對(duì)一道函數(shù)壓軸題的多解探究

張明詰

[摘? 要] 函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)重要的問題類型，一般切入點(diǎn)較多，可以采用不同的方法來求解. 考慮到其分析思路較為多樣，所以在解題教學(xué)中需要重點(diǎn)引導(dǎo). 文章以一道函數(shù)綜合題為例，開展解題突破、多解探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);多解;平移;對(duì)稱;整體

問題呈現(xiàn)及思路突破

問題? 現(xiàn)有兩個(gè)二次函數(shù)，其解析式分別為y1=x2+bx+c，y2=x2+m. 對(duì)于函數(shù)y1，當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)可以取得最小值.

（1）試求函數(shù)y1解析式中b的值;

（2）如果函數(shù)y1的圖像與坐標(biāo)軸只存在A，B兩個(gè)公共點(diǎn)，試求公共點(diǎn)A，B之間的距離AB;

（3）如果函數(shù)y1和y2的圖像均經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），在坐標(biāo)系中取一點(diǎn)（0，a-3），過該點(diǎn)作x軸的平行線，已知所作平行線與函數(shù)y1和y2的圖像一共存在4個(gè)交點(diǎn)，設(shè)4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x4，且該4個(gè)橫坐標(biāo)值存在如下關(guān)系：x1

思路突破? （1）該問求函數(shù)y1解析式中的系數(shù)b，由系數(shù)a>0可知，拋物線y1的圖像開口向上. 根據(jù)其單調(diào)性可知，該拋物線在頂點(diǎn)處取得最小值，于是有-=2，又a=1，所以b=-4.

（2）由（1）問可確定函數(shù)y1的解析式為y1=x2-4x+c. 條件指出，其對(duì)應(yīng)圖像只與坐標(biāo)軸有A，B兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，考慮到?jīng)]有限定公共點(diǎn)位于哪條具體的坐標(biāo)軸上，所以需分類討論，具體可以分為以下兩種情形：①二次函數(shù)y1與x軸和y軸分別只有1個(gè)公共點(diǎn);②二次函數(shù)y1與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，由于圖像必須與y軸有公共點(diǎn)，則其中的1個(gè)公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

①函數(shù)y1與x軸和y軸各有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則Δ=16-4c=0，解得c=4. 此時(shí)y1=x2-4x+4. 令x=0，可得y=4;令y=0，可得x=2. 利用兩點(diǎn)之間的距離公式，可得AB=2.

②因?yàn)楹瘮?shù)y1經(jīng)過原點(diǎn)，且另一公共點(diǎn)也在x軸上，所以Δ=16-4c>0，解得c<4. 將原點(diǎn)O（0，0）代入解析式y(tǒng)1=x2-4x+c中，解得c=0，所以此時(shí)y1=x2-4x. 令y=0，可得x1=0，x2=4，所以兩公共點(diǎn)之間的距離AB=4.

（3）已知函數(shù)y1，y2均經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），將該點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)y1和y2的解析式中，可得1-4+c=-2，

1+m=-2， 解得c=1，

m=-3，所以y1=x2-4x+1，y2=x2-3. 函數(shù)y1的解析式可變形為y1=（x-2）2-3，考慮到過點(diǎn)（0，a-3）所作的平行于x軸的直線與函數(shù)y1，y2的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，所以需要確保點(diǎn)（0，a-3）位于函數(shù)y1頂點(diǎn)的上方，即a-3>-3，解得a>0. 分別令y1=a-3，y2=a-3，將其代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式中，結(jié)合x1

根據(jù)函數(shù)解析式繪制圖像（如圖1），將直線y=a-3由函數(shù)下方逐步向y軸正方向移動(dòng)：當(dāng)-3-2時(shí)，橫坐標(biāo)為x1，x3的點(diǎn)在函數(shù)y2的圖像上，橫坐標(biāo)為x2，x4的點(diǎn)在函數(shù)y1的圖像上. 現(xiàn)分別加以討論.

①當(dāng)-3

-，x2=，x3=2-，x4=2+，所以x4-x3+x2-x1=4. 由于0

②當(dāng)a-3>-2，即a>1時(shí)，x1=-，x2=2-，x3=，x4=2+，所以x4-x3+x2-x1=4.

綜上可知，0

[圖1][O][x][y][x1][x2][x3][x4][x1][x2][x3][x4]

解法評(píng)析及多解探究

此題為一次函數(shù)與二次函數(shù)為背景的綜合題，第（1）（2）小問相對(duì)簡(jiǎn)單，只需要分析函數(shù)的特征，適當(dāng)結(jié)合分類討論即可確定. 第（3）問屬于交點(diǎn)分析的代數(shù)式最值問題，關(guān)鍵是確定函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo). 上述思路采用了常規(guī)的平行線平移方法來確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而確定了代數(shù)式的取值范圍. 實(shí)際上，對(duì)于第（3）問，還存在一些其他的方法，下面進(jìn)行深入探究.

