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    知識(shí)·策略·創(chuàng)新:解題教學(xué)的三重境界

    2019-09-04 06:57:10江蘇省儀征市新集初級(jí)中學(xué)211403
    關(guān)鍵詞:變式線段境界

    江蘇省儀征市新集初級(jí)中學(xué) (211403)

    李?lèi)?ài)民

    “解題”在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中有三層含義,數(shù)學(xué)中的含義是指解答或演算習(xí)題、試題.解題是一種實(shí)踐性的技能,就好像游泳一樣.[1]剛開(kāi)始是觀察和模仿別人,如果被模仿的人能提供有效的幫助,學(xué)習(xí)者再勤加練習(xí),技能自然能學(xué)會(huì)學(xué)好.在學(xué)習(xí)解題時(shí),模仿者是學(xué)生,被模仿者和提供幫助的人是教師,教師借助解題教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解題.解題教學(xué)不是數(shù)學(xué)教學(xué)的全部,但解題能培養(yǎng)學(xué)生的四基四能,鍛煉學(xué)生克服困難的意志,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),發(fā)展創(chuàng)新能力.更重要的是解題還是考核學(xué)生,決定學(xué)生升學(xué)、未來(lái)發(fā)展的評(píng)價(jià)工具.不同的解題教學(xué)境界,發(fā)揮育人的功能也不一樣.

    筆者借助教學(xué)中的兩個(gè)問(wèn)題,談?wù)劷忸}教學(xué)的境界.

    1.解題教學(xué)的三重境界

    1.1 境界一:授之以魚(yú),知識(shí)境界

    問(wèn)題1如圖1,△ABE,△ADC分別是△ABC關(guān)于AB,AC邊所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形,若∠1∶∠2∶∠3=7∶2∶1,則∠α的度數(shù)為.

    圖1

    本題是在學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱性質(zhì)”之后的一道填空題.主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì):“成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等”,再由全等的性質(zhì)可以得到“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”,最后再找到所求的角α與已知角的聯(lián)系,求出α的度數(shù).

    圖2

    思路3:(利用規(guī)形圖(或飛鏢圖)求解)如圖3,這是在學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角的時(shí)候總結(jié)的一個(gè)基本圖形,因?yàn)樗粡V泛地運(yùn)用到求不規(guī)則多邊形內(nèi)角和之中,形狀像圓規(guī)和飛鏢,所以被稱為規(guī)形圖或者飛鏢圖.這個(gè)圖中的角有這樣的一個(gè)結(jié)論:∠DGE=∠D+∠E+∠DAE.證明這個(gè)結(jié)論不難,如圖4,可以延長(zhǎng)線段DG與線段AE相交于點(diǎn)F,借助外角的性質(zhì)可以證明,具體求解略.

    圖3 圖4 圖5

    現(xiàn)在回到圖1,借助規(guī)形圖可以得到∠DGE=∠D+∠E+∠DAE,而根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以求出∠D=∠2=36°,∠E=∠3=18°,∠BAE=∠DAC=∠BAC=126°,所以∠DAE=∠BAE+∠DAC+∠BAC-360°=3×126°-360°=18°,因此∠DGE=36°+18°+18°=72°,所以∠α=180°-∠DGE=180°-72°=108°.

    思路4:(利用8字形求解)如圖5,這是蘇科版教材七下“12.2證明”第三課時(shí)中的一個(gè)例題類(lèi)似的圖形,例題是證明∠G+∠E=∠A+∠C(具體的證明略),因?yàn)樾螤钕駭?shù)字8,故而起名為8字形.

    回到題1,由對(duì)稱可以得到∠E=∠DCA=∠3,再借助8字形結(jié)論就可以得到∠α=∠EAC=∠DAC-∠DAE=126°-18°=108°.

    解題教學(xué)中首要的任務(wù)就是借助解題達(dá)到鞏固知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的目的.要最大限度發(fā)揮問(wèn)題的知識(shí)功能,教師必須要精選精講,切忌就題論題,一題一法,只注重問(wèn)題的結(jié)果,忽略對(duì)問(wèn)題多角度的思考.本題雖然是一道填空題,但它提供了豐富的圖形背景和數(shù)量關(guān)系,所以教師要抓住這個(gè)契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,主動(dòng)參與發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)模型,提升應(yīng)用知識(shí)的能力,充分挖掘試題的知識(shí)價(jià)值.

    通過(guò)問(wèn)題1的解題教學(xué),學(xué)生及時(shí)鞏固了新知,復(fù)習(xí)了一些基本數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)了發(fā)散思維,達(dá)到了授之以魚(yú)的效果,解題教學(xué)境界屬于知識(shí)境界.

    1.2 境界二:授之以漁,策略境界

    問(wèn)題2如圖6,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,求∠ECD的大小.

