數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識的實踐與探究

解麗華

摘 要：利用數(shù)學(xué)的知識、思維和方法來提出解決實際問題的可行性方案的數(shù)學(xué)模型也隨之產(chǎn)生。在我國大力倡導(dǎo)素質(zhì)教育的大環(huán)境下，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題顯得十分重要，能夠激發(fā)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有一定額數(shù)學(xué)建模活動，但系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)有待完善。因此，分析數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模意識的現(xiàn)狀，依據(jù)現(xiàn)狀及原則，提出有效的培養(yǎng)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)教學(xué);建模意識

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的一般過程

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教師向?qū)W生講授知識如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型及其構(gòu)建思維，引導(dǎo)學(xué)生自己運(yùn)用知識來構(gòu)建模型并解決實際問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，教師就要先教會學(xué)生如何把實際問題轉(zhuǎn)化為表示變量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識觀察和分析來提煉模型，再把模型納入知識體系之中處理。具體來講，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的程序大致為以下幾方面：

第一，分析實際問題。要先抓住實際問題的本質(zhì)，定量研究和分析這個問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，把復(fù)雜的問題抽象化，把錯綜復(fù)雜的關(guān)系簡單化，以此來確定主要變量和其他的變化量。

第二，要假設(shè)模型。數(shù)學(xué)模型是分析實際問題并提出合理的假設(shè)得出的，是建模目的所決定的。教師要幫助學(xué)生用精確的數(shù)學(xué)語言來把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，之后做出合理的假設(shè)以確定其量的關(guān)系。要注意在假設(shè)的過程中，抓住實際研究對象的特征及相關(guān)的主要因素，還要注意所作出的假設(shè)要符合研究實際對象，可用于模型的建立。

第三，建立數(shù)學(xué)模型。通過假設(shè)過程及觀察、分析，準(zhǔn)確把握研究對象的特點及規(guī)律之后，可選擇一個類似模型，用數(shù)學(xué)學(xué)科的相關(guān)知識及計算機(jī)，確定各個變量之間的關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而完成了研究對象的模型。

第四，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教學(xué)目的不是如何建立數(shù)學(xué)模型，而是要對研究對象建立模型并進(jìn)行求解，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題，要分析問題材料，進(jìn)而計算出模型的參數(shù)和變量。同時，不同的數(shù)學(xué)模型要輔助不同的數(shù)學(xué)工具。求解過程中，如果手工計算繁雜，則要學(xué)會靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值求解。

第五，檢驗和分析數(shù)學(xué)模型。對模型求解之后，還要檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果正確與否，并分析其誤差，以此得出模型的適用度。在檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)中，要注意數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與實際情況的對照，通過對照來確定假設(shè)模型是否合理及準(zhǔn)確。在對照過程中，如果模型與實際情況符合，要給出每個計算結(jié)果的實際含義，運(yùn)用通俗的語言來描述模型。如果出現(xiàn)模型與實際情況不符，就要重新修改假設(shè)模型，選擇其他的模型來分析，之后重復(fù)以上的過程，這是一個反復(fù)循環(huán)的過程。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的現(xiàn)狀分析

當(dāng)前，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和建模能力令人擔(dān)憂。究其原因，主要是教師在教學(xué)過程中較少主動建模，不愿投入更多時間及精力來培養(yǎng)學(xué)生建模。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師更注重對學(xué)生技能訓(xùn)練及一般數(shù)學(xué)知識的灌輸，對學(xué)生建模意識和能力的發(fā)展不太重視。為什么會出現(xiàn)這樣的情況了，其分析主要有以下幾點：

第一，數(shù)學(xué)教材脫離實際，缺乏具體的生活實例。數(shù)學(xué)建模涉及較多的知識，并與其他學(xué)科密切相關(guān)，即使運(yùn)用數(shù)學(xué)知識本身也要處理好知識體系內(nèi)部的關(guān)系。但是，學(xué)生還不足以掌握及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，同時數(shù)學(xué)教材中沒有系統(tǒng)講授這些知識的內(nèi)容，也沒合適培養(yǎng)學(xué)生建模意識的例題，對例題難度的把握不準(zhǔn)確?，F(xiàn)階段所使用的數(shù)學(xué)教材中，大部分案例為抽象簡化之后的應(yīng)用題，導(dǎo)致學(xué)生難以接觸到現(xiàn)實生活問題的數(shù)學(xué)建模，對解決實際問題的建模缺乏直觀感受，也難以對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣。

