一個焦點弦恒等式的應用

廈門大學附屬實驗中學 (363123)

林秋林

圓錐曲線的焦點弦由于其能與直線的傾斜角、向量(定比分點)、三角形面積等知識交匯，而倍受命題人青睞，因此一直以來都是高考及各級模擬考試的一個熱點問題，而且問題難度一般不?。贿^在與焦點弦有關的這些問題中，有一些卻能夠借助一個恒等式較為簡便地解決．本文正是通過幾個例題向大家介紹這個恒等式的一些簡單應用．

圖1

例1 已知拋物線y2=8x的焦點為F，直線l過F且依次交拋物線及圓(x-2)2+y2=1于點A,B,C,D四點，則|AB|+4|CD|的最小值為．(2019年1月福州市高三質(zhì)檢)

圖2

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

圖3

圖4

圖5

解:設左焦點為F′，則四邊形AF′BF為平行四邊形．又BF⊥AC，故AF′BF為矩形．記|BF|=x，|AF|=y，則有故由恒等式，可得即解得從而故選A．

圖6

該焦點弦的恒等式不僅形式簡單，而且在解題中有著無可比擬的作用，不禁讓人感受到數(shù)學之美．