導(dǎo)數(shù)的常見題型及解題策略

黃菊香

摘 要：基于函數(shù)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷中占據(jù)份額較大，而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程又由于多種原因陷入學(xué)習(xí)困境的情況。針對函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，作詳細的解題策略研究，在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：函數(shù);導(dǎo)數(shù);解題策略

一、導(dǎo)數(shù)的重要性

數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，同時也在高中教育中占據(jù)核心地位。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是每一年的高考重點關(guān)注的對象，占據(jù)分?jǐn)?shù)頗大。但是，在具體教學(xué)過程中，許多高中生因為不同因素導(dǎo)致學(xué)習(xí)遭遇困境，尤其是在函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分學(xué)習(xí)極為坎坷，因此，本文就高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，實例分析解題技巧和策略。

二、函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分解題策略

（一）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值

函數(shù)的單調(diào)性即該函數(shù)在一定范圍的圖象曲線的走向，若函數(shù)圖象曲線向上，則為單調(diào)遞增，反之則為單調(diào)遞減。一個函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系緊密，定理如下：在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若f’（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;若若f’（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

例1：已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-l時取極值，且f（-2）=-4

（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式

（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值

（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c得f’（x）=3x2+2ax+b由題意得x=1和x=-1是f’（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2所以f（x）=x3-3x- 2

（2）f（x）=3x2- 3=3（x+1）（x-1）當(dāng)x<-1時，f（x）>0當(dāng)x=-1時，f（x）=0當(dāng)-1<x<1時，f’（x）<0當(dāng)x=1時，f’（x）=0當(dāng)x>1時，f（x）>0

所以，f（x）在區(qū)間[-∞，-1]上為增函數(shù);在[-1，1]上是減函數(shù);在[1，+∞]上是增函數(shù)。函數(shù)f（x）的極大值是f（-1）=0，極小值是f（1）=- 4。

在例1中，第二個問題即求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，我們可以很容易從例子中看出，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某-區(qū)間內(nèi)大于零時，函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;相應(yīng)的，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某已區(qū)間內(nèi)小于零時，函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減。因此，在解題過程中，當(dāng)學(xué)生遇到求函數(shù)的單調(diào)性以及極值的時候，可以利用求導(dǎo)的方式求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和極值。

（二）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

函數(shù)的極小值和極大值與函數(shù)的最大值和最小值是兩個不同的概念。極小或極大值都是反映函數(shù)在某-.-點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。也就是說，極小值和極大值不能代表函數(shù)的最大值和最小值。但是在求函數(shù)的最大值和最小值的過程中，卻需要借助極小值和極大值。

例2：求f（x）=y=x4- -8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4 -8x2+2得y’=4x3-16x=4x（x -2）（x+2）令y’=0，得x=0，x=2，x=-2

代人得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11由于x=-2不在區(qū)間[-1，3]中，因此不予考慮。所以f（x）在區(qū)間[-1，3]中的最小值為f（2）=-14，最大值為f（3）=11。一般情況下，求某一個函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的最值，可先求出該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值，再將求出的各極值與該函數(shù)在端點處的函數(shù)值比較，最大的則為函數(shù)的最大值，最小的則為函數(shù)的最小值。

（三）構(gòu)造函數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù)簡單來說就是一一種解題方法，是基于具體數(shù)學(xué)題目，構(gòu)造符合題目的函數(shù)模型，并通過該函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)題目的方法。在解題過程中通過構(gòu)造函數(shù)方法可以有效得出答案，如應(yīng)用于證明不等式中。

例3：已知函數(shù)f（x）=x₂/2-ax+（a-1）lnx，a>1.

證明：若a<5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x₁≠x₂，有f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1。

解：f（x）=x-a+（a-1）/x=（x₂-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/xg（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）lnx+x

g（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）*2;1<a<5

g（x）>0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增..當(dāng)x₁>x₂>0時，g（x₁）-g（x₂）>0故f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1

當(dāng)0<x1<x2時，[f（x₁）-f（x₂）]/（x₁ -x₂）=[f（x2）-f（x₁）]/（x₂-x₁）> -1

例3中，如果只是按照常規(guī)思路進行解題，難度較大，但是通過構(gòu)造函數(shù)g（x）解題，很大程度上降低了解題難度。

（四）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點問題

函數(shù)零點個數(shù)的判斷問題是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的熱點問題，其實質(zhì)仍是利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)圖象與性質(zhì)，這類問題的難點是含參問題中零點會隨著參數(shù)而移動，確定零點所在的關(guān)于參數(shù)的區(qū)間需要認(rèn)真分析。

