借用“可視化”策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

周艷霞

研究表明，視覺可刺激一個(gè)人大腦中的關(guān)聯(lián)，從而有效提升一個(gè)人內(nèi)在的深層洞察力。人的思維是一個(gè)黑匣子，是不可視的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中借用“可視化”策略，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。不僅如此，可視化策略還能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維成為可觀察、可觸摸、可把握的對(duì)象，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

一、直觀展示：促進(jìn)學(xué)生的工具性理解

英國(guó)著名數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家斯根普認(rèn)為，理解有三個(gè)層次，即工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解。工具性理解是一種語(yǔ)義性理解，即理解“是什么”，或者是指一種程序性理解，即理解“怎樣操作”。因此，工具性理解也就是一種實(shí)體性理解，在數(shù)學(xué)中主要體現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)概念、定義、法則等的理解。

斯根普指出，工具性理解也應(yīng)是一種理解，我們不應(yīng)該忽視它。工具性理解不是死記硬背，而是要求學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。著名科學(xué)家錢偉長(zhǎng)曾經(jīng)打過(guò)一個(gè)比方：一個(gè)屠夫，他不需要知道刀的制造原理，而只需要去找尋最合適的刀，并且用好這把刀去解決實(shí)際問題。比如教學(xué)《用數(shù)對(duì)確定位置》，許多教師在設(shè)計(jì)時(shí)都力圖展現(xiàn)笛卡爾創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的過(guò)程，比如從地球儀的經(jīng)緯度引入，比如從蜘蛛在天花板上的故事引入，比如從現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景如教室的座位引入等。其實(shí)，這些都是比較膚淺的設(shè)計(jì)。用數(shù)對(duì)確定位置，關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)在于“原點(diǎn)”的設(shè)置。這里，教師完全可以直接直觀地出示教室的示意圖，然后提問學(xué)生：某某是第幾排第幾座？通過(guò)不同的回答，讓學(xué)生感受到“用規(guī)定的數(shù)對(duì)確定位置”的優(yōu)越性，同時(shí)讓學(xué)生自己去找尋原點(diǎn)。教學(xué)中，教師還可以通過(guò)設(shè)置同一列、同一行、列行都相同的學(xué)生的座位，讓學(xué)生感受到數(shù)對(duì)的功能，這些都能促進(jìn)學(xué)生的工具性理解。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的工具性理解，是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的一部分。抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)圖像化、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀化，都有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的工具性理解。教學(xué)中，教師不能一味依賴慣常的教學(xué)路徑，而應(yīng)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，要為學(xué)生的數(shù)學(xué)工具性理解找準(zhǔn)方向、提供可能。

二、關(guān)聯(lián)展示：促進(jìn)學(xué)生的關(guān)系性理解

關(guān)系性理解是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解。作為教師，要將數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)展示出來(lái)，以便促進(jìn)學(xué)生的關(guān)系性理解?！瓣P(guān)聯(lián)”既包括數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，又包括揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、特質(zhì)等。斯根普教授認(rèn)為，關(guān)系性理解包括證明性理解、論說(shuō)性理解、反思性理解、結(jié)構(gòu)性理解等諸多層次。顯然，結(jié)構(gòu)性理解被置于最高層。

比如教學(xué)《多邊形的內(nèi)角和》（蘇教版四下），在學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和基礎(chǔ)上，學(xué)生的數(shù)學(xué)探究分為兩類：一類是模仿三角形的內(nèi)角和探究法，用量角法、折角法、撕角法等對(duì)四邊形、五邊形等多邊形進(jìn)行探究，這是學(xué)生基于工具性理解的探究;另一類是學(xué)生在三角形內(nèi)角和與四邊形、五邊形等多邊形之間尋找關(guān)系，這是一種基于關(guān)系性理解的探究。當(dāng)學(xué)生運(yùn)用量角法、撕角法、折角法等進(jìn)行探究遭遇障礙后，學(xué)生紛紛轉(zhuǎn)向關(guān)系的探究。學(xué)生用自己的方式來(lái)分四邊形、五邊形，分法出乎意料。有學(xué)生在多邊形邊上取一個(gè)點(diǎn)，有學(xué)生在多邊形頂點(diǎn)處取一個(gè)點(diǎn)，有學(xué)生在多邊形內(nèi)部取一個(gè)點(diǎn)，有學(xué)生在多邊形外部取一個(gè)點(diǎn)，由此將多邊形分成若干個(gè)三角形等。作為教師，我們要展示各種研究方法之間的關(guān)聯(lián)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，讓學(xué)生明晰各種方法的優(yōu)劣。在比較中，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)每種探究方法，學(xué)生就會(huì)理解“從一個(gè)頂點(diǎn)來(lái)分三角形最方便，因?yàn)闆]有產(chǎn)生多余的角”。這樣，學(xué)生從原先的不同方法的“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平發(fā)展、提升為“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”，從算法的多樣化走向算法的優(yōu)化。

