從兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)——以《不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算》一課為例

崔宏宇

摘要：在“以人為本”的教育理念下，我們的教學(xué)應(yīng)尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，將他們已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（現(xiàn)有的水平）作為教學(xué)的起始點(diǎn)，將他們當(dāng)下的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（問題、困惑、經(jīng)驗(yàn)、感受等，即“最近發(fā)展區(qū)”）作為教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，將他們可能的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（潛在的發(fā)展水平）作為教學(xué)的拓展點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)以學(xué)定教不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算

在“以人為本”的教育理念下，我們的教學(xué)應(yīng)尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，將他們已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（現(xiàn)有的水平）作為教學(xué)的起始點(diǎn)，將他們當(dāng)下的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（問題、困惑、經(jīng)驗(yàn)、感受等，即“最近發(fā)展區(qū)”）作為教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，將他們可能的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（潛在的發(fā)展水平）作為教學(xué)的拓展點(diǎn)。下面，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算》一課為例加以說明。

一、挖掘?qū)W生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，尋找教學(xué)的起始點(diǎn)

本課，教材文本首先呈現(xiàn)了“購買圍棋與象棋”的情境（例1），引出“三步混合運(yùn)算在特定的情況下簡(jiǎn)化成兩步運(yùn)算”的知識(shí);然后通過“試一試”，教學(xué)三步混合運(yùn)算的計(jì)算順序，即在沒有括號(hào)的算式里，要先算乘、除法，再算加、減法。

而學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，已經(jīng)理解了四則運(yùn)算的意義，掌握了兩步混合運(yùn)算的計(jì)算順序，能通過遷移、類推的方法自主探究三步混合運(yùn)算的計(jì)算順序。

基于知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)系和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，筆者認(rèn)為，本課應(yīng)該遵循“從一般到特殊”的邏輯順序進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知遷移過程，從而掌握一般的三步混合運(yùn)算的計(jì)算順序，并以之為進(jìn)一步學(xué)習(xí)簡(jiǎn)化計(jì)算的基礎(chǔ)。

因此，筆者將教材中的“試一試”（如圖1）前置，并增設(shè)了現(xiàn)實(shí)情境：張老師買書付了150元，又買了5支筆，筆的價(jià)格如圖2所示，張老師一共要付多少元？要求學(xué)生先獨(dú)立完成，再在小組內(nèi)交流各自的算式和想法。

學(xué)生完成后，筆者展示了三位學(xué)生的做法（見圖3～圖5），并請(qǐng)他們分別介紹自己的做法。學(xué)生分享后，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察比較，尋找異同。通過交流反饋，學(xué)生明確三位同學(xué)算法的相同之處在于：都是先算筆的單價(jià)，再算5支筆的總價(jià)，最后加上書的價(jià)格;都是先算除法，再算乘法，最后算加法。不同之處在于：第一位同學(xué)用的是分步算式，后面兩位同學(xué)用的是綜合算式;而兩個(gè)綜合算式中150的位置不同，一個(gè)在前，一個(gè)在后。

二、捕捉學(xué)生當(dāng)下的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，尋找教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)

課堂教學(xué)是一個(gè)流動(dòng)的進(jìn)程，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生當(dāng)下的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（課堂生成）為他們創(chuàng)造探究知識(shí)的空間，在關(guān)鍵處通過問題驅(qū)動(dòng)、思維啟發(fā)、探究辨析等方式，幫助學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)涵，從而極大地豐富學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)，引發(fā)深度思考。

隨著問題的不斷解決，學(xué)生對(duì)一般的不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算的運(yùn)算順序的感性認(rèn)識(shí)不斷累積，并與先前關(guān)于運(yùn)算順序的認(rèn)知達(dá)成一致——這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)簡(jiǎn)化計(jì)算的必要基礎(chǔ)。

鑒于列綜合算式是進(jìn)行運(yùn)算順序教學(xué)的前提，更是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的重要載體，筆者對(duì)教材中的例1也進(jìn)行了改編，增加了列綜合算式解答的要求（見圖6）。

