求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法探討

馮淑萍

摘??要：在高中數(shù)學(xué)必修課程中數(shù)列屬于重要課程內(nèi)容，在做數(shù)列題時數(shù)列通項(xiàng)公式求解屬于基礎(chǔ)。此次研究主要是探討分析了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法，希望能夠?yàn)榻處熃虒W(xué)提供參考作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;通項(xiàng)公式;常用方法

在高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)列屬于必考內(nèi)容內(nèi)容，近些年難度有所下降，屬中檔以下題目。數(shù)列的通項(xiàng)求解是數(shù)列知識的重要內(nèi)容，也是考查數(shù)列知識的重要形式。數(shù)列能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和觀察理解能力。在高考中也多次考察了數(shù)列知識。數(shù)列知識中的核心內(nèi)容之一就是通項(xiàng)公式，與函數(shù)解析式的作用類似。在得知數(shù)列通項(xiàng)公式之后就能夠計(jì)算出數(shù)列中任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)之和，得出數(shù)列通項(xiàng)公式是求解數(shù)列問題的關(guān)鍵步驟。

1、觀察法

該種方法主要是對數(shù)列特征進(jìn)行觀察，尋找出各項(xiàng)共同構(gòu)成規(guī)律，分析各項(xiàng)數(shù)列的關(guān)系結(jié)構(gòu)以及內(nèi)在聯(lián)系，這樣能夠歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式，之后通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行驗(yàn)證。

例如下列題目;假設(shè)，若b=1，求解及數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：從題意可得

所以可以猜想，之后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明上式計(jì)算正確。

2、定義法

該種求解方法主要是直接應(yīng)用等比數(shù)列或等差數(shù)列的基本定義求解通項(xiàng)的方法，定義法適用于已知數(shù)列類型的題目。

例：已知等差數(shù)列滿足，（1）求解的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，問與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等。

解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以d=2，有因?yàn)?，所以，故，所以（n=1，2……）

（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，所以，由，得到n=63，所以與數(shù)列的第63項(xiàng)相等。

3、公式法

如果已知數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。

例：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：由可得，當(dāng)n=1時，，當(dāng)時，。而，所以。

4、累加法

若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累加法”求通項(xiàng). 先給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個式子，再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相加化簡，即得到數(shù)列的通項(xiàng).

例：??若滿足?，并且，那么數(shù)列的前10項(xiàng)總和為____。

解：?從題意能夠得出=（）+（）+…+（）+ =n+（n-1）+…+2+1= ，所以= =。所以， ?= + +…+ = = ，所以= 。

5、累乘法

在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng). 先給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個式子，再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相乘化簡，即得到數(shù)列的通項(xiàng).

例：已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。

解：由條件可知=，在上式中n依次取值1，2，3，…，（n-1），得到n-1個等式累乘之，即=，即，有因?yàn)?，所以?/p>

6、構(gòu)造法

第一，如果遞推公式為=（在該式中p、q都屬于常數(shù)，并且p，q，p-1不等于0），一般情況下，該種遞推公式的解題步驟就是先將原遞推公式轉(zhuǎn)化為-t=p（-t） ，其中t=之后通過換元法將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，之后再進(jìn)行求解。比如2014年新課標(biāo)全國卷Ⅱ中關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的題目。

例：已知數(shù)列{}滿足=1，=3+1，證明{+}是等比數(shù)列，并且計(jì)算出{}的通項(xiàng)公式。

解：由于=3+1能夠得出+=3（+），又因?yàn)?=，所以{+?}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以+ =×3n-1= ，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為=。

第二，如果遞推公式為=p+kn+b（在上式中，p、k、b均為常數(shù)，并且pk不等于0）時，一般情況下，解題思路就是將原遞推公式轉(zhuǎn)化為+x（n+1）+y=p（+xn+y），其中x、y的值是由方程給出，比如2007年天津市文科數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的題目。

例：在數(shù)列{}中，=2，=4-3n+1，求解數(shù)列{}的通項(xiàng)。

解：由=4 -3n+1能夠得出-（n+1）=4（-n），又因?yàn)?1=1，所以數(shù)列{-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以–n=4n-1，即=4n-1+n。

第三，如果遞推公式為=p+cn（在該式中p、c均屬于常數(shù)，并且pc不等于0）時，一般情況下，解題思路為將原遞推公式轉(zhuǎn)化為=·+。第一種情況：如果p=c，那么 ?-=，此時數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，那么=+（n-1）·，即=（n+-1）cn-1。第二種情況：如果p不等于c，那么可將原式轉(zhuǎn)化為-t=（-t），在該式中t=，此時能夠求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]?李萍，張孝梅.多題歸一在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的運(yùn)用與拓展——以形如α_（n+1）=pα_n+f（n）的遞推公式為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，30（03）：127-129.

[2]?劉鐵龍.利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項(xiàng)公式求法——以《一類數(shù)列通項(xiàng)公式的求法》一課教學(xué)為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，29（02）：120-122.

（作者單位：云南省曲靖市第一中學(xué)）