“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”與數(shù)感培養(yǎng)

李露紅

[摘 要]作為基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一的數(shù)感，其培養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期是小學(xué)階段，特別是小學(xué)低學(xué)段?！皵?shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”這部分內(nèi)容對(duì)于數(shù)感的培養(yǎng)尤其重要。教師可通過研究眾多研究者對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的分析，準(zhǔn)確把握數(shù)感的內(nèi)涵，并結(jié)合“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”，探索培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的手段與途徑。

[關(guān)鍵詞]數(shù)感;數(shù)的認(rèn)識(shí);數(shù)的運(yùn)算;具體形象;抽象

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）23-0075-03

一、問題的提出

在信息技術(shù)高速發(fā)展的今天，計(jì)算機(jī)的身影隨處可見。在日常生活和工作中，我們似乎不再需要為了減少運(yùn)算步驟而苦思簡(jiǎn)便運(yùn)算方法，也不再需要抄起筆桿子在草稿紙上埋頭苦算……毋庸置疑的是，數(shù)及其運(yùn)算，無論是對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科還是對(duì)人本身的發(fā)展（比如智力），都是至關(guān)重要的。因此，我們應(yīng)該理性認(rèn)識(shí)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”，不能隨波逐流地去否定它，同時(shí)也不能閉門造車，要響應(yīng)時(shí)代的召喚，思考如何才能做到符合學(xué)生發(fā)展、符合時(shí)代發(fā)展的有效教學(xué)。

2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》提出，“要使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”。自此，我國(guó)學(xué)者才開始重點(diǎn)關(guān)注數(shù)感，并開始對(duì)此進(jìn)行比較系統(tǒng)的研究。 2011年，“數(shù)感”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中十個(gè)核心概念之一被再次重點(diǎn)提出。可以發(fā)現(xiàn)，在這兩個(gè)版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)感的概念都與“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”這部分內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)。

二、數(shù)感的內(nèi)涵

數(shù)感（Number sense）這一術(shù)語自1954年提出后就受到教育研究者和一線教師的強(qiáng)烈認(rèn)同，并逐漸成為國(guó)際普遍接受的概念。其提出者將數(shù)感描述為：在個(gè)體沒注意到的情況下，在一小堆物體中增加或者移除一個(gè)物體后，個(gè)體能夠意識(shí)到這堆物體發(fā)生了變化的能力。也就是說，最初的數(shù)感可以理解為是個(gè)體對(duì)現(xiàn)實(shí)事物數(shù)量變化的一種感知能力。1992年，麥金托什等人進(jìn)一步提煉了數(shù)感的定義：數(shù)感指的是一個(gè)人對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的一般理解力，以及靈活應(yīng)用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數(shù)學(xué)判斷，并開發(fā)出應(yīng)用數(shù)學(xué)和運(yùn)算法則的有效策略。在這種定義下的數(shù)感已經(jīng)不僅僅是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物量的變化的感知，而是對(duì)數(shù)與數(shù)的運(yùn)算的進(jìn)一步理解，并且能夠?qū)⑦@種理解運(yùn)用到相關(guān)的問題情境中去。