（五）類型四：隱零點整體代換問題

設(shè)而不求是解析幾何常用的方法，而在函數(shù)導(dǎo)數(shù)中，有時候因為關(guān)于極值點的方程是超越方程，求不出極值點，這時候需要設(shè)而不求，對參數(shù)進行整體代換。

（六）雙變量同構(gòu)式問題

在考題中常見到有兩個變量的函數(shù)或不等式問題，如果原式子能夠通過化簡、變形成為兩個變量不同、結(jié)構(gòu)相同的式子，問題就可以通過構(gòu)造函數(shù)來解決.

三、巧借導(dǎo)數(shù)分析，別樣化解難題

（1）分析函數(shù)性質(zhì)，簡證不等式

導(dǎo)數(shù)可以有效解決不等式問題，尤其是證明不等式成立問題，可通過求導(dǎo)的方式來分析不等式，確切來講是采用構(gòu)造思想構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值或判斷函數(shù)符號，最后結(jié)合不等式恒成立原理來證明。

（2）妙求切線方程速解圓錐曲線

圓錐曲線因其計算過程復(fù)雜、技巧性強而成為高中數(shù)學(xué)的重難點知識，對于其中涉及曲線切線方程的問題可以采用導(dǎo)數(shù)知識來求解，通過求導(dǎo)的方式來求切線的斜率，從而建立切線方程，需要注意的是曲線方程在轉(zhuǎn)化過程中因定義域所造成的差異。

（3）求導(dǎo)分析模型巧解實際問題

導(dǎo)數(shù)在解決與生活實際相關(guān)的數(shù)學(xué)問題中同樣有著良好的解題效果，尤其是對于物料問題、距離最值問題等，可以利用導(dǎo)數(shù)來分析問題的數(shù)學(xué)模型，利用求導(dǎo)的方式來求解.一般思路為：從實際問題中抽象數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，結(jié)合實際取最優(yōu)值。

四、應(yīng)用思考，教學(xué)建議

1.學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)真知，確保求解嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高考考查的重點，對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)從理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)，只有在充分理解導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念及使用條件的基礎(chǔ)上開展的拓展應(yīng)用才是正確合理的.在應(yīng)用時必須準(zhǔn)確把握導(dǎo)數(shù)求切點的特性，理解導(dǎo)數(shù)求極值的充要條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時需要關(guān)注二次項系數(shù).教學(xué)中，教師要充分結(jié)合實際問題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注導(dǎo)數(shù)使用的諸多關(guān)鍵點，理清問題結(jié)構(gòu)，合理分析問題條件，確保導(dǎo)數(shù)求解的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.習(xí)題鞏固基礎(chǔ)，考題輔助提升導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)及拓展應(yīng)用需要充分依托教材習(xí)題，從易到難，逐步掌握，在此基礎(chǔ)上開展的考題學(xué)習(xí)才會取得良好的學(xué)習(xí)效果.通過習(xí)題的學(xué)習(xí)建立關(guān)于導(dǎo)數(shù)求解的數(shù)學(xué)模式，結(jié)合考題來拓展導(dǎo)數(shù)求解的分析思路，并相應(yīng)地提升熟練度，這是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的最優(yōu)途徑.教學(xué)中教師要關(guān)注導(dǎo)數(shù)求解程序化的提煉，幫助學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)運用的解題技巧，通過典型問題的講解使學(xué)生充分掌握導(dǎo)數(shù)解題的數(shù)學(xué)原型，從根本上提升學(xué)生的解題能力。

3.學(xué)習(xí)解題思想，培養(yǎng)解題思維導(dǎo)數(shù)解題并不是純粹地依靠求導(dǎo)來完成問題的解答，求解過程涉及眾多的思想方法，例如解央不等式恒成立問題，需要利用數(shù)學(xué)的構(gòu)造思想和分析轉(zhuǎn)化思想，而這些思想方法才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，對于學(xué)生的長遠發(fā)展有著極為重要的作用，因此在學(xué)習(xí)時要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題的分析過程，注重對解題思想的提煉，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并適當(dāng)?shù)貙忸}思想進行升華，提升學(xué)生自主探究能力，使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識，適應(yīng)高考不斷創(chuàng)新變化的新題目。

參考文獻

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