探索高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)稱性問題的教學(xué)手段

黃明書

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重點(diǎn)教學(xué)數(shù)學(xué)中的雙基知識(shí)，在完整的教學(xué)活動(dòng)中要向?qū)W生傳遞更多滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想，基于數(shù)學(xué)思想對(duì)各類問題進(jìn)行解答。對(duì)稱性廣泛存在于數(shù)學(xué)之中，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。對(duì)稱思想是重要的數(shù)學(xué)解題策略之一，筆者闡述和分析對(duì)稱思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);對(duì)稱性;教學(xué)手段

在現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中存在較多基礎(chǔ)教學(xué)知識(shí)，要求學(xué)生能掌握對(duì)應(yīng)的教學(xué)層次，應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)思想對(duì)各類問題進(jìn)行解答。借助不同解答方式能判定問題產(chǎn)生源頭，設(shè)定問題解決對(duì)策，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。高中數(shù)學(xué)解析幾何中涉及到的對(duì)稱問題是重要問題，要合理選取不同思想解答問題。

一、對(duì)稱思想

對(duì)稱是普遍的自然現(xiàn)象.對(duì)稱表現(xiàn)了簡單、勻稱、和諧，帶給人美的享受。而對(duì)稱在數(shù)學(xué)中普遍存在，如數(shù)學(xué)式的對(duì)稱結(jié)構(gòu)、圖形的對(duì)稱性、思考問題的對(duì)稱策略、數(shù)學(xué)的對(duì)稱美等。20世紀(jì)德國著名數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾說：“對(duì)稱是一種思想，通過它，我們畢生追求，并創(chuàng)造次序、美麗和完善....在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握并巧妙地運(yùn)用對(duì)稱思想，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所追求的目標(biāo)。在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，對(duì)于對(duì)稱知識(shí)的考查屢見不鮮。

對(duì)稱是解決問題的重要策略之一，如配對(duì)策略、類比、特殊與一般、正難則反、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、主變量與參變量換位等都是常見的解決數(shù)學(xué)問題的對(duì)稱策略。這不僅對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)要求高，還要求學(xué)生有靈活的思維能力。

對(duì)稱是一種優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它包含了許多符合人類認(rèn)知規(guī)律的特征.筆者將不對(duì)稱的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，能夠指引學(xué)生尋找更簡單、巧妙、實(shí)用、直接的解題策略。

二、高中數(shù)學(xué)中解析幾何的對(duì)稱內(nèi)容

1、解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱定義

在解析幾何中，比如立體幾何，在學(xué)習(xí)過程中要建立對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系。在坐標(biāo)系中，如果將P （a， b）視為X軸線上的一點(diǎn)，關(guān)于Y軸的對(duì)稱坐標(biāo)就是P （-a， b），關(guān)于x軸線的對(duì)稱坐標(biāo)就是（-a， -b ）。在不考慮Z軸的平面直角坐標(biāo)系中，正常情況下第一象限與第二象限對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)就是（+，+）、（-，+），第三象限與第四象限對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-，-）、（+，-）。

2、點(diǎn)對(duì)稱與直線的解析

在正常情況下，可以選用相應(yīng)的解析式來表示對(duì)應(yīng)的直線Y，實(shí)際表現(xiàn)為Ax+By+C=0。在解析集合中，需要選取直線Y和原點(diǎn)相關(guān)的對(duì)稱點(diǎn)。結(jié)合慣性思維，要首先確定某個(gè)點(diǎn)的精確坐標(biāo)，將其設(shè)為點(diǎn)P （ x，y）。此點(diǎn)如果是在第一象限，則關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)要在第三象限，能將Q設(shè)定為（x，y）。加上Q在直線Y上，因此此點(diǎn)與直線相關(guān)的對(duì)稱方程就是A （-x） +B （ -y） +C=0，將此方程式進(jìn)行簡化能得出Ax+By-C=O，在現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)過程中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱應(yīng)用較多。

3、點(diǎn)和曲線的對(duì)稱關(guān)系

在高中階段解析幾何中曲線對(duì)稱應(yīng)用不多，大多都是在微積分對(duì)稱點(diǎn)以及二次函數(shù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較多。在問題解答中將曲線L1： f （ x， y）視為是一條曲線，那么能將P視為曲線上任意一點(diǎn)。依照對(duì)稱相關(guān)原理能得出，在曲線f（x，y）=0中，P關(guān)于M （x0， y0）相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)是（2x0- x， 2y0- y），基于此能得出對(duì)應(yīng)方程組。

