“三象一作”認知方法下的數(shù)學概念教學——以“認識平均分”為例

錢艷妮 孫曉華

摘要：“三象一作”（現(xiàn)象、心象、抽象、操作）的數(shù)學認知過程（方法）對于小學數(shù)學教學具有理論指導意義及可操作性。教師可以遵循這一認知過程，有意識地鼓勵、引導學生搜集、觀察身邊的數(shù)學現(xiàn)象，再通過多種策略幫助學生在頭腦中形成科學規(guī)范的心智圖像，最后通過層層抽象幫助學生完成知識的建構。教學“認識平均分”時，注意創(chuàng)設現(xiàn)象情境，著力于多種分法形象的積累;激活心智圖像，著力于平均分內涵的清晰;進行數(shù)學抽象，著力于平均分概念的形成;開展操作活動，著力于平均分本質的深化。

關鍵詞：三象一作數(shù)學概念教學認識平均分

王名揚老師和徐瀝泉老師、徐利治先生在《論一種緣自認知心理學及教育學研究的數(shù)學認知過程》一文中提出“三象一作”（現(xiàn)象、心象、抽象、操作）的數(shù)學認知過程。這一認知過程（方法）對于小學數(shù)學教學具有理論指導意義及可操作性。在日常教學實踐中，我們遵循這一認知過程，有意識地鼓勵、引導學生搜集、觀察身邊的數(shù)學現(xiàn)象，再通過多種策略幫助學生在頭腦中形成科學規(guī)范的心智圖像，最后通過層層抽象幫助學生完成知識的建構。下面，以蘇教版小學數(shù)學二年級上冊“認識平均分”的教學為例，談談具體的做法。

一、創(chuàng)設現(xiàn)象情境：著力于多種分法形象的積累

數(shù)學是研究數(shù)學現(xiàn)象的科學。數(shù)學現(xiàn)象是數(shù)學形式化題材的生命之源，也是學生心智圖像形成的客觀背景。生活中存在著大量的數(shù)學現(xiàn)象，我們可以由此創(chuàng)設教學情境。

在教學“平均分”時，教師首先要從平均分的知識和學生已有的認知經(jīng)驗出發(fā)，呈現(xiàn)有效的數(shù)學現(xiàn)象，引入平均分的概念。綜合平均分知識的生長線索和低年級學生的認識特點考慮，在呈現(xiàn)有關平均分的數(shù)學現(xiàn)象時，要緊扣趣味性、多樣性等特征，引導學生搜集分法的現(xiàn)象，幫助學生積累多種不同分法的形象。

（一）引入生動有趣的數(shù)學現(xiàn)象

華羅庚先生說過：“人們對數(shù)學早就產(chǎn)生了枯燥乏味、神秘難懂的印象，原因之一便是脫離了實際?！币虼?，依據(jù)學生熟悉的實際生活創(chuàng)設教學情境，讓學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學現(xiàn)象，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，就顯得尤為重要了。

課始，教師向學生呈現(xiàn)“學校棒球隊9月份去臺灣參加‘海峽杯比賽，奪得了金燦燦的冠軍獎杯。他們凱旋的那天正好是中秋節(jié)，學校給他們送來了月餅”的場景，提出“每組6人（教練員1人、五年級隊員2人、六年級隊員3人，如圖1）領到6個月餅，可以怎樣分”的問題。這一問題情境迅速引發(fā)了學生參與思考的熱情和欲望。透過這一現(xiàn)象，學生可以真切地感受到“怎樣分物品”是現(xiàn)實生活中需要解決的問題。

（二）積累豐富多彩的數(shù)學形象

之后，教師根據(jù)圖1，引導學生思考如何分。從圖片信息出發(fā)，學生自然地想到了兩種分法：①把6個月餅分成6份，每人1個;②把6個月餅分成3份，分別是1個、2個和3個。教師啟發(fā)：能不能從教練員和隊員兩類考慮？這一問題又誘發(fā)出如下分法：③把6個月餅分成2份，教練員作為1份（1個），五、六年級隊員合起來作為1份（5個）。受此啟發(fā)，許多學生認為還可以有如下方法：④教練員與五年級隊員合起來作為1份（3個），六年級隊員作為1份（3個）;⑤教練員與六年級隊員合起來作為1份（4個），五年級隊員作為1份（2個）。至此，學生的思路更加開闊，還想到如下分法：⑥教練員與六年級的1個隊員合起來作為1份（2個），六年級剩下的隊員作為1份（2個），五年級隊員作為1份（2個）;⑦五年級隊員作為2份（2個），教練員與六年級隊員合起來作為1份（4個）;⑧六年級隊員作為3份（3個），教練員和五年級隊員合起來作為1份（3個）;⑨教練員與六年級隊員作為4份（4個），五年級隊員作為1份（2個）;⑩教練員與六年級的1個隊員作為2份（2個），六年級剩下的隊員作為1份（2個），五年級隊員作為1份（2個）。而后，教師把學生的這幾種分法匯集起來進行板書（如圖2）。

