非精確謂詞邏輯推理

潘文全

1 導(dǎo)言

非精確概率邏輯是經(jīng)典命題邏輯的擴張，是一種非經(jīng)典歸納邏輯。國外對它的研究比較充分。但沒有引起國內(nèi)學(xué)界的充分關(guān)注，研究也比較薄弱。本文試圖通過刻畫其元性質(zhì)分析其邏輯機制，初步探討其哲學(xué)基礎(chǔ)，展示其特異性和理論優(yōu)勢。

假設(shè)X是一個可能空間，在X上可以定義一個有界實值泛函f，即賭局，X上的所有賭局構(gòu)成賭局集L(X)。主體對f的下界預(yù)期被定義為它對f的上確界可接受購買價格：是最大價格s，滿足對于任意t0。同樣的，主體對f的上界預(yù)期P(f)直接被定義為它對f的下確界可接受出售價格：是最小價格s，滿足對于任意t>s，主體在觀察到賭局f的結(jié)果之前接受以t賣出f（當觀察到賭局f的結(jié)果是x之后，主體保證失去f(x)的收益）。當，且就是自我共軛的，此時就用P代替和P，P被簡稱為一個預(yù)期。P表達就是主體對有界賭局f的公平價格：它接受以任何價格sP(f)出售f。

如果把一個事件看成是X的某個子集A，事件的指標賭局

就是一個有界賭局，所以把指標賭局等同于對應(yīng)的事件。特別的，把IA的下界預(yù)期表示為它被叫作事件A的下界概率，如果的定義域只包含指標賭局，它就被叫作下界概率。類似的，把IA的上界預(yù)期表示為，它被叫作事件A的上界概率，如果的定義域只包含指標賭局，就被叫作上界概率。如果P是一個自我共軛的預(yù)期，那么P(A)被叫作A的概率，如果P的定義域只包含指標賭局IA和它的否定?IA，它就被叫作一個概率。

非精確概率推理（簡寫為IP推理）如何進行呢？推理都是從前提開始的，假設(shè)存在一個主體接受的前提集Γ，首先需要把這些前提轉(zhuǎn)換為下界預(yù)期它就是IP推理的前提。在經(jīng)典邏輯中，推理之前需要判斷前提是否具有一致性，對應(yīng)的IP推理也需要首先判定是否避免確定損失（它推廣了一致性）。如果對于任意n∈N，中的任意賭局滿足，則避免確定損失（一致的）。如果是一致的，那么就能進行推理了，經(jīng)典邏輯通過反復(fù)使用MP規(guī)則來進行推理，而IP推理則是通過自然擴張來實現(xiàn)的。假設(shè)是一致的且,f∈L(X)，下界預(yù)期被叫作的自然擴張，通過自然擴張就能得出所有賭局的上界預(yù)期和下界預(yù)期。很明顯，如果是下界概率，通過就能推出所有事件的下界概率，如果是概率，通過就能推出所有事件的概率。在通過自然擴張進行推理之后，如果這就意味著主體在確定前提時，沒有充分考慮到其它前提的行為后果，所以自然擴張修正了前提。如果前提沒有這種缺陷，它就是融貫的（coherence），即避免確定損失且它是的限制，很明顯是融貫的。

一個下界預(yù)期是自我共軛且融貫的，它就被定義為一個線性預(yù)期，X上的所有線性預(yù)期構(gòu)成集合P。特別的，線性預(yù)期的自然擴張被叫作線性擴張，它是一個定義在上的線性預(yù)期。假設(shè)存在兩個下界預(yù)期和，如果那么Q控制（dominate）