自2001年“數(shù)感”這一術(shù)語進(jìn)入我國(guó)學(xué)者的視野以來，大量學(xué)者就對(duì)數(shù)感的內(nèi)涵進(jìn)行了一系列探究。張奠宙通過分析英文“Number sense”的含義并結(jié)合實(shí)際最終指出，“數(shù)感”指的就是能夠用數(shù)量的意識(shí)考察事物發(fā)展的數(shù)量規(guī)律，并且善于用符號(hào)加以表示和運(yùn)算。他對(duì)“數(shù)感”的理解并沒有局限于“感覺”，而是強(qiáng)調(diào)了“意識(shí)”與“規(guī)律”，上升到了思維的層次。馬云鵬和史炳星認(rèn)為，數(shù)感是人們主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，建立數(shù)感可以理解為會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考。這進(jìn)一步明確了數(shù)感含有“思維”的成分，數(shù)感并不僅僅是“感覺”，更是“思維”。葉蓓蓓提出，對(duì)于數(shù)感的培養(yǎng)在某種程度上可以認(rèn)為是直覺思維的培養(yǎng)，同時(shí)還指出，數(shù)感作為公民的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更多地體現(xiàn)在一定情境中人們對(duì)于現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)化反應(yīng)。這在明確數(shù)感是思維的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)了數(shù)感即是將面對(duì)的現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題。2007年，徐文彬和喻平指出，數(shù)感并不是什么神秘的東西， 它只是我們對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識(shí)，以及運(yùn)用這種意識(shí)靈活地解決數(shù)字問題的能力。他們企圖將數(shù)感這個(gè)陌生而又熟悉的術(shù)語去神秘化，強(qiáng)調(diào)了“意識(shí)”和“解決問題的能力”，這也是在強(qiáng)調(diào)數(shù)感就是用數(shù)學(xué)的思維來解決數(shù)字問題?？追舱芎驮鴯樛ㄟ^具體的例子明確了數(shù)感是建立數(shù)概念和有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題建立聯(lián)系的橋梁。他們進(jìn)一步肯定了數(shù)感這個(gè)基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，更體現(xiàn)在實(shí)際運(yùn)用中。

盡管研究者們對(duì)于數(shù)感內(nèi)涵的理解各不相同，但很多研究者都認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感更深層次的內(nèi)涵不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，更要讓學(xué)生有意識(shí)地將接觸到的現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，能夠用數(shù)學(xué)的眼光來看世界。

三、小學(xué)階段的數(shù)感

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將中小學(xué)階段的數(shù)感具體描述為：關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。這將數(shù)感形成的具體表現(xiàn)給描述了出來，更加有利于教師對(duì)于教學(xué)效果的把握。史寧中和呂世虎明確指出，數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期是小學(xué)低年級(jí)?；粲昙训热送ㄟ^對(duì)國(guó)外的相關(guān)研究成果進(jìn)行整理，同樣發(fā)現(xiàn)數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期在小學(xué)低年級(jí)。

根據(jù)皮亞杰提出的認(rèn)知發(fā)展階段理論，我們知道在小學(xué)1-3年級(jí)的學(xué)生，他們正處于具體運(yùn)算階段，也就是說這個(gè)階段的學(xué)生還需要借助外界具體的實(shí)物來幫助理解和運(yùn)算。同時(shí)，在日常學(xué)習(xí)中，很大一部分知識(shí)都是學(xué)生通過間接學(xué)習(xí)獲得的。間接學(xué)習(xí)需要建立在一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)或者生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，而小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)匱乏，所以無論是從學(xué)生認(rèn)知思維發(fā)展的角度出發(fā)，還是從實(shí)際出發(fā)，這個(gè)年齡階段的學(xué)生主要依賴自己的生活經(jīng)驗(yàn)或者具體而豐富的情境來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是最初對(duì)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的學(xué)習(xí)。并且，數(shù)感強(qiáng)調(diào)的正是將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，那么小學(xué)低年級(jí)確實(shí)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)感的關(guān)鍵時(shí)期。

四、“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”和“數(shù)感”

通過分析“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”在教材中的分布情況，也就是學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的順序，可以發(fā)現(xiàn)內(nèi)容是循序漸進(jìn)的，但知識(shí)體系并不是呈直線式分布。比如并沒有要求在某一個(gè)時(shí)間段就把1～10000的數(shù)全部認(rèn)識(shí)完，而是呈螺旋式分布，十分符合學(xué)生特別是小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓他們能有一個(gè)將生活情境中的數(shù)學(xué)和課堂中的數(shù)學(xué)內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)知識(shí)的過程。與此同時(shí)，該部分內(nèi)容還特意穿插在一些“問題解決”的章節(jié)中，既讓學(xué)生聯(lián)系實(shí)際生活來理解了“數(shù)”與“數(shù)的運(yùn)算”，又讓他們初步運(yùn)用“數(shù)”和“數(shù)的運(yùn)算”解決了現(xiàn)實(shí)生活中的相關(guān)問題，自然而然地開始培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。接下來具體分析“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”對(duì)于數(shù)感培養(yǎng)的重要性。

