基于結(jié)構(gòu)化視角的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)

胡全會(huì)

摘? 要：數(shù)學(xué)知識(shí)作為一個(gè)完整的整體，是結(jié)構(gòu)化的、密不可分的;數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)容上雖然具有迥然相異的特點(diǎn)，但在整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)概念中，卻存在著結(jié)構(gòu)化的“親緣關(guān)系”，不同部分之間也存在著各種“類似”。筆者認(rèn)為，需把握教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，從整體上不斷滲透思想方法，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體化教學(xué)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化;整體化;數(shù)學(xué)思想方法;認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的行為是整體認(rèn)知的行為，而教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的行為就是指導(dǎo)學(xué)生將課本中的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的行為。這是一種學(xué)生與教師共同參與的交互活動(dòng)，促進(jìn)他們的共同成長(zhǎng)。教師需要透徹地探究數(shù)學(xué)教學(xué)，用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)教學(xué)，站在系統(tǒng)化、整體化的高度進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，才能從真正意義上引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的教學(xué)模型與教學(xué)方法引導(dǎo)之下，系統(tǒng)有條理地掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，進(jìn)而形成完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，促進(jìn)思維結(jié)構(gòu)的不斷生長(zhǎng)。

一、基于“結(jié)構(gòu)”統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)知識(shí)融合的整體性

數(shù)學(xué)具有抽象性和嚴(yán)密性的特征。數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的認(rèn)知生成一種強(qiáng)烈的矛盾沖突，學(xué)生需要經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐，才能實(shí)現(xiàn)認(rèn)知上由具體化向抽象化的轉(zhuǎn)化。為解決這些矛盾，數(shù)學(xué)教材在編排方法上體現(xiàn)出序列性、遞進(jìn)性，知識(shí)間相互融通滲透，數(shù)、形、量以及應(yīng)用題內(nèi)容之間都存在著不可分割的關(guān)聯(lián)。只有整體把握內(nèi)容，融通知識(shí)間的聯(lián)系，才能滲透知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體意識(shí)，進(jìn)而凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

教材中關(guān)于“百分?jǐn)?shù)”的例題呈現(xiàn)：某小學(xué)十月份的用水量440立方米，比九月份節(jié)約水20%，請(qǐng)問(wèn)九月份用水量為多少立方米？

教材中需要學(xué)生掌握方程x-20%x=440，而對(duì)方程x×（1-20%）=440卻未做任何要求。教參上是這樣解讀的：（1）可以充分運(yùn)用學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題;（2）為防止機(jī)械分類實(shí)際問(wèn)題，形成對(duì)數(shù)量關(guān)系本質(zhì)上理解的偏差，進(jìn)而無(wú)法遷移運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法。筆者以為，需站在整體化的高度，凸顯數(shù)量關(guān)系本質(zhì)，融通數(shù)量關(guān)系與原有知識(shí)的聯(lián)系，提升學(xué)生知識(shí)與方法的遷移能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的舉一反三。

師：我們回憶一下已學(xué)的較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題與分?jǐn)?shù)的意義，我們還可以如何分析這一道題呢？

生1：題中所提到的“比九月份節(jié)約水20%”，也就是說(shuō)“十月份比九月份節(jié)約”。

生2：我們可以這樣思考，將九月份的用水的噸數(shù)平均分為5份，而節(jié)約的噸數(shù)占這樣的1份，那十月份用水量就是這樣的4份，運(yùn)用整數(shù)方法解決為440÷4×5=550（噸）。

生3：九月份與十月份用水之比為5∶4，這樣一來(lái)還可以轉(zhuǎn)化用分?jǐn)?shù)乘除法解題。

生4：十月份用水量相當(dāng)于九月份的（1-20%），用除法可列式為440÷（1-20%）。

……

心理學(xué)研究顯示，往往零碎的知識(shí)最不易記住，而加深記憶最好的方式就是將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)、融合，并建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，感悟知識(shí)過(guò)程，進(jìn)而提升對(duì)新知識(shí)的接納度。學(xué)生一旦深度理解了數(shù)量關(guān)系，百分?jǐn)?shù)問(wèn)題也就能輕松自如解答了，對(duì)于一些綜合性較強(qiáng)的百分?jǐn)?shù)問(wèn)題也能做到運(yùn)籌帷幄。