很多時候，下界預(yù)期沒有預(yù)期方便處理，所以在下界預(yù)期和預(yù)期之間構(gòu)建一個過渡橋梁將是有益的。

定義1.對于任意下界預(yù)期它等價于所有控制的線性預(yù)期的集合

相反的，對于任意的線性預(yù)期集M，它等價于一個下界預(yù)期

這個橋梁相當重要，以至于可以采用經(jīng)典概率的理論來處理非精確概率，同時也可以用經(jīng)典概率來表達非精確概率推理。

命題1.令是任意下界預(yù)期，那么

(1)避免確定損失當且僅當

(2)是融貫的當且僅當

(3)如果避免確定損失，那么它的自然擴張L(X)。（[9]，第1-76頁）

2 非精確命題邏輯推理

假設(shè)X是一個可能空間，?(X)是X的冪集。某個F??(X)被叫作一個濾，如果

1.F是遞增的：如(A∈F)∧(A?B)，那么B∈F；

2.F在有窮交下是封閉的：如果(A∈F)∧(B∈F)，那么A∩B∈F。

當F??(X)時，F(xiàn)被叫作真濾，所有的真濾構(gòu)成集合。如果某個真濾U不是任何其它真濾的子集，那么它就是超濾，所有的超濾構(gòu)成集合。

運用濾和超濾可以把經(jīng)典命題邏輯和{0,1}-值下界概率聯(lián)系起來，即把命題邏輯嵌入到融貫下界預(yù)期理論中。

為了描述的方便，假設(shè)關(guān)于“變量f取值”的命題都位于X中，那么這些命題與X的子集就具有了一一對應(yīng)的關(guān)系：一個關(guān)于“f取值”的命題就是一個下述形式的陳述“對于X的某個子集A而言，f∈A”。對于任意命題系統(tǒng)L，通過L的Lindenbaum代數(shù)上的Stone表示定理可以把L嵌入到下界預(yù)期理論中（[2]）。此外一組信念就是一個被主體認為是真的命題集，也是主體認為將會發(fā)生的事件集，在這里就是X的子集C。那么C與命題集具有下述四種對應(yīng)關(guān)系：

1.一個命題集是演繹封閉的（如果它在有窮合取和MP下是封閉的），即對應(yīng)的事件集C是濾（在有窮交和遞增下封閉）；

2.給定一個命題集，它的演繹閉包是包含它的最小演繹閉集，如果用事件集來表示的話，就是包含C的最小事件濾，即

3.一個命題集是一致的（如果它的演繹閉包是所有命題構(gòu)成的集合的嚴格子集），等價地，一個事件集C是一致的當且僅當它的演繹閉包是真濾，即因此所有真濾構(gòu)成的集合對應(yīng)于所有演繹封閉且一致的事件集所構(gòu)成的集合。

4.一個命題集是演繹完全的（如果往此集合中再加入任何其它命題就會導(dǎo)致不一致），這就意味著事件集是演繹封閉且完全的當且僅當它是超濾。

所以使用濾可以表達命題邏輯。但是濾如何同下界預(yù)期聯(lián)系起來呢？

首先需要考慮的是下界預(yù)期能否表達命題邏輯的語言。如果p是關(guān)于隨機變量f取值的某個命題，那么p就對應(yīng)于X的子集Ap，這樣就在命題和X的子集之間就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，即主體接受命題p當且僅當它接受有界賭局IAp?1+ε,ε>0，

如果主體愿意接受以任意嚴格小于1的賠率在事件“Ap即將發(fā)生”上下注，這就說明主體確定Ap即將發(fā)生，即確定f的取值屬于Ap。在融貫的條件下就可以表達出命題邏輯的五種真值運算。

主體接受了命題p當且僅當它接受有界賭局IAp?1+ε（ε>0)。如果主體是融貫的，它就不會接受有界賭局?IAp+1?ε（ε>0)，即不會接受命題?p。這就表達出了邏輯否定。

主體同時接受了p和q，即同時接受IAp?1+ε和IAq?1+ε（ε>0)，由融貫性得出它也會接受這兩個賭局的和，即接受IAp+IAq?2+2ε（ε>0)。因為IAp+IAq?2≤IAp+IAq?1≤IAp∩Aq，由融貫性得出主體接受IAp∩Aq，即接受p∧q（從p∧q得出Ap∧q=Ap∩Aq）。這就表達出了經(jīng)典命題邏輯的合取規(guī)則。

主體接受了p和p→q。由于p→q對應(yīng)于Ap?Aq，那么IAp?1+ε≤IAq?1+ε，由融貫性得出主體接受IAq?1+ε（ε>0)，即主體接受q。這就表達出了經(jīng)典命題邏輯的MP規(guī)則。

邏輯推理要避免矛盾，如果主體同時接受p,?p，就意味著同時接受IAp?1+ε和IA?p?1+ε（ε>0)，那么它也會接受這兩個賭局的和，即IAp?1+ε+IA?p?1+ε=?1+2ε（ε>0)，這就違背了避免確定損失，從這里也可以看出經(jīng)典邏輯的一致性對應(yīng)于避免確定損失。所以這就表達出了邏輯矛盾。