1.“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”源于生活

通過分析小學(xué)數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象概括的，也是生動(dòng)形象而具體的，這非常符合前面分析的關(guān)于這個(gè)階段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平。我們知道，小學(xué)生的思維模式正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，并且具體形象思維占優(yōu)勢(shì)，這一點(diǎn)在小學(xué)低年級(jí)體現(xiàn)得尤其明顯。通過分析小學(xué)低年級(jí)具體學(xué)習(xí)內(nèi)容也可以發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。我們對(duì)此進(jìn)行進(jìn)一步分析，學(xué)生依賴具體形象思維學(xué)習(xí)的內(nèi)容，正是學(xué)生需要借助具體情境來學(xué)習(xí)的內(nèi)容。例如，對(duì)于比較小的數(shù)，學(xué)生主要是通過現(xiàn)實(shí)生活中或者具體情境中的事物的“量”來認(rèn)識(shí)的，雖然仍然依賴于具體形象思維，但是認(rèn)識(shí)數(shù)的過程包含了從“具體”到“抽象”的過程，學(xué)生在此過程中也能體會(huì)從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡。這只是初步的過渡，還沒有實(shí)現(xiàn)完全的過渡。同樣地，在學(xué)習(xí)“1～5的加減法”時(shí)，學(xué)生仍然需要借助具體的情境對(duì)事物的外部特征進(jìn)行概括，如通過“1個(gè)蘋果加上2個(gè)蘋果，一共有3個(gè)蘋果”“1個(gè)手指頭加上2個(gè)手指頭就是3個(gè)手指頭”來理解為什么“1+2=3”。這可以說是學(xué)生從具體形象思維到抽象邏輯思維過渡的過程，但仍然處于具體形象思維階段，因?yàn)閷W(xué)生只是能夠?qū)?shù)學(xué)事物的外部特征進(jìn)行概括，并沒有涉及其本質(zhì)特征或者屬性特征。

正是由于這個(gè)階段學(xué)生的學(xué)習(xí)依賴于具體形象思維，所以我們需要設(shè)置豐富的情境以便學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，并將生活經(jīng)驗(yàn)遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來，初步建立數(shù)感。

學(xué)生在進(jìn)入小學(xué)階段之前，對(duì)于簡(jiǎn)單的1個(gè)（蘋果），2個(gè)（人），3個(gè)（皮球）、4只（小狗）……這樣的“量”的多少已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，那么要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)字“5”，就可以讓學(xué)生通過5本數(shù)學(xué)課本、5支鉛筆、5棵樹來體會(huì)“5”的含義，還可以通過“一一對(duì)應(yīng)”思想來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。例如，在比較“2”和“3”這兩個(gè)數(shù)字的大小時(shí)，教材就創(chuàng)設(shè)了小兔和小豬搬木頭建房子的情境，并通過“一一對(duì)應(yīng)”，讓學(xué)生先體會(huì)“同樣多”與“同樣大”，再體會(huì)“誰更多”與“誰更大”。比如：一只小豬對(duì)應(yīng)一根木頭，最后還剩下一根木頭沒有小豬與之對(duì)應(yīng)，學(xué)生由此就可以比較容易得出結(jié)論——木頭比小豬多。同樣地，在教學(xué)過程中，教師可以就地取材，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)、比一比，然后和同桌說一說課桌上的鉛筆有多少支、書有多少本，是鉛筆多還是書多。這樣一來，教師甚至不需要再點(diǎn)撥，學(xué)生自己就可以認(rèn)識(shí)到“3”比“2”大。讓低年級(jí)學(xué)生在豐富的情境、生活中認(rèn)識(shí)數(shù)，這樣不僅能讓學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)從學(xué)前到小學(xué)的過渡，體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，而且能讓學(xué)生輕松地將數(shù)字“1、2、3”與身邊事物的量結(jié)合起來理解，為數(shù)感的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的“思維”環(huán)境。