二、基于數(shù)學(xué)思想方法的“滲透”，促進(jìn)知識(shí)理解的結(jié)構(gòu)化

教師需要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的“滲透”，整體把握數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的能力。不少學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)薄弱，無(wú)法實(shí)現(xiàn)暢通無(wú)阻地提取知識(shí)，原因在于數(shù)學(xué)思想方法的滲透度不足。教師應(yīng)精心選擇一些具有較強(qiáng)遷移性和豐富內(nèi)涵的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)思想，鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)。

比如推導(dǎo)圓的面積公式，教師基于圓的特征，遵從學(xué)生認(rèn)知延伸探究，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)推導(dǎo)的過(guò)程，進(jìn)而感悟平面圖形面積推導(dǎo)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

師：同學(xué)們，思考一下圓的面積與哪些因素有關(guān)聯(lián)？

生1：如圖1所示，在圓的外面畫(huà)一個(gè)正方形，使它的邊長(zhǎng)與圓的直徑相等，由此得出圓的面積小于半徑平方的4倍，即S<4r2。

生2：如圖2所示，在圓內(nèi)畫(huà)一個(gè)內(nèi)接正方形，由此得出圓的面積大于半徑平方的2倍，即S>2r2。

師：很好，確定了圓的面積和半徑平方的關(guān)系之后，我們?cè)儆^察一下圖3，有沒(méi)有一些新想法？

生3：從圖中可以看出，圓平均分為6個(gè)扇形，如果我們將每個(gè)扇形看為近似三角形，由此可以看出弧長(zhǎng)是三角形的底邊，半徑是三角形的高。

生4：你說(shuō)得不對(duì)，如圖4所示，假如將弧長(zhǎng)拉直，看作半徑作為高的三角形，那頂角的度數(shù)一定會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變，不再是原來(lái)的60°，要不然這個(gè)三角形就應(yīng)為等邊三角形。

（學(xué)生們經(jīng)過(guò)一番討論之后，教師呈現(xiàn)完整圖形：圓外切正六邊形以及圓內(nèi)接正六邊形）

生6：我認(rèn)為，每個(gè)扇形的面積略小于較大正三角形，略大于較小正三角形。

生7：將扇形視為一個(gè)近似三角形，底邊就是較小正三角形的底邊，圓的半徑就是高，圓的面積大約為半徑平方的3倍，即S≈3r2。

生8：如果我們繼續(xù)分，圓的面積是否推算得更為準(zhǔn)確？

（教師又一次呈現(xiàn)出將圓平均分十二份和二十四份的外切和內(nèi)接正多邊形）

生9：將那些扇形拼在一起，是不是可以視為一個(gè)近似長(zhǎng)方形或者平行四邊形呢？這似乎與教材中的推導(dǎo)方法一樣。

生10：隨著分的份數(shù)的增多，扇形與三角形的貼合度就越高，如果我們將分成的扇形的個(gè)數(shù)用字母n來(lái)表示，三角形的底邊即為弧長(zhǎng)，三角形的高就是半徑，圓的面積為S=C÷n×r÷2×n=2πr÷n×r÷2×n=πr2。

師：那你們認(rèn)為，圓面積的公式推導(dǎo)和其余的平面圖形有何異同之處？

生11：都需要將它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)變?yōu)橐褜W(xué)平面圖形，借助分、畫(huà)、拼等方法進(jìn)行推導(dǎo)。

生12：圓面積推導(dǎo)起來(lái)較為復(fù)雜，需步步推進(jìn)。

圓的面積推導(dǎo)無(wú)法實(shí)現(xiàn)一步到位，需要借助“轉(zhuǎn)化”思想進(jìn)行推導(dǎo)。從另外一個(gè)角度來(lái)講，學(xué)生探索問(wèn)題越“曲折”，知識(shí)的理解度就越高。教師需引導(dǎo)學(xué)生多番假設(shè)，多番推翻，在思維碰撞中生成火花，在不斷探究中明確方向，在不斷反思中尋求通性通法，進(jìn)而融通思想方法，促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)。