    圖6

    本題是以直角三角形的兩個(gè)銳角為頂角,在直角三角形內(nèi)部構(gòu)造出兩個(gè)部分疊合在一起的等腰三角形.圖形中角之間的關(guān)系比較復(fù)雜,可以采用整體思想求解,也可以設(shè)參數(shù)幫助求解,但這兩種解題的策略對(duì)學(xué)生要求較高,成績(jī)中等及以下的學(xué)生難以解決.結(jié)合條件和結(jié)論可以看出這里還存在一個(gè)有趣的結(jié)論,所以有必要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪胶脱由?,目的是引?dǎo)學(xué)生探索解題的思路,積累解題的經(jīng)驗(yàn),獲取研究問(wèn)題的策略,提升思維的寬度和深度.

    為了降低問(wèn)題的難度,變抽象為具體,筆者采取強(qiáng)化條件的改編策略.

    變式1 添加∠A=20°,求∠ECD的大小.

    為了進(jìn)一步強(qiáng)化變式1的解題思路,為后續(xù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠ACB和∠ECD的數(shù)量關(guān)系做準(zhǔn)備,筆者采取異化∠ACB的度數(shù)的改編策略.

    變式2 在△ABC中,∠ACB=120°,∠A=20°,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,求∠ECD的大小.

    有了變式1和變式2的解題經(jīng)驗(yàn),筆者自然地采用“弱化條件”的改編策略,將∠A=20°的條件去掉,也就出現(xiàn)的原題和變式3.

    變式3 將原題中的∠ACB=90°改編為∠ACB=120°.

    在完成原題和變式3之后,筆者采用“一般化條件,探索一般性結(jié)論”的改編策略,將∠ACB的角度進(jìn)一步一般化.

    變式4 在△ABC中,∠ACB=α,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,猜想∠ECD與α有何關(guān)系,并驗(yàn)證你的猜想.

    解題教學(xué)中最重要的任務(wù)是為學(xué)生提供解題策略的指導(dǎo).一切解題策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”,就是把面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題,通過(guò)對(duì)新題的考查,發(fā)現(xiàn)原題的解題思路,最終達(dá)到解決原題的目的.[2]本題的條件和問(wèn)題均不復(fù)雜,已知的角度只有∠ACB=90°,要求∠ECD的大小.可見(jiàn),∠ACB與∠ECD之間隱含著一定的關(guān)系.教學(xué)中一方面要幫助學(xué)生找到解題的方向,另一方面要幫助學(xué)生挖掘出問(wèn)題的本質(zhì),體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.筆者通過(guò)將問(wèn)題條件強(qiáng)化、異化的策略,引導(dǎo)學(xué)生理清問(wèn)題探究的思路;通過(guò)將問(wèn)題條件弱化、一般化的策略,引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì),探究出一般性的規(guī)律,以達(dá)到做一題,會(huì)一類(lèi),通一片的效果.

    通過(guò)問(wèn)題2的解題教學(xué),學(xué)生獲取了將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化、陌生問(wèn)題熟悉化、一般問(wèn)題特殊化等解題經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)了分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,達(dá)到了授之以漁的效果,解題教學(xué)境界屬于策略境界.

    1.3 境界三:授之以塘,創(chuàng)新境界

    筆者在引導(dǎo)學(xué)生探究出問(wèn)題2一般性的結(jié)論之后,為了進(jìn)一步挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力,筆者引導(dǎo)學(xué)生借題發(fā)揮,創(chuàng)造出新的問(wèn)題.

    教學(xué)片斷:

    師:通過(guò)探究我們發(fā)現(xiàn)了∠ACB和∠ECD的一般數(shù)量關(guān)系,你能借助這個(gè)結(jié)論重新編制一個(gè)問(wèn)題嗎?

    生1:在△ABC中,∠DCE=50°,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,求∠ACB的大小.

    師:把條件和結(jié)論互換,是逆向思維的體現(xiàn),非常好.

    生2:在△ABC中,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,問(wèn)△CDE是什么三角形呢?

    師:你認(rèn)為是什么三角形呢?你是如何想的?

    師:由對(duì)角的關(guān)注轉(zhuǎn)化成對(duì)三角形形狀的關(guān)注,改變了考慮問(wèn)題的視角,很不錯(cuò).

    生3:在△ABC中,∠A=20°,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,求∠ECD的大小.

    師:你能求出∠ECD的度數(shù)嗎?

    生3:(想了片刻)哦,不能.

    師:為什么?

    生3:因?yàn)橹馈螦并不能確定∠ACB的大小.

    師:對(duì),一個(gè)角是不能確定三角形的形狀的.但你想到借助老師一開(kāi)始的問(wèn)題,通過(guò)弱化條件的方法來(lái)改題,活學(xué)活用,值得肯定.

    生4:當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí),判斷△CDE的形狀.

    師:你知道是什么三角形呢?

    生4:(想了一下)頂角是45°的等腰三角形.

    生5:當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),△CDE是等邊三角形?

    師:不錯(cuò),改編成了條件探索問(wèn)題,那你知道滿足什么條件呢?大家一起探究一下.