同樣地，在教學(xué)“2+3=？”時(shí)，教材也是循序漸進(jìn)的：先是設(shè)置了5個(gè)人在售票窗口排隊(duì)取票的情境，讓學(xué)生能夠比較直觀形象地理解“第幾”的含義，隊(duì)伍的最前面是“第1個(gè)人”，隊(duì)伍的中間是“第3個(gè)人”;又設(shè)置了大家一起分花朵的情境，一共有4朵花，把這4朵花分為兩堆，可以怎么分……同時(shí)，教師也可以讓學(xué)生“動(dòng)”起來，讓他們數(shù)一數(shù)自己在教室里的第幾排，使其初步體會(huì)到“1”“2”“3”不僅可以代表“量”的多少，還可以代表“順序”，比如“第1個(gè)位置”和“第3個(gè)位置”，而通過分花朵活動(dòng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將4朵花分為一堆1朵、一堆3朵，也可以分為一堆2朵另一堆同樣是2朵。這時(shí)，教師就可以自然而然地引出“數(shù)的加法”。在學(xué)生已經(jīng)通過很多情境熟悉了“數(shù)的加法”之后，教師重現(xiàn)類似的情境。比如：有兩個(gè)學(xué)生，學(xué)生甲有1只千紙鶴，學(xué)生乙有2只千紙鶴，放在一起一共有3只，將這3只千紙鶴放在桌子上，然后學(xué)生甲帶著其中1只千紙鶴離開了，桌子上還剩下2只;小丑手里本來有4個(gè)氣球，但是被風(fēng)吹跑了2個(gè)，現(xiàn)在手里只剩下2個(gè)氣球了。通過這樣貼近生活實(shí)際且生動(dòng)形象的情境，告訴學(xué)生可以用“數(shù)的減法”來描述上述場(chǎng)景中“量的減少”的變化過程。

可以發(fā)現(xiàn)，在最初的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就是在具體的情境中依賴形象思維來學(xué)習(xí)和理解抽象的數(shù)與運(yùn)算的。學(xué)生在這個(gè)過程中能夠比較深刻地體會(huì)到數(shù)的一個(gè)含義——數(shù)可以用來表示量的多少，也可以用來表示順序，由此實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)。所以說，“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的學(xué)習(xí)是源于生活的。

2.“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”歸于生活

對(duì)小學(xué)低年級(jí)中的“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”進(jìn)行整理分析可以發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生的認(rèn)知水平和思維水平比較低，使得大部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)都需要借助生動(dòng)形象的具體情境來進(jìn)行，但考慮到數(shù)學(xué)本身具有抽象性、概括性的特點(diǎn)，加之小學(xué)階段正是學(xué)生思維模式由具體形象向抽象邏輯思維過渡的時(shí)期，所以教材在具體內(nèi)容的安排中，也著重體現(xiàn)了通過運(yùn)用數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際應(yīng)用中的簡(jiǎn)單問題，以此初步發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維。同時(shí)，借助具體情境，從“現(xiàn)實(shí)”到“數(shù)學(xué)”，又從“數(shù)學(xué)”到“現(xiàn)實(shí)”，真正將“數(shù)學(xué)”與“現(xiàn)實(shí)”聯(lián)系了起來，有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)感的形成。

例如，創(chuàng)設(shè)生活情境：學(xué)校有1000名學(xué)生，今天二年級(jí)學(xué)生去春游，已知二年級(jí)一共有200人，那么今天還有多少學(xué)生在學(xué)校里呢？此處，由于1000和200這兩個(gè)數(shù)字比較大，而且剩下在學(xué)校里的學(xué)生人數(shù)也比較多，要實(shí)際去數(shù)一數(shù)顯然比較麻煩。此時(shí)，就要注意將之前通過身邊事物的具體數(shù)量及其變化來認(rèn)識(shí)數(shù)及進(jìn)行數(shù)的加減運(yùn)算的思維過程倒過來，把對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)以及對(duì)數(shù)的加減法的理解，應(yīng)用于實(shí)際生活問題的解決中來，進(jìn)一步體會(huì)生活和“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”之間的聯(lián)系。

