[2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2]

設(shè)計(jì)意圖：在這里把課題引出，又激起了學(xué)生的思考，“這公式和剛才數(shù)學(xué)家的解答有聯(lián)系嗎”，引起學(xué)生繼續(xù)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的熱情。

5.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的左右兩邊，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)述公式，探究?jī)蓚€(gè)公式相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，給完全平方公式下一個(gè)確切的定義。

a.公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方;

b.公式的右邊的兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)相同，中間項(xiàng)是兩項(xiàng)乘積的2倍，并且中間項(xiàng)符號(hào)要看左邊兩項(xiàng)之間的符號(hào)。

教師板書(shū)：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。

設(shè)計(jì)意圖：師生一起觀察公式，用語(yǔ)言復(fù)述公式，探究公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有利于加深學(xué)生對(duì)公式的表層理解，結(jié)構(gòu)特征不會(huì)變，字母是可以變化的，能夠讓學(xué)生積極思考，真正去探尋公式的本質(zhì)特征，理解公式的內(nèi)涵，同時(shí)發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生真正參與到課堂的思考學(xué)習(xí)中。

（三）推理論證，概括結(jié)論

1.教師拋出問(wèn)題：下面的圖1中的①是王叔叔在“科技下鄉(xiāng)”活動(dòng)中邊長(zhǎng)為a米的正方形試驗(yàn)田，王叔叔有信心大膽一試，所以他現(xiàn)在想把試驗(yàn)田的邊長(zhǎng)增加b米;如圖所示，圖2的大正方形是李叔叔在“科技下鄉(xiāng)”活動(dòng)中邊長(zhǎng)為a米的正方形試驗(yàn)田，但是他擔(dān)心收益不好，所以他想把試驗(yàn)田的邊長(zhǎng)縮短b米，成為如圖2中①所示的圖形。請(qǐng)同學(xué)們分小組討論，用不同的方式來(lái)表示王叔叔和李叔叔調(diào)整后的試驗(yàn)田的面積，待會(huì)請(qǐng)小組代表展示成果。

2.讓學(xué)生觀察所寫(xiě)出來(lái)的兩個(gè)試驗(yàn)田面積的不同表示方法，說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。

猜測(cè)：學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)所寫(xiě)出來(lái)的兩種面積的表示方法的結(jié)構(gòu)特征正符合剛才所學(xué)的完全平方公式。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，以“試驗(yàn)田”的生活情境為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生有熟悉感，通過(guò)有實(shí)際意義的問(wèn)題吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與課堂的學(xué)習(xí)探究。在小組談?wù)撎剿鞯倪^(guò)程中發(fā)現(xiàn)完全平方公式，符合建構(gòu)主義的教學(xué)方法，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)、學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握知識(shí)。

3.古希臘時(shí)期的完全平方公式

師：其實(shí)，在《幾何原本》有記載，如果任意兩分一條線段，則在整個(gè)線段上的正方形等于各個(gè)小線段上的正方形的和加上由兩個(gè)小線段構(gòu)成的矩形的二倍。這實(shí)際上是對(duì)完全平方公式的抽象，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得首次抽象出來(lái)并以幾何命題的形式出現(xiàn)的。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)計(jì)算試驗(yàn)田的面積，經(jīng)過(guò)“數(shù)形結(jié)合”的推理論證，學(xué)生對(duì)于完全平方公式的幾何論證有了一定的理解，再一次提起剛才古代數(shù)學(xué)家的小故事，引入古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)完全平方公式的記載，前后兩次數(shù)學(xué)史相呼應(yīng)，再次引起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，強(qiáng)調(diào)公式的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生敬佩古人的智慧，感悟數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，深刻了解數(shù)學(xué)史發(fā)展的客觀規(guī)律。

4.師：從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，試驗(yàn)田就是一個(gè)幾何圖形，剛剛我們推導(dǎo)了幾何圖形的面積，而這兩塊試驗(yàn)田調(diào)整后的兩種面積表示方法剛好符合完全平方公式，也就是說(shuō)，我們從幾何方面論證了完全平方公式。大家思考一下，這里的a、b可以表示什么呢？