可以看到，學生創(chuàng)設的多種不同的分法都是具有現(xiàn)實意義的，都是數(shù)學現(xiàn)象。學生在創(chuàng)設的過程中情緒是高漲的，思維是活躍的。更重要的是，這些數(shù)學現(xiàn)象蘊含了平均分知識的線索和內涵，為學生心智圖像的形成奠定了基礎。

二、激活心智圖像：著力于平均分內涵的清晰

“心智圖像是數(shù)學現(xiàn)象在人們心目中呈現(xiàn)的一類未經(jīng)理性分析的直覺形象，是人們對數(shù)學現(xiàn)象的某種直接的領悟和圖像?！睌?shù)學現(xiàn)象是對數(shù)學內涵的呈現(xiàn)，心智圖像則是對數(shù)學內涵的二次呈現(xiàn)。心智圖像具有一定的概括性，由此也就有了不同的遷移能力。數(shù)學學習中，并非概括水平越高的心智圖像越有利于理解，而是在不同的階段需要相應水平的心智圖像。數(shù)學教學中，引導建構的心智圖像必須能夠反映數(shù)學的本質，因為不管形成怎樣的心智圖像，目的都是幫助學生理解數(shù)學。

“平均分”是除法知識中一個重要的起始概念。為了幫助學生建構有效的心智圖像，獲得較為清晰的認知圖式，教師在教學中預設形成以下心智圖像：

第一，教師引導學生觀察比較多種不同的分法（圖2），要求學生努力發(fā)現(xiàn)哪些分法有共同的特點。經(jīng)過討論，師生得到兩種不同的分類（如圖3）：一是每份分得同樣多的，二是每份分得不同樣多的。這一心智圖像的形成讓學生順利從多種不同的分法過渡到兩種不同的類別，有助于學生在對比中凸顯對“每份分得是否同樣多”特點的感悟。

第二，教師引導學生觀察比較每份分得同樣多的3種分法（圖3中的第一類），再按每份分得的個數(shù)多少進行有序排列（如圖4）。這種心智圖像的形成讓學生對“同樣多”的含義具體化，從中領悟到“同樣多”也是可以有多種不同的樣式的，使“同樣多”的內涵得到豐富。

三、進行數(shù)學抽象：著力于平均分概念的形成

學生對數(shù)學現(xiàn)象形成了未經(jīng)理性分析的直覺形象后，還需要進一步通過心象的豐富、變化、組合、聯(lián)結等過程，形成概括性的抽象概念。

在這一環(huán)節(jié)，教師開展如下三個層次的教學。

（一） 橫向比較歸納——運用數(shù)學語言表達平均分的意義

借助圖3，教師提問：為什么把①號、④號、⑥號分法分在第一類，把其余分法分在第二類呢？學生回答：第一類的3種分法與第二類的7種分法有不一樣的特點。教師追問：第一類的分法與第二類的分法分別有什么不同的特點呢？學生回答：第一類每種分法中的每份都是同樣多的，第二類每種分法中的每份都是不同樣多的。教師板書：每份分得同樣多。這樣，從事物的具體背景中把一類事物的本質特征抽取出來。而后，教師揭示平均分的名稱。

（二） 縱向比較歸納并舉例——豐滿平均分的意義

師（指圖4）這三種分法有個簡潔的新名字，你知道是什么嗎？

生平均分。

師為什么？

生因為它們分得一樣多。

生因為在它的每種分法中，每份分得都是同樣多的。

師這位同學說得真好！那么，（指圖4中的排列一）觀察這三種分法，它們又有什么不同點呢？

生第一種每份都是1個，第二種每份都是2個，第三種每份都是3個。

師說得好！同樣是平均分，即每份分得同樣多，也是可以有多種不同的樣式的。你能說說實際生活中還有哪些不同的樣式嗎？

生寫5行字，每行4個。

生我們教室里有8排學生，每排都是5人。

生電腦教室里有8張電腦桌，每張桌上有6臺電腦。

……

（三） 順向判斷，逆向索因——加深平均分意義的理解

教師出示圖5，讓學生判斷哪種分法是平均分，并要求學生說清楚判斷的理由，然后提出如下問題：如果把這9個球平均分成3份，每份之間應該怎樣移補？如果平均分成3份，每份是2個，球的總數(shù)應該是幾個？需要去掉幾個？如果平均分成3份，每份是5個，球的總數(shù)又應該是幾個？需要添上幾個？經(jīng)過這樣先順向判斷，后逆向索因的思維活動，學生更能充分地理解平均分的意義，完整地建構平均分的概念了。

