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    透視圖形折疊,探討問(wèn)題策略

    2019-09-12 03:18:50劉燕

    劉燕

    [摘? 要] 圖形折疊是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,其中的“變”與“不變”性質(zhì)是該類(lèi)問(wèn)題解答的關(guān)鍵. 教學(xué)中首先要使學(xué)生理解圖形折疊的本質(zhì),掌握相關(guān)的性質(zhì),其中存在一些問(wèn)題,文章將對(duì)其加以探討.

    [關(guān)鍵詞] 圖形折疊;幾何問(wèn)題;教學(xué)微設(shè)計(jì)

    問(wèn)題起源

    “圖形的折疊”是初中數(shù)學(xué)幾何模塊重要的知識(shí)內(nèi)容,是構(gòu)建幾何體系的關(guān)鍵,初中階段學(xué)生需要掌握?qǐng)D形折疊的本質(zhì)、關(guān)鍵參數(shù)以及圖形折疊的性質(zhì). 圖形折疊會(huì)帶來(lái)眾多的關(guān)聯(lián)問(wèn)題, 如折疊點(diǎn)的具體位置、折線的長(zhǎng)度、重疊面積以及相關(guān)的角度和線段長(zhǎng)問(wèn)題. 考慮到折疊對(duì)象涉及三角形、矩形和正方形等圖形,若學(xué)生對(duì)圖形折疊知識(shí)理解不到位,則很容易陷入思維誤區(qū),造成解題錯(cuò)誤. 因此十分有必要對(duì)圖形折疊內(nèi)容進(jìn)行解讀,開(kāi)展教學(xué)微設(shè)計(jì),深入探討折疊的關(guān)聯(lián)問(wèn)題.

    知識(shí)解讀

    幾何中的折疊實(shí)際上就是圖形變換的一種方式,折疊的過(guò)程實(shí)際上就是軸對(duì)稱(chēng)變換的過(guò)程,因此折線就是圖形的對(duì)稱(chēng)軸,折疊前后的圖形關(guān)于折線成軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系. 考慮到折疊圖形完全重合,因此折疊過(guò)程存在圖形全等關(guān)系,根據(jù)圖形全等可知折疊前后圖形的形狀、大小、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不變,僅發(fā)生位置的改變,因此圖形折疊的關(guān)聯(lián)問(wèn)題是圖形的全等以及相關(guān)幾何關(guān)系的證明.

    圖形的折疊相對(duì)較為復(fù)雜,在實(shí)際操作中需要繪制折線和圖形折疊前后的位置,方便圖形幾何關(guān)系的分析,而在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)同樣可以采用該種方式,通過(guò)添加輔助線的方式用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述折疊的性質(zhì),然后利用特殊圖形和幾何定理來(lái)突破考題.

    教學(xué)微設(shè)

    初中數(shù)學(xué)的教學(xué)除了需要指導(dǎo)學(xué)生掌握基本的知識(shí),還需要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)探求的過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,教學(xué)圖形的折疊內(nèi)容同樣不例外,需要從基本幾何知識(shí)開(kāi)展教學(xué)微設(shè).

    微設(shè)一:本質(zhì)的探尋

    課堂上準(zhǔn)備一矩形ABCD,如圖1,將△ABD沿著對(duì)角線BD進(jìn)行折疊,使得頂點(diǎn)A落在矩形外的點(diǎn)E處,設(shè)BE與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)O,AE與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)F,分析△ABD折疊過(guò)程中存在哪些結(jié)論.

    引導(dǎo)1:關(guān)注圖形的折疊過(guò)程,分析折疊前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn),以及圖形的折痕.

    引導(dǎo)2:關(guān)注折疊前后圖形在大小和形狀上的關(guān)系,從幾何全等或相似角度分析.

    引導(dǎo)3:分析圖形中的全等三角形,根據(jù)全等性質(zhì)從邊和角兩方面總結(jié)結(jié)論.

    引導(dǎo)4:分析折疊前后圖形關(guān)于折痕的關(guān)系,從軸對(duì)稱(chēng)的角度概述折疊的本質(zhì).

    微設(shè)二:通法的探尋

    繼續(xù)以矩形ABCD為例,設(shè)AB=8,BC=6,此次以圖2所示情形進(jìn)行折疊,將△ABP沿BP進(jìn)行折疊,使得點(diǎn)A落到矩形的邊DC上,落點(diǎn)設(shè)為E.

