究其惑，尋其解

徐志剛

摘? 要：解析幾何是高中數(shù)學教學當中的重難點內(nèi)容，也是高中數(shù)學教學當中的重要組成部分之一。解析幾何要求學生在解題的過程當中，能夠以平面直角坐標系為基礎，充分利用數(shù)形結(jié)合方法，通過代數(shù)方式來解決問題。除此之外，高中解析幾何的教學方法要求數(shù)學教師具備更高的專業(yè)素養(yǎng)和能力。在進行解析幾何的教學之前，教師首先應充分理解有關解析幾何的相關知識和深刻內(nèi)涵，并充分考慮到學生的接受能力與學習能力，選擇最合適的教學模式，提升學生的邏輯思維能力。

關鍵詞：解析幾何;數(shù)學教學;高中數(shù)學

【中圖分類號】G633.6??? 【文獻標識碼】A?????? 【文章編號】1005-8877（2019）19-0003-02

在新課改后，有關部門將解析幾何納入了重點教學內(nèi)容。學生在剛剛開始學習有關解析幾何的知識時，首先應該掌握圓錐曲線和圓的方法以及在平面直角坐標系當中怎樣用方程來表達直線。在掌握了這些代數(shù)的基礎知識之后，學生才能借助其開展對于幾何問題的進一步研究，進而深刻領會數(shù)形結(jié)合思想的重要性。在此基礎之上，學生便可以熟練掌握方程與曲線之間的關系，并熟練運用三角函數(shù)以及平面向量等知識點。只有做到了上述幾點，才能更好地為通過解析幾何知識解決實際問題奠定基礎，進而提高高中學生的數(shù)學學習效率。因此本文將淺談筆者對于解析幾何教學的一些感悟。

1.高中解析幾何教學中的數(shù)學思想

（1）?????? 運用坐標法解決數(shù)學難題。高中階段的幾何思想主要體現(xiàn)在運用坐標法解決數(shù)學難題上，而要高效運用幾何思想應該做到以下幾點：第一，正確選擇坐標軸;第二，利用代數(shù)與曲面以及曲線之間的關系和本質(zhì)明確表達題意;第三，借助代數(shù)知識解答幾何問題。在解題的過程當中坐標的選擇是其中的重點內(nèi)容。若能選擇適當?shù)淖鴺溯S，可以在很大程度上簡化學生的分析過程與計算過程。其中應該注意的是，選取不同的坐標軸并不會改變圖形本身的性質(zhì)。以幾何圖形橢圓來說明，例如，一個圓經(jīng)過橢圓x2/16+y2/4=1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則求該圓的標準方程。這種題目有坐標法是最好的求解方法，首先根據(jù)橢圓的方程可以求出三個頂點的坐標分別為，（4，0）、（0，-2）、（0.2），并且圓心在x軸正半軸，設圓心的坐標為（a，0），則圓的半徑為4-a，可以得到（4-a）2=a2+22，那么可以解出a=3/2，所以得到橢圓的方程為（x-3/2）2+y2=25/4。在此題中，主要是通過坐標之間的關系來建立等式，利用圓的半徑均相等來建立恒等式。這三種建立坐標系的方法，橫軸的位置并無區(qū)別，主要在于縱軸位置與原點位置的選取。在教學時教師可以分別使用這三種方法建立直角坐標系，并計算，引導學生感受這三種方法在計算過程當中的差異，進而幫助學生深刻領會到利用直角坐標系來解決問題的巧妙作用。

（2）運用數(shù)形結(jié)合來解決數(shù)學難題。高中數(shù)學解析幾何首先要借助代數(shù)初步了解幾何圖形的表達方式通過將圖形反映到坐標系上，然后將圖形轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題進行解決，也就是說計算出圖形的坐標方程。例如，兩條平行直線可以通常兩個方程來求解，判斷解的情況，進而判斷直線是否平行，從而將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題;再有，通過計算代數(shù)式，理清代數(shù)與幾何圖形之間的關系;最后，將所得出的答案轉(zhuǎn)化成為題目所需的幾何問題的答案。例如，求解離心率的問題，已知A，B為雙曲線E的左右頂點，點M在E上，三角形ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則求雙曲線E的離心率。解題時，首先要有清晰的解題思路，然后通過圖形以及坐標的方式來求解答案。本題可以通過設雙曲線的方程為x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0），如下圖所示，AB=BM，角ABM=120°，過點M做MN垂直于x軸，垂足為N，在直角三角形BMN中，BN=a，MN= a，可以得到M點坐標為（2a， a），代到雙曲線方程得到c2=2a2。所以求得離心率e=_________________ .