這樣就能表達出命題邏輯的所有合式公式。那么如何用IP推理來表達命題邏輯的推理呢？

考慮任意非空事件A?X，假設(shè)主體只知道A一定會發(fā)生，即f∈A。這時如何刻畫主體的信念？因為主體確定A一定會發(fā)生，所以它就愿意以任何賠率對此事件下注，即它將接受有界賭局IA?1+ε（ε>0)。這就得到了定義域為{IA}的下界概率

進一步推廣上述思想。考慮事件集C??(X)，假設(shè)主體確定C中的任意事件都會發(fā)生——它愿意以任意賠率對這些事件下注，但是它對于其它事件一無所知——它只愿意以0賠率對這些事件下注。這就得到了定義在{IA:A?X}上的下界概率

同樣地，如果用(X)來定義概率而不是下界概率時，就得到了一個自我共軛的評估，這使得在負不變的定義域C=∪A?X{IA,?IA}上定義概率QC成為可能：

此時主體不僅愿意以任意賠率對C中的事件下注，而且不愿意以任意賠率對C外的事件下注。

如果想要對應(yīng)的（下界）概率避免確定損失和融貫性，必須滿足什么條件呢？對于任意有界賭局考慮定義在F上的實網(wǎng)這里是關(guān)于A的空下界預(yù)期。因為有上界supf，而且是非遞降的——如果A?B則，所以它收斂到某個實數(shù)：

這就得到了定義在L(X)上的下界預(yù)期。因為它是融貫下界預(yù)期的逐點極限，所以也是融貫的。

如何解釋融貫下界預(yù)期？它刻畫了什么信念？對于?A∈F，都可以得到關(guān)于A的空下界預(yù)期，它表示主體相信f∈A。當A在有向集F中“變小”時，就變得更加精確，如果取極限，就得到了融貫下界預(yù)期，它表示主體相信(?A∈F)(f∈A)。

命題2.令F是一個真濾，那么

(1)是L(X)上的融貫下界預(yù)期；

(2)是線性預(yù)期當且僅當F是超濾。（[9]）

命題(2-1)把融貫性同真濾聯(lián)系起來了，命題(2-2)把線性預(yù)期同超濾聯(lián)系起來了。進一步推廣命題2就可以得到下述命題。

命題3.令C??(X)且考慮下界概率和概率：

(3)QC是融貫概率當且僅當C是超濾。（[9]）

在命題邏輯的推理中，首先要做的是判定前提是否具有一致性，當把命題轉(zhuǎn)換成非精確概率的語言后，首先要判斷的是前提是否避免確定損失（即一致性）。命題(3-1)把避免確定損失同集合的有窮交聯(lián)系起來了，相當于給出了判定避免確定損失的另一種辦法。命題(3-2)和(3-3)分別是命題2兩個小命題的推廣。當前提一致了，如何推理呢？

命題4.令F是一個真濾，那么對于?f∈L(X)而言（[9]），

命題5.如果F是X上的真濾，U是X上的超濾，那么

(2)PU是把融貫概率QU擴張到所有有界賭局上的唯一線性預(yù)期，即PU就是QU的自然擴張。（[9]）

有了這個定理以后，就能輕松地進行推理了，即把推理中的前提轉(zhuǎn)換成，通過自然擴張輕易地計算出結(jié)論的真假值。

命題集（事件集）和下界預(yù)期之間具有什么樣的形式聯(lián)系呢？如果主體相信一個命題是真的，即它相信對應(yīng)的事件將會發(fā)生，那么它將愿意以任何賠率在此事件下注，所以它確定此事件的下界概率是1。也就是說，在主體認為事件都會發(fā)生的評估C中和下界概率之間存在一一對應(yīng)：

在這種特殊的意義上，經(jīng)典命題邏輯的推理等同于使用{0,1}-值下界概率的推理。因為后者是下界預(yù)期的一種特殊推理，所以經(jīng)典命題邏輯可以被嵌入到融貫下界預(yù)期理論中，即融貫下界預(yù)期理論是經(jīng)典命題邏輯的推廣。

為了能夠處理信念，有的研究者認為經(jīng)典邏輯的唯一合理擴張是概率測度（[5]，第3-25頁；[6,7]），依據(jù)上面的結(jié)論，可以得出這個論斷是不正確的。所以精確概率理論的力量不足以完成推廣經(jīng)典命題邏輯的任務(wù)，但是融貫下界預(yù)期理論可以。