第二，數(shù)學(xué)教學(xué)課程內(nèi)容陳舊，教學(xué)方式過于傳統(tǒng)化。一直以來，數(shù)學(xué)都是學(xué)生的必修課程，其目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。目前，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容注重經(jīng)典理論講解，重視公式和定理的分析推導(dǎo)，側(cè)重運(yùn)算技巧的傳授，而忽視了數(shù)值計算、數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng)，并且使得各部分知識自成體系，缺乏對知識的整體應(yīng)用?；诂F(xiàn)階段的課程體系，教師需要花費(fèi)大量時間進(jìn)行教學(xué)，還不利于提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力水平。從教學(xué)方式來看，教師采用傳統(tǒng)講授式的方法，過于側(cè)重講解嚴(yán)格的定理和抽象的邏輯思維，尤其是較多時間用于精講運(yùn)算技巧，使得課堂信息量過小。之后對學(xué)生的訓(xùn)練僅僅是運(yùn)用現(xiàn)成公式及計算來解題，學(xué)生難以發(fā)揮能動性和創(chuàng)新性。同時，對教學(xué)評價過于單一，以成績來衡量學(xué)生的能力，難以真正反映學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

第三，教師建模素質(zhì)水平不高。在教學(xué)崗位上數(shù)學(xué)教師的教學(xué)任務(wù)過重，他們對正常的教學(xué)內(nèi)容十分熟悉，但其他內(nèi)容相當(dāng)生疏，同時，數(shù)學(xué)建模涉及多學(xué)科的知識，其內(nèi)容可能超出了教學(xué)范圍，這就要求教師有深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，教師對數(shù)學(xué)建模相對生疏，對靈活的建模建設(shè)不敢下結(jié)論。數(shù)學(xué)教師的建模素養(yǎng)不高導(dǎo)致了培養(yǎng)學(xué)生建模意識存在一定的長期性與困難性。

第四，學(xué)生建模能力較弱。當(dāng)前，學(xué)生具有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，能識別現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題，他們已認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模時用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題，并有意愿嘗試建模。但學(xué)生難以把實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，這是培養(yǎng)建模意識的一個較大障礙。大部分學(xué)生有用數(shù)學(xué)區(qū)解決問題的熱情，但卻不知道具體的步驟和方法，無從下手。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的教學(xué)原則

培養(yǎng)學(xué)生建摸意識及選取建模問題時，要注意遵循以下幾個原則：

第一，理論密切聯(lián)系實際的原則。數(shù)學(xué)建模案例選擇上要注意選取貼近生活的數(shù)學(xué)問題，這不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的開放性，還保持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)得到實用性。培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，初步訓(xùn)練了學(xué)生在未來工作和學(xué)生中探究數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的能力。另外，實際生活問題的數(shù)學(xué)化要求學(xué)生具備深厚的基礎(chǔ)及創(chuàng)新能力，這就要學(xué)生多接觸社會和了解生活，形成直覺思維和抽象思維，把數(shù)學(xué)知識與實際生活經(jīng)驗相結(jié)合。

第二，課內(nèi)外知識相貫通的原則。在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生僅僅掌握課內(nèi)知識是不夠的，建模研究要打破課堂教學(xué)的條框，引導(dǎo)學(xué)生面向?qū)嶋H，教材上的知識有限，不能展開許多問題的假設(shè)，需要教師依據(jù)課內(nèi)知識、融入與拓展課外內(nèi)容，使得兩者能夠融會貫通。培養(yǎng)學(xué)生建模意識的重點在于如何教會學(xué)生把握探究過程和建模所需的思想及方法，這就要求課堂上向?qū)W生講授一些具有廣泛應(yīng)用性的模型，并把其與課外實際問題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的建模分析思路，訓(xùn)練學(xué)生的思想和方法，讓他們領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

第三，相互之間的合作與交流的原則。在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程中，不僅要注重知識的培養(yǎng)，還要應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成，應(yīng)以數(shù)學(xué)建模為途徑，培養(yǎng)學(xué)生相互合作的能力，使得學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來生活和發(fā)展所需的數(shù)學(xué)事實。在建模意識的培養(yǎng)過程中，要尊重學(xué)生的個體差異性，讓學(xué)生在建模過程中相互交流、信息互助，發(fā)揮其特長。比如，對計算和語言各有所長的學(xué)生可以分工合作，讓有語言天賦的學(xué)生收集資料和數(shù)據(jù)，讓有軟件處理特長的學(xué)生處理數(shù)據(jù)。當(dāng)建模工作完成之后，要引導(dǎo)學(xué)生對自己及他人完成任務(wù)的情況進(jìn)行客觀評價，客觀認(rèn)識到合作的價值，對學(xué)生未來發(fā)展有所幫助。