關(guān)系性理解能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，所以能將隱性知識(shí)顯性化;關(guān)系性理解能對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯鏈接，能將數(shù)學(xué)知識(shí)提升為數(shù)學(xué)思想方法，形成個(gè)體數(shù)學(xué)圖式網(wǎng)絡(luò)。關(guān)系性理解不僅讓學(xué)生“知其然”，更讓學(xué)生“知其所以然”。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系性理解，能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶，讓學(xué)生形成特有的知識(shí)體系。

三、圖式展示：促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新性理解

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從根本上說(shuō)就是構(gòu)建一種認(rèn)知圖式，或者說(shuō)是新舊認(rèn)知圖式的同化與順應(yīng)。當(dāng)新舊認(rèn)知圖式發(fā)生碰撞、產(chǎn)生矛盾沖突時(shí)，就需要學(xué)生能主動(dòng)地對(duì)原先的認(rèn)知圖式進(jìn)行革新，這時(shí)學(xué)生往往就能產(chǎn)生創(chuàng)新性認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以運(yùn)用圖式將這種知識(shí)變革、變化過(guò)程展示出來(lái)，從而讓學(xué)生的思維觸手可及。圖式展示，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新性理解。

比如教學(xué)蘇教版五下《因數(shù)和倍數(shù)》《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》《分?jǐn)?shù)的加法和減法》等相關(guān)內(nèi)容，這些內(nèi)容中的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密、關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生容易張冠李戴、云里霧里。因此，教師有必要借助圖式向?qū)W生展示知識(shí)節(jié)點(diǎn)、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。通過(guò)圖式，讓學(xué)生厘清知識(shí)間的屬種關(guān)系、邏輯關(guān)系等。如從“因數(shù)”“公因數(shù)”“最大公因數(shù)”，學(xué)生能看到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯發(fā)展;通過(guò)“公因數(shù)”“最大公因數(shù)”并結(jié)合“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，學(xué)生能創(chuàng)新性地建構(gòu)“約分”的概念，并能展開“一次約分法”和“逐次約分法”，從中領(lǐng)悟到“公因數(shù)和最大公因數(shù)”運(yùn)用時(shí)的巧妙;通過(guò)對(duì)公因數(shù)與約分、公倍數(shù)與通分、通分與分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算、約分與分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算結(jié)果的化簡(jiǎn)等的關(guān)系比較，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。筆者在教學(xué)中還充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生自己整理，建構(gòu)圖式。不同學(xué)生基于不同的著眼點(diǎn)，用自己的方式建構(gòu)出個(gè)性化的知識(shí)圖，如樹狀圖、網(wǎng)絡(luò)圖等。一種圖式、一種邏輯，不同圖式顯現(xiàn)的是不同的邏輯，但最終都顯現(xiàn)出學(xué)生的創(chuàng)新性理解。

當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中剝離了知識(shí)的非本質(zhì)因素，透視了本質(zhì)因素存在之后，就能產(chǎn)生創(chuàng)新意向，形成創(chuàng)新內(nèi)驅(qū)力。創(chuàng)新性理解是學(xué)生在認(rèn)識(shí)知識(shí)本質(zhì)、結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行提高、推廣和拓展的過(guò)程。概言之，學(xué)生創(chuàng)新性理解就是不僅“知其然”，而且“知其所以然”，并且“知其新的然”。

數(shù)學(xué)理解有三個(gè)層次，即工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)直觀的手段，將數(shù)學(xué)知識(shí)可視化、將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視化，能讓學(xué)生直觀洞察到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、關(guān)系，能捕捉到學(xué)生的思維漏洞、盲區(qū)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)展現(xiàn)、有跡可循、觸手可及，也讓教師的教學(xué)更具針對(duì)性、實(shí)效性。