2.高中數(shù)學解析幾何教學中的主要問題

（1）?????? 高中生缺乏較強的數(shù)形結(jié)合能力。高中生剛剛接觸復雜、抽象的幾何問題，因而大多數(shù)高中生都不具備較強的數(shù)形結(jié)合能力，他們在解決幾何問題的時候無法充分發(fā)掘題目當中的隱藏條件，進而無法正確畫出題目所需的幾何圖形。多數(shù)學生在多次讀題后仍然無法正確畫出圖形，進而無法順利證明題目所需的條件或者無法求出題目所需的數(shù)值。

（2）?????? 高中生缺乏較強的逆向思維能力。在學習有關解析幾何的內(nèi)容時，要求學生具備幾何圖形當中的信息轉(zhuǎn)化成為代數(shù)表達式的能力。這項工作看似只是將相同的條件用兩種不同的方式表達出來，實則條件的轉(zhuǎn)換會直接影響到解題的過程與結(jié)果。我們在高中階段常說的逆向思維是指以代數(shù)知識為基礎，根據(jù)題目所給的條件推算出代數(shù)關系式。而高中學生才剛剛接觸到有關幾何的知識，因而大部分高中生并不具備逆向思維的能力。正是由于逆向思維能力的缺失為學生學習有關解析幾何的知識帶來了極大的阻礙。

（3）高中生不具備較強的計算能力。在高中解析幾何當中，需要將圖形語言轉(zhuǎn)化成為數(shù)學語言，且計算量較大。而高中教師在教學的過程當中大多數(shù)都過于重視學生思維模式的訓練，卻忽視了對于學生計算能力的培養(yǎng)，因而大多數(shù)高中學生都不具備較強的計算能力。因此在解析幾何教學過程當中常常會出現(xiàn)學生思維正確，但是最終計算結(jié)果錯誤的現(xiàn)象，極大降低了學生解題的正確率。

3.高中數(shù)學解析幾何中的教學方法

（1）貫穿數(shù)學文化，提升學習興趣。在高中數(shù)學過程中，老師要靈活運用課本，不能將其作為教學依賴，應豐富其課堂形式，從而培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的興趣。現(xiàn)階段，在高中教材當中有關解析幾何的教學內(nèi)容容量較大。比如，在學習“平面解析幾何初步”這一章節(jié)的內(nèi)容時，要求學生能夠同時掌握根據(jù)圓解方程、根據(jù)直線解方程以及建立空間直角坐標系等多種解題方式。教師在進行解析幾何教學時應巧妙地將數(shù)學史融合在其中，這樣不僅能夠提升學生的解題與學習能力，還能夠培養(yǎng)學生對數(shù)學的喜好。比如，老師在講解坐標系時，可以將數(shù)學史穿插到課堂授課當中，可以給學生講講與坐標系相關的數(shù)學史，引起學生學生興趣。老師可以在講解該章節(jié)的內(nèi)容之前先查閱一些有關笛卡爾的事跡以及思想。在正式上課之前先給學生普及這些小知識數(shù)學故事，從而激發(fā)學生對解析幾何的學習熱情與興趣。