    (經(jīng)過(guò)一段時(shí)間討論探究,大部分學(xué)生表示△CDE不能是等邊三角形,也有幾個(gè)學(xué)生認(rèn)為可以.)

    師:能分別說(shuō)明一下理由嗎?

    生6:(認(rèn)為不能的代表)因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候,△ACB與△CDE都是等邊三角形,兩個(gè)三角形重合了.

    生7:(認(rèn)為能的代表)△ACB與△CDE是重合了,因?yàn)椤螪CE隨著∠ACB的變化而變化,當(dāng)∠DCE=60°時(shí),∠ACB也等于60°,點(diǎn)D、E分別與點(diǎn)B、A重合,題目條件中說(shuō)點(diǎn)D、E是線段AB上的兩個(gè)點(diǎn),當(dāng)然包括A、B兩點(diǎn),這是一種特殊情況.

    師:(教師肯定了生7的說(shuō)法,繼續(xù)追問(wèn).)如果∠ACB的度數(shù)比60°小,會(huì)怎樣能?

    集體:點(diǎn)D、E會(huì)分別到線段AB延長(zhǎng)線上和反向延長(zhǎng)線上.

    師:是兩個(gè)點(diǎn)都到線段AB的外部了嗎?那之前的結(jié)論還成立嗎?

    (在老師的啟發(fā)下,學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖、探究、小組討論,經(jīng)過(guò)探究他們發(fā)現(xiàn)可能兩個(gè)點(diǎn)都到了線段AB的外部,也有可能一個(gè)在外部一個(gè)還在線段AB上,但結(jié)論都依舊成立.)

    師:現(xiàn)在我們還可以提出什么問(wèn)題呢?

    生8:在△ABC中,點(diǎn)D、E是直線AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BC,猜想∠ECD與∠ACB有何數(shù)量關(guān)系,并驗(yàn)證你的猜想.

    師:剛剛同學(xué)們從點(diǎn)動(dòng)的角度提出問(wèn)題,那能不能線動(dòng)呢?

    生9:如圖7,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AF=AD,BE=BC,求∠CGF的度數(shù).

    圖7 圖8 圖9

    生10:將∠ACB=90°去掉,改成探究∠CGF與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

    生11:如圖8,在△ABC中,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AC=AD,BE=BF,探究∠CGF與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

    生12:如圖9,在△ABC中,點(diǎn)E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AE=AF,BE=BC,探究∠CEF與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

    生13:如圖10,在△ABC中,點(diǎn)E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AE=AF,BE=BG,探究∠FEG與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

    圖10 圖11

    生14:如圖11,在△ABC中,點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn),AD=AG,BE=BF,線段GD、FE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,探究∠FMG與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

    解題教學(xué)中必要的任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)新增的核心概念就是創(chuàng)新意識(shí).課標(biāo)指出:“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù),應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中.”[3]解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,所以可以借助解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上,學(xué)生能自主的從顛倒條件與結(jié)論、從形內(nèi)到形外、從線段到直線、從點(diǎn)動(dòng)到線動(dòng)等不同的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、并創(chuàng)造性地以文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言等形式提出新的問(wèn)題.學(xué)生提出的問(wèn)題優(yōu)劣暫且不論,但是學(xué)生從中獲得了成功體驗(yàn),激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí).

    通過(guò)問(wèn)題2的解題教學(xué),培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力,達(dá)到了受之以塘的效果,解題教學(xué)境界屬于創(chuàng)新境界.

    2.三種境界間的關(guān)系

    2.1 遞進(jìn)關(guān)系

    從知識(shí)境界到策略境界,再到創(chuàng)新境界,解題教學(xué)境界的層次逐漸提升,呈現(xiàn)出遞進(jìn)的關(guān)系.解題境界的高低取決于教學(xué)理念定位的高低.教學(xué)理念是獲取知識(shí),解題教學(xué)就只會(huì)關(guān)注問(wèn)題“怎樣解”;教學(xué)理念是培養(yǎng)學(xué)生的能力,解題教學(xué)還會(huì)關(guān)注“為什么這樣解”“怎樣學(xué)會(huì)解”;教學(xué)理念是立足學(xué)生未來(lái)發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),解題教學(xué)就還會(huì)關(guān)注“還能解什么”.

    2.2 促進(jìn)關(guān)系

    在解題過(guò)程中,知識(shí)是培養(yǎng)能力、提升創(chuàng)新意識(shí)的本原,策略是獲取知識(shí)的鑰匙,創(chuàng)新可以促進(jìn)知識(shí)的生長(zhǎng).而只有掌握了知識(shí),學(xué)會(huì)了解題的策略,才能實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.所以知識(shí)、策略、創(chuàng)新是相互促進(jìn)的關(guān)系.

    3.結(jié)語(yǔ)

    古人云“取法乎上,僅得其中;取法乎中,僅得其下”.解題教學(xué)教師首先要有追求高境界的意識(shí),以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo),選擇有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,提升解題教學(xué)課堂效益.努力實(shí)現(xiàn)解“好題”,“解好”題[4].

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