1. 平移視角切入，數(shù)形結(jié)合分析

根據(jù)上述條件，可確定兩函數(shù)的解析式分別為y1=x2-4x+1，y2=x2-3. 對(duì)y1進(jìn)一步變形可得y1=（x-2）2-3，顯然兩函數(shù)的頂點(diǎn)分別為（2，-3）和（0，-3），且開口方向均向上，大致圖像如圖2所示. 于是可以將函數(shù)y1的圖像視為是由y2的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

根據(jù)已知條件x11時(shí)，根據(jù)坐標(biāo)的大小規(guī)律，有CD=x2-x1=2，EF=x4-x3=2，所以x4-x3+x2-x1=EF+CD=4，即代數(shù)式為定值4. ②當(dāng)00，所以4-2DE<4. 所以此時(shí)x4-x3+x2-x1<4. 綜上可知，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

[圖2][O][x][y][C][D][E][F][C][D][E][F]

2. 限定視角切入，緊抓對(duì)稱特征

同樣的，我們可以通過分析兩函數(shù)的特征作為解題切入點(diǎn). 要確保直線y=a-3與函數(shù)有4個(gè)切點(diǎn)，需要滿足以下兩個(gè)條件：①直線不經(jīng)過兩函數(shù)的交點(diǎn)，即y=a-3≠-2;②直線需位于兩函數(shù)的頂點(diǎn)上方，而兩函數(shù)的頂點(diǎn)分別為（2，-3）和（0，-3），所以y=a-3>-3. 因此在討論時(shí)需要分為-3-2兩種情形：

（1）當(dāng)-3

（2）當(dāng)a-3>-2，即a>1時(shí)，此時(shí)直線y=a-3位于兩函數(shù)交點(diǎn)的上方，同樣設(shè)交點(diǎn)依次為C，D，E，F(xiàn)，因?yàn)楹瘮?shù)y1的對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)F到該對(duì)稱軸的距離為x4-2，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x2=2-（x4-2）=4-x4. 所以x4+x2=4. 同理，函數(shù)y1的對(duì)稱軸為y軸，即直線x=0，點(diǎn)E到該對(duì)稱軸的距離為x3，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x1=0-x3=-x3. 所以x1+x3=0. 所以x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4.

綜上可知，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

3. 整體視角切入，等量代換計(jì)算

基于上述分析，我們還可以直接將點(diǎn)的分析問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)之間的運(yùn)算，利用代數(shù)運(yùn)算的精準(zhǔn)性來突破. 具體討論標(biāo)準(zhǔn)同上，即分為01兩種情形.

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)a>1時(shí)，x4，x2在函數(shù)y1上;x3，x1在函數(shù)y2上. 根據(jù)函數(shù)解析式，分別令x2-4x+1=a-3，x2-3=a-3，可得x2+x4=4， x3+x1=0，所以x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4.

綜上可知，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

解法評(píng)析上述展示了第（3）問的三種不同切入視角，第一種解法以二次函數(shù)的平移作為切入點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式加以討論;第二種解法從四點(diǎn)存在的限定條件視角加以討論，輔以拋物線對(duì)稱性來簡(jiǎn)化代數(shù)式;第三種解法則在上述兩種解法的基礎(chǔ)上，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為不同的整體，結(jié)合韋達(dá)定理構(gòu)建關(guān)系式. 雖切入視角不同，但這些解法均存在如下一些共有特點(diǎn)：①考慮到直線y=a-3的解析式中含有參數(shù)a，無法確定直線的具體位置，因此需要對(duì)其加以分類討論，而分類討論的具體內(nèi)容均為四點(diǎn)位于函數(shù)圖像上的情形;②由于此問為一次函數(shù)與二次函數(shù)的相交問題，因此必然涉及兩函數(shù)解析式之間的關(guān)系分析，而求解兩根之差或兩根之和必然繞不開相關(guān)的定理，如求根公式、韋達(dá)定理等[1].

解題思考及教學(xué)建議

1. 關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)，透視核心概念

本題屬于初中數(shù)學(xué)的函數(shù)綜合題，解題過程涉及求二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸，以及兩類函數(shù)的交點(diǎn);而分析問題時(shí)又涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值，以及圖像繪制，這些內(nèi)容均是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和核心內(nèi)容. 數(shù)學(xué)解題最為基本的要求是理解題意，能夠運(yùn)用最基本的方法對(duì)問題進(jìn)行拆解，這就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中要充分理解教材的每一個(gè)核心概念，掌握基本的公式、定理. 同樣地，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)側(cè)重基礎(chǔ)概念、定理的講解，使學(xué)生充分理解概念背后的深層內(nèi)涵，能夠靈活運(yùn)用公式來求解基本問題[2].

2. 問題多解探究，拓展解題思維

上述在求解第（3）問時(shí)，基于不同的切入視角，靈活采用不同的方法加以分析、運(yùn)算，這些解題方法雖大同小異，但對(duì)于透視考題結(jié)構(gòu)、剖析深層內(nèi)涵，具有一定的作用. 如平移視角充分揭示了兩函數(shù)解析式和圖像之間的關(guān)系;限度條件視角剖析了討論的標(biāo)準(zhǔn)，以及兩函數(shù)圖像之間的交點(diǎn)情形;而整體視角則進(jìn)一步解讀了代數(shù)式背后的整體關(guān)系，建立了交點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系[3]. 這些探究所得的內(nèi)容對(duì)于完善學(xué)生的知識(shí)架構(gòu)、拓寬學(xué)生的解題思維，有極大的幫助. 因此，在日常的教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來分析問題，要幫助學(xué)生提煉、總結(jié)不同的解題思路，使之內(nèi)化為學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成自己的思維意識(shí)，從而不斷提升學(xué)生的思維水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]湯永明，王紅. 對(duì)兩道函數(shù)題的探究剖析與欣賞[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（2）：81-83.

[2]馮英馨，李鴻運(yùn). 一道中考函數(shù)壓軸題的一題多解賞析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（4）：87-88.

[3]李功林. 整體視角下的函數(shù)概念教學(xué)實(shí)踐與思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（14）：53-56.