學(xué)生完成后，筆者展示了兩位學(xué)生的做法（見圖7、圖8），并請(qǐng)他們分別介紹自己的做法。對(duì)于兩種不同的算法，學(xué)生出現(xiàn)了不同的觀點(diǎn)和疑問，并就此展開了積極的交流和討論：有的學(xué)生認(rèn)為這里的兩個(gè)乘法算式不能同時(shí)計(jì)算，要和之前一樣一步一步地計(jì)算，他們還以150+120÷6×5的計(jì)算過程為例進(jìn)行補(bǔ)充說明，指出不算120÷6沒辦法計(jì)算20×5;有的學(xué)生則認(rèn)為兩個(gè)乘法算式可以同時(shí)計(jì)算，他們指出在150+120÷6×5中乘和除是連在一起的，但12×3+15×4算式中間是有加號(hào)連接的，乘和除又是同級(jí)運(yùn)算，所以可以同時(shí)計(jì)算;還有一部分學(xué)生提出兩種計(jì)算過程都是合理的，都能解決這個(gè)問題，只是第二種方法省略了計(jì)算步驟。此后，筆者引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合問題情境明確：這里既可以先算出3副中國象棋的價(jià)格，也可以先算出4副圍棋的價(jià)格。在肯定了兩種做法都是正確的同時(shí)，筆者進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這里的兩個(gè)乘法算式是可以同時(shí)計(jì)算的。

為了使學(xué)習(xí)材料更加豐富，筆者還在此增設(shè)了一個(gè)平行練習(xí)（見圖9）。

學(xué)生完成后，筆者引導(dǎo)全班交流反饋，然后比較改編后的例1和平行練習(xí)，歸納得出：只有加、減在中間，乘、除在兩邊的情況下，乘、除可以同時(shí)計(jì)算。

接著，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察改編后的“試一試”和例1，明確什么情況下乘、除可以同時(shí)計(jì)算，什么情況下乘、除不可以同時(shí)計(jì)算，體會(huì)到同時(shí)計(jì)算兩步高級(jí)運(yùn)算可以使計(jì)算過程簡(jiǎn)化。

三、預(yù)設(shè)學(xué)生可能的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，尋找教學(xué)的拓展點(diǎn)

在前述學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，筆者提煉出一組對(duì)比題（見圖10），通過題組練習(xí)，讓學(xué)生將掌握的混合運(yùn)算順序加以運(yùn)用。

64+4-8×864+4-8÷8

64×4-8+864÷4+8÷8

圖10學(xué)生完成后，筆者讓學(xué)生先說出每道算式的計(jì)算順序，再觀察算式，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生匯報(bào)交流時(shí)，筆者適時(shí)進(jìn)行總結(jié)：（1）數(shù)字相同，運(yùn)算符號(hào)不同，運(yùn)算順序不同，結(jié)果不同。（2）有的算式可以同時(shí)計(jì)算，有的算式只能一步一步計(jì)算。

接著，筆者出示“80、40、4、2、×、÷、-”，讓學(xué)生根據(jù)如下要求，運(yùn)用所給的數(shù)字和符號(hào)，寫出相應(yīng)的綜合算式。

（1）算式中乘和除同時(shí)計(jì)算。

（2）算式中乘和除同時(shí)計(jì)算，且結(jié)果最大。

（3）算式中乘和除同時(shí)計(jì)算，且結(jié)果最小。

絕大多數(shù)學(xué)生都能獨(dú)立寫出符合要求（1）的算式，有的學(xué)生能夠?qū)懗龆鄠€(gè)。在分享交流的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：要想乘和除同時(shí)計(jì)算，就要先把減號(hào)放在中間，然后進(jìn)行其他符號(hào)和數(shù)字的組合。進(jìn)一步強(qiáng)化簡(jiǎn)算條件：只有加、減在中間，乘、除在兩邊的時(shí)候，乘、除才可以同時(shí)計(jì)算。

寫符合要求（2）的算式，學(xué)生的正確率明顯下降。全班交流反饋后，結(jié)合得到的算式80×40-4÷2，筆者指出：要滿足乘和除同時(shí)計(jì)算，減號(hào)還是要放在中間;要讓結(jié)果最大，就要使被減數(shù)盡可能大，減數(shù)盡可能小，所以前面用兩個(gè)較大的數(shù)相乘，后面用兩個(gè)接近的數(shù)相除。

由于有了上一題的經(jīng)驗(yàn)，寫符合要求（3）的算式，學(xué)生的完成度較高。全班交流反饋后，結(jié)合得到的算式，筆者指出：要滿足乘和除同時(shí)計(jì)算，減號(hào)還是要放在中間;要讓結(jié)果最小，就要使被減數(shù)和減數(shù)盡可能接近。

寫符合要求（2）和要求（3）的算式時(shí)，也有學(xué)生舉出了負(fù)數(shù)以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)的例子。筆者認(rèn)為此時(shí)解決問題已經(jīng)不是最重要的，重要的是引發(fā)學(xué)生更深層次的數(shù)學(xué)猜想，即三步混合運(yùn)算的知識(shí)無論是在正數(shù)范圍，還是在負(fù)數(shù)范圍，無論在整數(shù)領(lǐng)域，還是在小數(shù)、分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，都同樣適用。由此拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的寬度，使他們體會(huì)所學(xué)知識(shí)的普適價(jià)值。