巧用平面幾何知識來解反比例函數(shù)的綜合問題

黃晴 賈建寧

摘要：通過研究2022年的中考題，引導(dǎo)學(xué)生如何利用平面幾何圖形性質(zhì)求反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，提高學(xué)生推理證明、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，整體提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：平面幾何；反比例函數(shù)；綜合問題；變式深化

反比例函數(shù)不少問題設(shè)計都與平面幾何知識息息相關(guān)，解題時如果能抓住所涉及的平面幾何圖形的特征，借助平面幾何定義、定理及性質(zhì)，有助于解決一些反比例函數(shù)的綜合問題，本文以實例對此作些探討.

1利用等腰三角形的性質(zhì)

例1（2022年吉林省中考數(shù)學(xué)第12題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

分析：連接BC，先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得OA=2，再由同圓半徑相可等判定△ABC是等腰三角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一可得OC=OA=2，由此即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）.

評注：此題還可以用圓的直徑在y軸的正半軸上，據(jù)圓的對稱性可知，A（－2，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)就是點(diǎn)C.

變式深化：其它條件不變，若弧AC與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且OD=2（?2?－1），求半徑BA的長.

2利用三角形中位線的性質(zhì)

例2（2022年寧夏中考數(shù)學(xué)第24題）如圖2，Rt△ABO的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2?3?，反比例函數(shù)y=?k?x?（x>0）的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）連接CD，求四邊形CDBO的面積.

分析：（1）欲求反比例函數(shù)的解析式，需知點(diǎn)C或點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)已知點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，在Rt△OAB中，AB=OBtan30°=2，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，則CE=?1?2?AB=1，OE=?1?2?OB=?3?，故點(diǎn)C（?3?，1）.

（2）將xD=2?3?代入（1）中求得的解析式，求得點(diǎn)D〖JB（（〗2?3?，?1?2?〖JB））〗，因為AB=2，AD=?3?2?，所以SACD=?1?2?AD·BE=?3?3??4?，并由S四邊形CDBO=S△ABO－S△ACD可求.

評注：這是反比例函數(shù)與幾何的綜合題.第（1）問求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是關(guān)鍵；第（2）問利用割補(bǔ)法求四邊形的面積.

變式深化：（1）求直線CD的解析式；（2）求Rt△OAB被直線CD分割后所成兩部分的面積比.

3利用圖形翻折的性質(zhì)

例3（2022年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市中考數(shù)學(xué)第15題）如圖3，正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，E，F(xiàn)分別是邊AB，OA上的點(diǎn)，且∠ECF=45°，將△ECF沿著CF翻折，點(diǎn)E落在x軸上的點(diǎn)D處，已知反比例函數(shù)y1=?k1?x?和y2=?k2?x?分別經(jīng)過點(diǎn)B，E.若S△COD=5，則k1－k2=______.

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，k1-k2其實是第一象限的對應(yīng)兩個矩形的面積之差，這樣作EH⊥y軸于點(diǎn)H，則四邊形BCHE，AEHO都為矩形，利用折疊的性質(zhì)得∠BCE=∠OCD，再證明△BCE△OCD（ASA），則兩三角形的面積相等，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得k1－k2的值.

評注：本題根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，關(guān)鍵求出兩個矩形的面積之差，轉(zhuǎn)化為矩形BCHE的面積，為此先推證∠BCE=∠OCD，或者推證∠CEH=∠DCO，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化的方法求解即可.清晰的思路，流暢的邏輯通路都是建立在一定的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上活動，形成數(shù)學(xué)的直觀能力，發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng).

變式深化：若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，求反比例函數(shù)y1=?k1?x?和y2=?k2?x?的解析式.

4利用平行四邊形、矩形和全等三角形判定與性質(zhì)

例4（2022年安徽省中考數(shù)學(xué)第13題）如圖5，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y=?1?x?的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，y=?k?x?（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B.若OC=AC，則k=______.

分析：欲求k，只需求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，只需求出2SRt△OBE即可.如圖6，過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E.先證明四邊形CDEB為矩形，得出CD=BE，再證Rt△COD≌△BAE（HL），

根據(jù)S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=?1?2?S平行四邊形OCBA=1即可.

評注：本題是反比例函數(shù)與幾何綜合.緊緊抓住反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，而點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，1），這是S△OCD=S△CAD=?1?2?的關(guān)鍵數(shù)據(jù).又點(diǎn)B的坐標(biāo)（xB，yB）與Rt△OBE的面積息息相關(guān)，SRt△OBE=?1?2?OE×EB=?1?2?xB·yB，即反比例函數(shù)k=xB·yB，這些邏輯推理源于對反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)的熟練地掌握.

變式深化：若把反比例函數(shù)y=?1?x?改為y1=?k1?x?，其它條件不變，求k－k1=？

總之，函數(shù)試題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，考查形式多樣，試題往往與平面幾何圖形緊密聯(lián)系在一起，一方面考查平面幾何中有關(guān)圖形的判定和性質(zhì)，另一方面有考查函數(shù)的性質(zhì)，雙管齊下，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生各方面的能力要求較高，因此重視數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗的積累，數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這樣才能幫助學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力，有力的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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