四、開展操作活動：著力于平均分本質的深化

所謂“操作階段”，就是對知識不斷運用和不斷“再認識”“再提升”的階段。這一階段“就是在合乎邏輯法則的條件下，操作運用抽象的數(shù)學知識與數(shù)學方法（包括數(shù)學符號和數(shù)學語言的運用），去處理數(shù)學問題并進一步去發(fā)展數(shù)學理論知識”。

教學中，教師通過以下兩個層次的操作活動，讓學生發(fā)現(xiàn)新知識，加深對平均分意義和特點的認識。

（一）多題歸一

題組（1）有8個蘋果，每個小朋友分2個，可以分給幾個小朋友？

8個，每人分2個，可以分給（）人。

（2）圈一圈，填一填。

9塊，每（）塊一份，分成了（）份。

（3）圈一圈，填一填。

（）個，每5個一份，分成了（）份。

由于學生初次運用平均分概念解決實際問題，針對第（1）題，教師提示學生“每個小朋友分2個，也就是2個2個地分”;針對第（2）、第（3）題，教師提醒學生運用圈一圈的方法。學生完成后，教師提問：這三道題的分法有什么不同？有什么相同之處？在比較、分析、歸納中，學生感悟到：雖然平均分被賦予了不同的生活元素，但是剔除非本質的因素，不管是把8個蘋果每2個一份地分，還是把9塊橡皮每3塊一份地分，或者把15個筆套每5個一份地分，都是每份分得同樣多。

（二）一題多變

題1先用12支鉛筆分一分，再填空。

（1）每1支一份，可以分成（）份。

（2）每2支一份，可以分成（）份。

（3）每3支一份，可以分成（）份。

教學時，教師先讓學生操作分法，并根據(jù)學生的反饋匯總成表格（如表1）。接著，引導學生觀察、比較、分析：①要分的12支鉛筆與每份的支數(shù)及分成的份數(shù)有什么關系？（1×12=12，2×6=12，3×4=12）②根據(jù)上述關系，你能猜一猜12支鉛筆還可以每幾支一份地分，分成的份數(shù)是多少嗎？（每4支一份，分成3份;每6支一份，分成2份）然后，根據(jù)學生的猜想，用操作進行驗證。之后，引導學生思考：從上往下看，每份的支數(shù)怎樣變化？分成的份數(shù)呢？從下往上看呢？學生通過觀察、比較、推想，發(fā)現(xiàn)把總數(shù)平均分之后，總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)之間存在的特定關系，從而感悟到不管每份的支數(shù)與分成的份數(shù)怎樣變化，它們相乘的結果即總數(shù)是不變的，由此滲透了變化與對應的思想。

師（利用多媒體課件，動態(tài)演示“把15個氣球每人3個，發(fā)給排在前面的2人”）照這樣分一分，15個氣球可以分給幾個小朋友？

生可以分給5個小朋友。

師你是怎樣想的？

生順著次序分給小朋友，3個一份地分，分5份，正好分完。

生我想用減法：分給一個小朋友就減去一個3，依次用15-3-3-3-3-3=0，減5次是0，說明正好分完，所以可以分給5個小朋友。

生我直接想5個3是15，所以分給了5個小朋友。

（教師出示如下變式問題，讓學生看圖填空。）

15個，每人分3個，可以分5人。

（）個，每人分3個，可以分（）人。

（）個，每人分3個，可以分（）人。

（）個，每人分3個，可以分（）人。

師你還能依次想到把幾個氣球每人分3個，分給幾個人呢？

生27個氣球分給9個人，30個氣球分給10個人，33個氣球分給11個人。

師照這樣的規(guī)律往下想，說得完嗎？

生說不完，有很多很多這樣的數(shù)。

對于此題，教師同樣沒有因為獲得解答結果而止步，而是引導學生進行更高層次的思維爬坡，讓學生通過觀察、比較和推想，知道符合上述規(guī)律的總個數(shù)和可以分給的人數(shù)都有無窮個，再一次感受到兩個量之間的變化與對應關系。

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