三、生活中的對(duì)稱性

以布依族為例，在布依族的服飾之中，有很多好看的刺繡圖案。如荷花，象征清白和愛情。荷的精神不僅是布依族精神而且是中華民族精神的有機(jī)組成部分。梅花：布依族人民熱愛的花種，表示布依族人民戰(zhàn)天斗地、傲雪綻放、不畏嚴(yán)寒、永不退縮的品格?！叭f花敢向雪中出，一樹獨(dú)先天下春?！薄傲韬?dú)自開”的不畏嚴(yán)寒、堅(jiān)強(qiáng)不屈的品格和獨(dú)步早春的精神，正是布依族勤勞勇敢、堅(jiān)強(qiáng)剛毅之偉大精神的象征。這些圖案，都在進(jìn)行加工中，形成了對(duì)稱性的圖形。如女性腰間束的繡花腰帶的手工繡花圖案，就是由多個(gè)軸對(duì)稱的花朵組合而成的。而布依族服飾中的格子頭帕，作為布依族服飾的典型代表，在布依族的佩戴后，就會(huì)體現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)的軸對(duì)稱美，也體現(xiàn)了布依族人的智慧與心靈手巧。21世紀(jì)以前，在多數(shù)布依族族群中，無論節(jié)日還是在日常生活中，男女老少都會(huì)佩戴格子頭帕。如今，在貴州黔西南冊(cè)亨縣的布依族，除了節(jié)日和特殊場(chǎng)合，只有部分中年和老年女性仍然把格子頭帕作為日常穿戴的一部分，而年輕人們?cè)缫选案念^換面”，以現(xiàn)代“工業(yè)化”服飾裝扮自我。

四、對(duì)稱性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想是重要思想方法，目前在諸多高中問題解答過程中比如導(dǎo)數(shù)題、分段函數(shù)、數(shù)列絕對(duì)性、排列組合方式等，在近年來高考數(shù)學(xué)題中諸多題型要通過分類討論方式進(jìn)行解答，是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)靈活性、發(fā)散性、完整性進(jìn)行綜合考查的重要思想，要求教師在教學(xué)過程中深入探究與實(shí)踐。比如在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD中，AB與BC的數(shù)值為2和1。其中AB與AD在x軸以及y軸的正半軸中，A與坐標(biāo)原點(diǎn)有效重合。之后將矩形進(jìn)行重疊，將A點(diǎn)坐落在線段DC中。其中折痕所在直線基本斜率是k，寫出折痕所在位置的直線方程。從己知條件中能得出斜率是k，所以斜率存在。從題意中能得出，斜率k能為0，也能不為0，要對(duì)其進(jìn)行分類討論。當(dāng)斜率k等于0，此階段A和D能有效重合，此階段折痕直線方程是y=1/2。當(dāng)k≠0，矩形經(jīng)過折疊之后的A點(diǎn)能落在CD上的點(diǎn)是G （a， 1），所以A和G相關(guān)的折痕所在直線能有效對(duì)應(yīng)，能得出G點(diǎn)坐標(biāo)值為（-k， 1）。從折痕所在直線以及AG交點(diǎn)坐標(biāo)是M（-k/2， 1/2），折痕所在直線方程為y-1/2=k（x+k/2），得出k=0， y=1/2。

所以在直線方程求解過程中，要對(duì)斜率進(jìn)行分析，判定斜率是否存在，截距相等或是為零的情況，分析相應(yīng)的位置關(guān)系，進(jìn)行討論探究。

對(duì)稱變換涉及到函數(shù)相關(guān)學(xué)習(xí)，在函數(shù)學(xué)習(xí)中，函數(shù)奇偶性是對(duì)稱變化中最常見的形態(tài)。根據(jù)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)不斷深入教學(xué)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)稱變化思想也要滲透到教學(xué)學(xué)習(xí)中，例如在抽象函數(shù)對(duì)稱變換中，將排列組合基本位置進(jìn)行變換，平均分組，對(duì)各類常見問題進(jìn)行解答。比如直線順著直線L1：x -2y +5=0位置穿入，碰觸到直線L2：3x-2y+7=0后進(jìn)行反射，求出反射光線所在位置直線方程。針對(duì)此類問題解答，要結(jié)合題意整合各個(gè)己知條件。

在解答各類與幾何相關(guān)的問題時(shí)，要分析幾何基本性質(zhì)，這樣能有效簡化解題思路，促使運(yùn)算過程更為簡便。通過建立相應(yīng)解題方程，找尋問題解答重要突破口。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)初始階段，教師要注重對(duì)不同學(xué)習(xí)思想進(jìn)行全面滲透，引導(dǎo)學(xué)生通過問題本質(zhì)解答問題，靈活應(yīng)用高中數(shù)學(xué)解析幾何中對(duì)稱變換思想、分類討論思想等，串聯(lián)不同知識(shí)點(diǎn)，將各類知識(shí)點(diǎn)全面結(jié)合，促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)能力全面提升。

五、結(jié)語

綜合上述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的對(duì)稱問題是目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，目前學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，要從對(duì)稱定義出發(fā)，掌握更多對(duì)稱相關(guān)知識(shí)。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中注重總結(jié)與反思，應(yīng)用對(duì)稱知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行解答時(shí)，要嘗試選取不同方法對(duì)同一個(gè)問題進(jìn)行解答，從而提升自身思維能力，強(qiáng)化綜合學(xué)習(xí)技能。在學(xué)習(xí)中要整合學(xué)生學(xué)習(xí)需求，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行分析，開展針對(duì)性教學(xué)探究活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡思成.關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題思路的探索[J].求知導(dǎo)刊，2015，0（21）.