3 非精確概率謂詞邏輯推理

在上一部分，把命題邏輯嵌入到非精確概率邏輯中起到關(guān)鍵作用的是Lindenbaum代數(shù)上的Stone表示定理，它把命題轉(zhuǎn)換成子集，用集論運算來刻畫命題演算，但是集論運算不能表達謂詞，因此同樣的思想不能把謂詞邏輯和IP連接起來。但是把卡爾納普的邏輯主義同主觀主義相結(jié)合可以實現(xiàn)這一步。

首先定義一個一階語言L，它具有變量x1,x2,...，關(guān)系符號R1,...,Rq（分別具有有窮多個變元r1,...,rq），常量an，n∈，沒有函數(shù)符號和等號。令SL表示L的一階語句集，QFSL表示L的無量詞語句集。令T L表示L的帶有全集{a1,a2,...}的模型集，很明顯ai被解釋為ai本身。如果Γ?SL是一致的，并且在Γ中的任意語句都沒有涉及無窮多個常量ai時，那么存在M∈T L滿足

3.1 從狀態(tài)描述到SL的IP推理

為了在L上討論IP，首先需要在SL上定義IP。

定義2.函數(shù)wi:SL→[0,1]（i∈）是SL上的概率函數(shù)，如果對于任意θ,?,?xψ(x)∈SL，wi,i∈滿足

這個定義是很直觀的，雖然概率函數(shù)有無窮多個，但是wi定義在SL上，它必須滿足三條直觀的限制：一、如果某個語句是定理，那么它的概率必須為1（即P1）；二、如果兩個語句互斥，那么這兩個語句析取的概率等于這兩個語句的概率和（即P2）；三、語句的概率等于滿足此語句的個體的概率和（即P3）。

命題6.假設(shè)主體的信念被表達為wi:QFSL→[0,1],i∈，那么它不能被荷蘭賭。（[8]，第30頁）

命題7.wi:QFSL→[0,1],i∈是QFSL上的概率函數(shù)，當且僅當=infi∈Nwi避免確定損失。

證明.(?)假設(shè)wi是QFSL上的概率函數(shù)，那么wi不能被荷蘭賭，即wi避免確定損失，那么避免確定損失。

命題8.假設(shè)一簇概率函數(shù):QFSL→[0,1],i∈，對于任意θ,?∈QFSL，都滿足P1、P2。那么就具有唯一擴張到SL上的概率函數(shù)wi，并且對于任意θ,?,?xψ(x)∈SL，wi滿足P1、P2、P3。

證明.假設(shè)是定義在QFSL上的任意概率函數(shù)，對于任意θ∈QFSL而言，所有的T L子集

可以生成一個集合代數(shù)A。且把定義為

很明顯，它是A上的有窮可加測度。

那么一定存在某個有窮的n滿足

是有窮可滿足的，通過謂詞邏輯的緊致性定理，(3)在L的某個模型上將是可滿足的，盡管這個模型不一定在T L中，但是它的一個特殊子模型——集合為{a1,a2,...}的子模型——一定在T L中，那么此子模型將滿足(3)的所有公式，當然也滿足θ，由(1)得出也將滿足{?i|i∈N}，矛盾。

由于[?i]不相交和(2)，那么[?i]=?,i>n，所以，因此

由A可以產(chǎn)生σ-代數(shù)B，通過Caratheodory擴張定理（[1]），存在唯一的定義在B上的擴張uwi。注意對于?xψ(x)∈SL

因為B在補運算和可數(shù)并下封閉，所以它包含了所有集合[θ],θ∈SL。

現(xiàn)在可以在SL上定義一個函數(shù)wi

注意因為uwi擴張了，所以wi也擴張了。因為uwi滿足P1和P2，所以wi也滿足。由于uwi是可數(shù)可加的，且(4)，得出wi滿足P3。

wi一定是滿足P1、P2和P3的唯一擴張，如果還存在其它的擴張函數(shù)很顯然假設(shè)且只有個體a1滿足則

矛盾。

命題9.假設(shè)存在一簇概率函數(shù)那么自然擴張

命題9表明了Caratheodory擴張和自然擴張的關(guān)系，即Caratheodory擴張是自然擴張過程中最關(guān)鍵的一步。假設(shè)存在一個前提集它被表示為通過定義1把它轉(zhuǎn)換為精確概率函數(shù)的集合，然后對每個精確概率函數(shù)進行Caratheodory擴張，最后再通過定義1把Caratheodory擴張后的精確概率函數(shù)轉(zhuǎn)換成下界預(yù)期，即所以自然擴張包含了Caratheodory擴張。