    設(shè)問(wèn)1:上述折疊過(guò)程存在哪些特點(diǎn)?(分析折痕)

    設(shè)問(wèn)2:根據(jù)已知條件還可以求出哪些線段長(zhǎng)?

    設(shè)問(wèn)3:若要求AP的長(zhǎng),如何構(gòu)建思路?

    引導(dǎo):首先讓學(xué)生分析上述圖形折疊的特點(diǎn),根據(jù)已知條件求出一些線段長(zhǎng),然后分析其中的直角三角形,通過(guò)設(shè)未知數(shù),利用勾股定理構(gòu)建代數(shù)方程來(lái)求線段長(zhǎng).

    類(lèi)題探析

    初中數(shù)學(xué)以圖形折疊為基礎(chǔ)衍生的幾何問(wèn)題類(lèi)型較多,涉及眾多的典型問(wèn)題,中考還涉及一些關(guān)聯(lián)知識(shí),因此在問(wèn)題分析時(shí)除了需要利用圖形折疊的知識(shí)外,還需要把握問(wèn)題的結(jié)合點(diǎn)構(gòu)建思路,下面舉例探析.

    1. 通過(guò)折疊,求解線段長(zhǎng)

    例1? 在圖3所示的矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABE沿著AE進(jìn)行折疊,點(diǎn)B最終落在了點(diǎn)F處,且位于矩形的內(nèi)部,連接CF,則CF的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

    分析? 本題目主要考查圖形折疊和矩形的性質(zhì),首先需要提煉折疊的對(duì)象、折線和折疊后的圖形,根據(jù)折疊性質(zhì)明確等量關(guān)系. 求CF的長(zhǎng)需要將其放在特定的三角形中,利用三角形的相關(guān)定理構(gòu)建求解模型. 連接BF后,根據(jù)三角形的面積公式可求BH,進(jìn)而可得BF的長(zhǎng),分析可知△BFC為直角三角形,可以利用勾股定理來(lái)求CF.

    解答? 連接BF,交AE于點(diǎn)H,如圖4所示,根據(jù)折疊性質(zhì)可知BE=EF,BH=FH,AE⊥BF,對(duì)△ABE使用等面積法,可得S=AB·BE=AE·BH,可求得BH=,BF=2BH=. 由于EF=BE=CE,所以△BFC為直角三角形,即∠BFC=90°,在Rt△BFC中使用勾股定理,可得CB2=BF2+CF2,代入線段長(zhǎng)可解得CF=,即CF的長(zhǎng)為.

    2. 分析折疊,求解圖形面積

    例2? 如圖5所示,四邊形ABCD為一矩形,邊長(zhǎng)BC=8 cm,AB=6 cm,現(xiàn)將矩形ABCD沿著對(duì)角線BD進(jìn)行折疊,最終點(diǎn)C落在矩形外的點(diǎn)E處,設(shè)折疊后AD與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)F,則折疊后重疊部分△BFD的面積為_(kāi)_____.

    分析? 本題為以矩形折疊為背景求重疊面積的幾何題,首先需要根據(jù)題意明確圖形折疊的過(guò)程,即矩形沿著對(duì)角線BD進(jìn)行對(duì)折,點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E. 然后根據(jù)折疊特性提煉幾何條件,主要有兩類(lèi):一是等角,二是等邊. 然后基于面積公式求解關(guān)鍵的線段長(zhǎng).

    解答? 折疊前后的圖形為全等三角形,即△BDE≌△BDC,則∠1=∠2,BE=BC,DE=DC. 矩形中AD∥BC,則∠1=∠3,所以∠2=∠3,必然有BF=DF. 重疊的圖形為△BFD,則其面積S=BF·DE=FD·DE,在Rt△BAF中構(gòu)建求解三角形邊長(zhǎng)的方程,設(shè)FD=x,F(xiàn)A=8-x,由勾股定理可得BA2+AF 2=BF 2,及62+(8-x)2=x2,解得x=,所以S△FBD=××6= cm.

    3. 透視折疊,突破三角函數(shù)

    例3? 如圖6所示,將矩形ABCD的一邊AD進(jìn)行折疊,使得點(diǎn)D落在矩形底邊BC上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,若矩形的AB=8 cm,BC=10 cm,則tan∠EAF=______.