又如，在“測(cè)量”這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，教材給出了一個(gè)有趣的情境：四只可愛的小動(dòng)物要過河，但是河上的橋限重1噸，這四只小動(dòng)物的體重由輕到重分別是300千克、400千克、500千克和1000千克。通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生的思維被調(diào)動(dòng)起來，主動(dòng)地思考這些小動(dòng)物到底應(yīng)該怎么過河呢？這是在學(xué)生掌握了“1噸=1000千克”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的思考討論，教師只需啟發(fā)學(xué)生明白，解決這個(gè)問題需要提煉出這個(gè)情境的本質(zhì)，即小動(dòng)物過河關(guān)鍵是看它們各自的重量，而不是看它們的身高或其他因素，這也是一個(gè)進(jìn)行抽象思維的過程。一方面，這個(gè)過程是將“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的相關(guān)知識(shí)運(yùn)用于解決生活問題，進(jìn)一步將”數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”和生活聯(lián)系起來，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng);另一方面，學(xué)生數(shù)感的發(fā)展又會(huì)反過來促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)的認(rèn)識(shí)與計(jì)算”解決現(xiàn)實(shí)問題。

再如，在進(jìn)行“十進(jìn)制”的相關(guān)學(xué)習(xí)時(shí)，要理解各個(gè)數(shù)位上的數(shù)所代表的含義，這是比較抽象的。比如“26”，要理解這里的“2”代表的是2個(gè)十，“6”代表的是6個(gè)一，需要依賴抽象邏輯思維，同時(shí)在已經(jīng)初步建立的數(shù)感的基礎(chǔ)上進(jìn)行理解，就比較容易了。

可見，學(xué)生對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的學(xué)習(xí)與學(xué)生的數(shù)感形成，其實(shí)是相互促進(jìn)、相互影響的。

數(shù)感作為人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的基礎(chǔ)，而且能促進(jìn)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系。小學(xué)低年級(jí)是學(xué)生數(shù)感形成的關(guān)鍵階段，教師要充分利用“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。在教學(xué)中，要注意設(shè)置豐富而生動(dòng)的情境幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，促進(jìn)形成和發(fā)展數(shù)感。學(xué)生一旦形成了數(shù)感，反過來又可以促進(jìn)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.劉兼，孫曉天.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2] 戴維·A.蘇澤.人腦如何學(xué)數(shù)學(xué)[M].趙暉，等譯.上海：上海教育出版社，2016.12.

[3] 朱莉婭·安吉萊瑞.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感[M].徐文彬，譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007，6.

[4] 張奠宙.對(duì)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》理念部分的意見[J].數(shù)學(xué)通報(bào)， 2005（12）：1-4.

[5] 馬云鵬，史炳星.認(rèn)識(shí)數(shù)感與發(fā)展數(shù)感[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（2）：46-49.

[6] 葉蓓蓓.對(duì)數(shù)感的再認(rèn)識(shí)與思考[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2004（2）：34-36.

[7] 徐文彬，喻平.“數(shù)感”及其形成與發(fā)展[C].中國(guó)高教學(xué)會(huì)高等師范教育研究會(huì)數(shù)學(xué)教育會(huì)會(huì)議論文集，2006：521-527.

[8] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[9] 史寧中，呂世虎.對(duì)數(shù)感及其教學(xué)的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（2）：9-11.

[10] 霍雨佳，郭成，楊新榮.國(guó)外數(shù)感研究評(píng)析及啟示[J].課程·教材·教法，2015（2）：117-121.

（責(zé)編 吳美玲）