教師和學(xué)生再次觀察完全平方公式，總結(jié)歸納公式特征：乘積是二次三項(xiàng)式，積中首尾兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和，中間一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且乘積的符號(hào)與兩項(xiàng)符號(hào)有關(guān)——同號(hào)為加、異號(hào)為減，公式中的字母a、b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

師：同學(xué)們有沒(méi)有一個(gè)比較好的記憶完全平方公式的方法呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納完全平方公式的記憶口訣：“首平方，尾平方，積的兩倍放中央，積的符號(hào)看前方?！?/p>

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生歸納記憶方法，接著教師歸納總結(jié)，學(xué)生可以進(jìn)一步理解公式，這時(shí)候強(qiáng)調(diào)公式中字母a、b表示的意義——可以表示數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，讓學(xué)生意識(shí)到字母的可變性和公式結(jié)構(gòu)的不變性，讓知識(shí)得到進(jìn)一步的深化。

（四）鞏固練習(xí)，變式訓(xùn)練

例 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算。

（1）（4m+n）[2]

解：（4m+n）[2]=（4m）[2]+2·（4m）·n+n[2]

=16m[2+8mn+n2]

（2）99[2]

解：99[2]=（100-1）[2]=100[2]-2×100×1+1[2]

=10000-200+1

=9801

練習(xí)1：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算。

（1）（x-2y）[2]? （2）102[2]? （3）（x+6）[2]

（4）（-2x+5）[2] （5）（y-[12]）[2] （6）（-3m-5n）[2]

思考：①（a+b）[2]與（-a-b）[2]相等嗎？

②（a-b）[2]與（b-a）[2]相等嗎？

③（a-b）[2]與a[2]-b[2]相等嗎？

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)題的設(shè)置由淺入深，讓每個(gè)學(xué)生能夠感受到學(xué)有所成，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。習(xí)題的設(shè)置，套用公式，突出公式中的字母a、b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式，有利于突破教學(xué)難點(diǎn)。思考問(wèn)題的提出，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰豌@研精神。

（五）課堂小結(jié)，溫故知新

1.今天你學(xué)習(xí)到了哪些知識(shí)？

2.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你體會(huì)到什么數(shù)學(xué)思想方法？

3.完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？

（a+b）[2=a2+2ab+b2]

（a-b）[2=a2-2ab+b2]

記憶口訣：首平方，尾平方，積的兩倍放中央，積的符號(hào)看前方。

4.你能快速解決情境一的問(wèn)題嗎？

（六）布置作業(yè)，走進(jìn)生活

1.書(shū)本P110練習(xí)題第1、2題。

2.以“大家好，我是完全平方公式”為開(kāi)頭，根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，寫(xiě)一段關(guān)于完全平方公式的自述和應(yīng)用。

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

【參考文獻(xiàn)】

[1]李雨萌.初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中學(xué)情分析的研究[D].沈陽(yáng)師范大學(xué)，2017

[2]栗小妮，沈中宇.“完全平方公式”：從歷史中找動(dòng)因、看形式[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（3）

[3]張亞琦，汪曉勤.乘法公式：從歷史到課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（4）

[4]張俊忠.數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教育研究[M].貴陽(yáng)：貴州大學(xué)出版社，2017

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[7]徐強(qiáng).學(xué)材再建構(gòu)，從教程走向?qū)W程——以“完全平方公式（第一課時(shí)）”學(xué)程設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（5）

注：本文系廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)研究”（編號(hào)：2016ZJY002）、廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目“多學(xué)科交叉融合環(huán)境下以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)專業(yè)研究生培養(yǎng)改革研究”（編號(hào)：JGY2017086）以及廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目“計(jì)算傳播學(xué)視域下數(shù)據(jù)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)與新聞學(xué)跨科復(fù)合型人才培養(yǎng)的教改革與實(shí)踐”（編號(hào)：2019JGA227）的研究成果。

作者簡(jiǎn)介：肖敬（1995— ），女，廣東茂名人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。

隆廣慶（1974— ），男，廣西南寧人，教授，博士研究生，博士生導(dǎo)師，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。

李碧榮（1964— ），女，廣西南寧人，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

（責(zé)編 劉小瑗）