定義3.假設(shè)存在一個概率函數(shù)

此定義的直觀意思是對于T L中的某個模型M而言，如果模型M滿足θ，那么VM(θ)取值為1，即θ在M中為真。如果M不滿足θ，那么VM(θ)取值為0，即θ在M中為假，所以VM(θ)是一個二值的概率函數(shù)。

在SL上定義了一個概率函數(shù)。

命題10.假設(shè)wi,i∈是SL上的一簇概率函數(shù)，那么在集合代數(shù)B上存在一簇可數(shù)可加測度uwi,i∈滿足

證明.如果令，那么從命題8得出存在一個B上可數(shù)可加測度μui滿足對于任意θ∈SL

通過唯一性得出ui必須等于wi，那么就得到μwi=μui，則

命題10的直接結(jié)論就是“主體對語句θ的非精確賦值問題”等價于“主體對T L的Borel子集A的非精確賦值問題，即如何挑選μwi(A)”。但是主體如何挑選的問題又是一個統(tǒng)計問題，而不是一個邏輯問題，所以這就不是這里所關(guān)心的問題了。

綜上，為了確定SL上的非精確概率函數(shù)，只需要確定這些函數(shù)在無量詞語句上的賦值就夠了。簡單地說，令L是默認的語言，它帶有常量a1,a2,...，還帶有參數(shù)數(shù)量分別為r1,...,rq的關(guān)系符號R1,...,Rq。對于來源于a1,a2,...的不同常量b1,...,bm而言，一個關(guān)于b1,...,bm的狀態(tài)描述就是下述形式的L語句

這里任意cri∈{b1,...,bm}，因此c1,...,cri可能重復(fù)?！繰i要么表示Ri要么表示?Ri。大寫字母Θ,Φ,Ψ,...被用來表示狀態(tài)描述。

一個關(guān)于b1,...,bm的狀態(tài)描述表明：對于關(guān)系符號Ri和來源于b1,...,bm的任意常量而言，那些Ri(c1,...,cri)成立，那些不成立。此外任意兩個關(guān)于(b1,...,bm)的狀態(tài)描述都是互斥的，因為它們的合取是不一致的。

例1.為了表達世界杯比賽，令L有二元關(guān)系符號W(贏球)、L(輸球)、D(平局)，兩個常元a1,a2（代表兩個球隊），那么W(a1,a2)∧?L(a1,a2)∧?D(a1,a2)就是一個關(guān)于a1,a2的狀態(tài)描述，通過它就能得出?W(a1,a2)是假的。

通過析取范式定理（[4]），任何θ(b1,...,bm)∈QFSL都邏輯等價于一個關(guān)于b1,...,bm的狀態(tài)描述的析取，

因為狀態(tài)描述都是互斥的，所以

從這里就可以看出：通過概率函數(shù)wi,i∈確定了在狀態(tài)描述上的非精確取值，就可以確定它在QFSL上的取值，再通過命題8就能確定它在SL上的取值。

從形式上來看就是，如果wi,i∈是定義在狀態(tài)描述Θ(a1,...,am),m∈上的函數(shù)，它滿足：

那么通過(5)

（這里k足夠大以至于bi都在a1,...,ak中），wi,i∈就可以擴張成QFSL上的概率函數(shù)，進而擴張成SL上的概率函數(shù)。有了定義在SL上的一簇概率函數(shù)wi,i∈，通過定義1就能得到定義在SL語句上的下界預(yù)期。

以上就是用經(jīng)典概率語言表達的非精確謂詞邏輯，但是通過命題1也能得到用IP語言表達的非精確概率謂詞邏輯。假設(shè)確定了概率函數(shù)wi,i∈在所有狀態(tài)描述上的取值，這就相當于確定了在所有狀態(tài)描述上的線性預(yù)期P，然后再對進行線性擴張，得到了定義在SL上這種方法和命題8的方法是等價的，因為線性擴張包含了Caratheodory擴張。（[3]）

例2.在例子1中，所有的狀態(tài)描述是X={ω1,...,ω8}

但是有意義的只有三種，即S={ω4,ω6,ω7}

假設(shè)在S上的存在n∈個概率函數(shù)wi,i∈{1,...,n}，它們滿足

這些概率函數(shù)的確定來源于這兩個球隊過去交鋒的經(jīng)歷，它們是推理的前提。在語言L中，推理的前提主要是兩種語句：無量詞語句和量詞語句。對于無量詞語句，因為任何θ∈QFSL都邏輯等價于一個關(guān)于b1,b2的狀態(tài)描述的析取，比如θ=?W(a1,a2)≡ω6∨ω7。對于量詞語句，它總是可以轉(zhuǎn)化為無量詞語句的析取。所以這就表達出了歸納推理前提的特點——個別現(xiàn)象。