    分析? 本題目同樣為典型的圖形折疊問(wèn)題,特殊之處在于融合了三角函數(shù),在初中階段求解三角函數(shù)值一般需要將其放置在直角三角形中,利用三角形的邊長(zhǎng)比值關(guān)系求解. 由題意可知△ADE≌△AFE,則△AFE為直角三角形,所以tan∠EAF=,因此只需要利用題干條件求解線段EF和AF的長(zhǎng)度即可.

    解答? 四邊形ABCD為矩形,則CD=AB=8,AD=BC=10,分析折疊過(guò)程可知△ADE≌△AFE,所以∠AFE=90°,AF=AD=10,在Rt△ABF中利用勾股定理,可得BF=6. 設(shè)EF=x,則DE=EF=x,CE=8-x,CF=BC-BF=4,在Rt△CEF中利用勾股定理,可解得x=5,即EF=5. 在Rt△AEF中,tan∠EAF==.

    上述剖析了與折疊相關(guān)的幾類(lèi)問(wèn)題,涉及了基本問(wèn)題以及較為復(fù)雜的綜合問(wèn)題. 從問(wèn)題分析的本質(zhì)來(lái)看,實(shí)際上就是分析圖形折疊的本質(zhì),利用折疊的性質(zhì)求解相關(guān)的條件. 無(wú)論是求解三角形面積,還是求三角函數(shù)值,均需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)的線段長(zhǎng),常規(guī)的方法主要有兩種:一是利用三角形全等或相似來(lái)直接獲得,二是借助直角三角形的勾股定理,構(gòu)建求解線段長(zhǎng)的方程,通過(guò)解方程的方式獲得.

    教學(xué)反思

    圖形折疊是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,從“四基”理念出發(fā)需要教師在教學(xué)中回歸教材基礎(chǔ),剖析知識(shí)本質(zhì),突出重難點(diǎn),關(guān)注考點(diǎn)類(lèi)題,下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

    1. 立足折疊本質(zhì),串聯(lián)知識(shí)內(nèi)容

    圖形折疊作為幾何的重要部分,有著一定的特殊性,屬于幾何動(dòng)態(tài)知識(shí),學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)必然存在一定的難度,因此在教學(xué)中需要把握知識(shí)的本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生剖析圖形折疊背后的內(nèi)容,即折疊的本質(zhì)和性質(zhì). 考慮到其知識(shí)內(nèi)容又具有關(guān)聯(lián)性,教學(xué)中十分有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其加以串聯(lián),將三角形全等、軸對(duì)稱(chēng)相結(jié)合,構(gòu)建完整的知識(shí)體系,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)折疊的理解,為后續(xù)的問(wèn)題探析打下基礎(chǔ).

    2. 關(guān)注問(wèn)題方法,構(gòu)建解題思路

    圖形折疊是中考較為典型的一類(lèi)問(wèn)題,涉及求基本的線段長(zhǎng)、幾何角,以及復(fù)雜的面積、三角函數(shù)等,前者求解較為簡(jiǎn)單,但后者具有一定的綜合性,需要教師啟發(fā)思路,幫助學(xué)生掌握方法. 一般以折疊為載體的綜合性問(wèn)題,教學(xué)中首先需要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)述圖形折疊的過(guò)程,然后從中提煉關(guān)聯(lián)條件,對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換,建立問(wèn)題與條件的聯(lián)系,最后借助對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解. 例如求折疊中的幾何面積,可以基于面積公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng),利用特殊三角形的性質(zhì)構(gòu)建代數(shù)方程.

    3. 滲透數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)思維

    折疊問(wèn)題的求解過(guò)程涉及眾多的思想方法,從思想內(nèi)容來(lái)看,解題的過(guò)程就是在思想方法的指導(dǎo)下完成問(wèn)題轉(zhuǎn)化與建模,其中最為重要的思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和構(gòu)造思想. 數(shù)形結(jié)合滲透在整個(gè)問(wèn)題的分析過(guò)程中,而方程思想和構(gòu)造思想蘊(yùn)含在求解相關(guān)線段長(zhǎng)的模型中. 教學(xué)中需要關(guān)注兩點(diǎn):一是嚴(yán)格按照思想方法的意義進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo),二是使學(xué)生經(jīng)歷利用思想方法解題的過(guò)程,領(lǐng)悟運(yùn)用思想方法的解題思路. 在教學(xué)中合理地滲透數(shù)學(xué)思想,不僅可以使學(xué)生掌握解題策略,還可以提升學(xué)生的思維,使學(xué)生獲得長(zhǎng)足的發(fā)展.

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