第四，循序漸進(jìn)、逐步推進(jìn)的原則。數(shù)學(xué)建模不是一蹴而就的，教學(xué)要分層次、分步驟進(jìn)行。要先由教師進(jìn)行講解如何建模，師生共同建模，讓學(xué)生嘗試來解決簡單的應(yīng)用問題，重點是讓學(xué)生進(jìn)行適度模仿。之后，教師拿出一些實際案例，指導(dǎo)學(xué)生查找資料，并進(jìn)行小組討論，通過小組合作建立自己的模型。這一過程中要鼓勵每個學(xué)生都積極參與，教師對他們所建的模型進(jìn)行不同評價，使得學(xué)生有興趣和自信心。最后，學(xué)生自己來完成數(shù)學(xué)建模，教師不參與學(xué)生的建模過程，只把實際問題交給每個小組，由他們自己來完成建模結(jié)構(gòu)和分析，并相互進(jìn)行評價，讓他們能力得到鍛煉。這種由淺及深的教學(xué)方式，從引導(dǎo)鼓勵轉(zhuǎn)為獨(dú)立完成的過程，讓每個學(xué)生都體驗到建模的價值，提升他們的思維能力，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他知識也起到了輔助效果。

四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要從多角度、全方位滲透數(shù)學(xué)建模的思想及方法。

第一，要突出解題思路，運(yùn)用表格化建模教學(xué)。教師要激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣，有效地引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生，促使他們由概念化學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為理論型學(xué)習(xí)，讓學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，鼓勵他們多運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來分析實際問題。數(shù)學(xué)中最為常用的生活化模型就是函數(shù)模型，大部分實際問題都可用函數(shù)模型來解決。表格化的策略能夠使枯燥的數(shù)字變得更具體，激發(fā)學(xué)生的求知欲。因此，教師要把實際問題進(jìn)行表格化分析，讓學(xué)生更為直觀地掌握數(shù)據(jù)，建立有效的函數(shù)模型。

第二，培養(yǎng)創(chuàng)造能力，實施數(shù)形化建模教學(xué)。從接觸數(shù)學(xué)開始，教師以追趕問題為例，來培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，其主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及創(chuàng)新能力，教師有必要采取數(shù)型結(jié)合的教學(xué)策略。在教學(xué)過程中，教師運(yùn)用曲線、直線等具體化的圖形來表現(xiàn)出實際問題的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。比如，實際生活中的拱橋問題，一艘高4米、寬5米的船，而水面寬度為10米，距橋頂為6米，要船能夠通過河面，河面的寬度為多少？教師可引導(dǎo)學(xué)生把拱橋定點作為坐標(biāo)軸零點，過零點的豎直線為Y軸，建立一個圓曲線和直線的模型。

第三，鍛煉統(tǒng)計能力，采用生活化建模教學(xué)。數(shù)學(xué)建模不只是建立簡單的解題模型，看似簡單的建模過程，也有一定的難度。在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中融入生活化的統(tǒng)計問題，不僅鍛煉了學(xué)生的邏輯思維，也對學(xué)生步入社會要處理各類數(shù)據(jù)大有益處。在實際問題中，需要面對各種數(shù)據(jù)統(tǒng)計問題，這就考驗了學(xué)生的構(gòu)造能力和建模能力。生活化建模常常運(yùn)用于概率統(tǒng)計及歸納問題中，這些問題需要學(xué)生找出及歸納數(shù)值之間的關(guān)系，構(gòu)建具體的數(shù)據(jù)模型。引導(dǎo)學(xué)生在建模過程中尋找規(guī)律，結(jié)合教習(xí)內(nèi)容把其與實際問題進(jìn)行改編，讓學(xué)生自己去實踐。比如在講解排列組合問題，教師可利用鮮活的實例來講解，一共有五個顏色，填在一個矩形之內(nèi)，保證各個接觸面的顏色互不相同，教師可以讓學(xué)生自己嘗試如何排列，找出其中的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生建立情緒具體的解題模型，讓他們對概率產(chǎn)生深刻的共鳴。

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