在IP推理中，主要關(guān)心的是前提對不能必然推出的結(jié)論的非精確支持度，在這里就是這次比賽勝負的情況，即確定S中狀態(tài)的非精確概率。首先找出滿足C的所有概率函數(shù)wi,i∈{1,...,n}，這等價于確定了在所有狀態(tài)描述上的線性預(yù)期P，然后對P進行線性擴張，得到了定義在SL上，即利用同樣的思想，就能確定表達這次比賽結(jié)果的無量詞語句和量詞語句的非精確概率，比如令α=?xW(a1,x)≡ω4，那么0.33，即通過IP推理得出這次比賽a1贏的最低概率是0.33。

至此實現(xiàn)了從狀態(tài)描述到任意謂詞語句的IP推理，但是得到所有狀態(tài)描述是一個很強的要求，因為它對所有個體都進行了斷定，在日常推理中，通常只能得到有限個體的斷定，因此需要研究從有限的個體斷定出發(fā)，如何進行IP推理。由于已經(jīng)完成了從狀態(tài)描述到任意謂詞語句的IP推理，所以還需要解決的是從有限的個體描述到狀態(tài)描述的IP推理，通過狀態(tài)描述集（即可能空間）的精煉可以實現(xiàn)這一步。

3.2 從有限的個體描述到狀態(tài)描述的IP推理

狀態(tài)描述集X1表達的是主體已經(jīng)知道了所有個體的性質(zhì)，但是在歸納推理開始時，主體只知道有限多個個體的性質(zhì)，其它個體的性質(zhì)是未知的，這種認知狀態(tài)使得主體只能確定狀態(tài)描述屬于X1的某個子集，然后由這些子集構(gòu)成X0，那么從X1到X0就構(gòu)成了一個映上（[10]，第180頁），這就是X0到X1的精煉A，X0對應(yīng)于X1的一個劃分，即對于?x0∈X0，它都等同于一個X1中的精煉狀態(tài)描述集A(x0)。所以X0上的任意概率分布f等同于X1中的概率分布g，這里g(x1)=f(x0),x1∈A(x0)。對于任意g，定義X0中的下界概率g?(x0)=inf{g(x1):x1∈A(x0)}，那么精煉后的模型就是然后再通過定義1就能得到定義在狀態(tài)描述集上的一簇概率分布。

例3.假設(shè)語言L只具有一元謂詞R，對于個體a1,a2的狀態(tài)描述是：

但是主體只知道a1具有性質(zhì)R，其它一無所知，那么此時它只能確定a1,a2的可能狀態(tài)要么屬于t1={ω1,ω2}，要么屬于t2={ω3,ω4}，所以X0={t1,t2}。當主體知曉了a2的性質(zhì)之后，它就能確定a1,a2的可能狀態(tài)屬于X1={ω1,ω2,ω3,ω4}。因此X0是X1的一個劃分，即A(t1)={ω1,ω2}，A(t2)={ω3,ω4}，所以X0上的任意概率分布f等同于X1中的概率分布g，g(ωi)=f(tj),ωi∈A(tj),i∈{1,...,4},j∈{1,2}。對于任意g，定義X0上的下界概率g?(tj)=inf{g(ωi):ωi∈A(tj)}，那么精煉后的模型就是

4 結(jié)語

綜上，通過濾可以在IP推理中表達出命題邏輯，但是濾不能處理謂詞，為了讓IP概率邏輯能夠表達謂詞，必須另辟蹊徑。通過在狀態(tài)描述上引入非精確概率，然后把非精確概率擴展到QFSL，進而通過IP推理的自然擴張擴展到SL上。這樣就實現(xiàn)了非精確概率同謂詞邏輯的結(jié)合，得出了非精確概率謂詞邏輯推理。

得到了非精確概率謂詞邏輯推理之后，IP同模態(tài)邏輯的關(guān)系成為了一個自然而然的問題，從直觀上來看，非精確概率邏輯等同于模態(tài)邏輯加概率，因為從貝葉斯敏感度分析可以看出，非精確概率是一簇概率，其中每個概率都是可能的，這將是一個有價值的研究方向。