（2）強調(diào)坐標地位，熟練建立坐標。高中學生在學習有關解析幾何的內(nèi)容時，平面直角坐標系的建立會在其中起到非常重要的作用。這是因為建立直角坐標系可以將代數(shù)和幾何這兩個毫無關系的數(shù)學元素結(jié)合起來，取長補短，進而有效解決數(shù)學難題。此外，高中學生最先是通過直角坐標系來理解幾何圖形的，因而教師在進行解析幾何教學時應強調(diào)坐標系的重要性，教師在教學時可以從以下幾個方面入手：首先，教師在講述該章節(jié)的內(nèi)容時一定要強調(diào)坐標系對于解析幾何的重要性，并明確建立直角坐標系和解題的具體步驟，幫助學生明確思路，建立解題框架。一是，學生在拿到題目之后應該先審題，然后根據(jù)題意和幾何圖形的性質(zhì)建立合適的直角坐標系，并借助方程式或者是坐標軸將幾何圖形中的條件用代數(shù)式表達出來。二是，學生要用課本上所講到的代數(shù)知識解答代數(shù)問題，并得出正確的答案。三是，學生應合理分析代數(shù)結(jié)果，最后將其與幾何圖形的基本性質(zhì)相結(jié)合，得出最終的結(jié)論。

其次，教師在講授解析幾何章節(jié)內(nèi)容時應注重培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想，并引導學生使用數(shù)形結(jié)合的思想解決幾何問題。只有這樣學生在遇到復雜的幾何問題時才會明確思路，通過建立直角坐標系來解決該類題型，進而讓學生領會到使用坐標法解決幾何問題的簡易型和高效性。比如，在證明三角形或者四邊形的性質(zhì)時，單純地依靠幾何當中的定理與性質(zhì)是很難得出正確答案的，這個時候就需要學生建立直角坐標系，采用代數(shù)的方法來證明，可以極大提高解題效率。例如，若雙曲線的方程為x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線唄圓（x-2）2+y2=4的弦長為2，求曲線C的離心率。在求解本題時，可以通過坐標系來求解，可以在坐標系中畫出圓的方程，然后通過一直關系來構(gòu)造等式。由幾何關系可以得到x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0），雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0或bx-ay=0，圓心的坐標為（2，0），到漸近線的距離為 ，則點（2，0）到漸近線bx+ay=0的距離為2b/c= ，則c2=4a2，，所以求得離心率e為2

（3）注重引發(fā)思考，提升思考能力。數(shù)形結(jié)合思想是在解析幾何教學當中常用的思維模式，但高中學生想要培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思維模式若是僅僅依靠教師的課堂講解是遠遠不夠的，更重要的是學生應該樹立主動思考的意識。學生在仔細審題并獨立思考之后提取題目當中抽象化的知識點，然后借助所提取的這些信息解決幾何問題，并通過練習大量的幾何難題培養(yǎng)屬于自己的獨特的思維模式和解題思路。因此教師在講述解析幾何章節(jié)內(nèi)容時應正確引導，培養(yǎng)學生獨立思考的能力，并將教材當中的知識點轉(zhuǎn)化成問題，根據(jù)教學進度逐條提出這些問題，引導學生自主思考、尋求答案，最終找到解題的新思路、新方法。

（4）關注學生特點，安排針對教學。從學生本身來說，每一道數(shù)學題都會包含多個不同的數(shù)學知識點。若是將這些知識點區(qū)分開來，分條講解，學生大多都能熟練掌握并學會運用，但若是將這些知識點綜合在一起，學生將會無法區(qū)分進而出現(xiàn)解題障礙。所以高中教師在開展數(shù)學教學的時候不能強行灌輸，而應結(jié)合實際情況，根據(jù)學生的學習能力與接受能力，按照順序依次將這些問題拋出來，進而培養(yǎng)學生解決數(shù)學難題的綜合能力。

4.結(jié)束語

綜上所述：在高中數(shù)學教學的過程當中解析幾何占據(jù)著異常重要的地位。由于本文篇幅有限，并不能詳細列出所有的教學方法，還有很多教學方法是筆者未寫道的、未發(fā)現(xiàn)的，還等著高中數(shù)學教師在日常教學當中不斷創(chuàng)新、深入探索。為了進一步提高高中數(shù)學的教學質(zhì)量，幫助學生更好地掌握解析幾何這個難點內(nèi)容、提高高中學生的數(shù)學學習能力、應用能力，高中數(shù)學教師還應不斷完善自己，提高自己的專業(yè)能力與素養(yǎng)，提升自己的數(shù)學能力為解析幾何教學提升貢獻自己的力量。

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