“圖窮匕見(jiàn)”

肖立偉

[摘 要]數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)密性、邏輯性和抽象性較強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科，如何將繁雜的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于接受的趣味知識(shí)，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，變抽象為直觀(guān)，是值得教師思考的問(wèn)題。其中，小小的畫(huà)圖策略，可發(fā)揮事半功倍的大作用。

[關(guān)鍵詞]畫(huà)圖;數(shù)學(xué)思維;解題

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）23-0056-02

動(dòng)手實(shí)踐、探析癥結(jié)、解答問(wèn)題，是新時(shí)期學(xué)科教學(xué)下學(xué)生探究實(shí)踐能力培養(yǎng)的內(nèi)在要求。在解決較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系的理解存在一定困難，如果適時(shí)讓學(xué)生在紙上涂一涂、畫(huà)一畫(huà)，可以幫助學(xué)生分析和理解抽象的數(shù)量關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的方法。畫(huà)圖策略是根據(jù)所揭示的數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)涵，通過(guò)各種圖形把抽象問(wèn)題具體化、直觀(guān)化，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變簡(jiǎn)單的一種方法。

一、圖中悟理，亮出真實(shí)身份

[例1]布置教室時(shí)，要將一張長(zhǎng)36cm、寬27cm的長(zhǎng)方形卡紙裁成若干張同樣大小的正方形卡紙，紙張不能有剩余，且正方形的邊長(zhǎng)最大，至少可以裁成幾張這樣的正方形卡紙？

教師可以讓學(xué)生嘗試按要求先畫(huà)一畫(huà)，再剪一剪（如圖1）。在畫(huà)的過(guò)程中，學(xué)生慢慢就會(huì)意識(shí)到，符合要求的正方形卡紙的邊長(zhǎng)既是27的因數(shù)又是36的因數(shù)。要使正方形的邊長(zhǎng)最大時(shí)，邊長(zhǎng)的取值就要是27和36的最大公因數(shù)。

[例2]有一些磚，每塊長(zhǎng)50cm、寬45cm，至少要用多少塊這樣的磚才能鋪成一個(gè)正方形？

教師可以讓學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)一畫(huà)鋪的過(guò)程（如圖2）。畫(huà)著畫(huà)著，圖形越鋪越大，學(xué)生漸漸悟出正方形的邊長(zhǎng)需是45和50的公倍數(shù)，而要使所用的磚最少，正方形的邊長(zhǎng)就應(yīng)是45和50的最小公倍數(shù)。

這兩道題的相似度很高，均可用短除法求解，且都是由長(zhǎng)方形通過(guò)剪或拼后得到正方形，都要用到相同的數(shù)量關(guān)系：行數(shù)×列數(shù)=總塊數(shù)。對(duì)于究竟是運(yùn)用最大公因數(shù)還是最小公倍數(shù)求解，學(xué)生分辨不清，極易混淆。通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生對(duì)這兩類(lèi)正方形的邊長(zhǎng)有了細(xì)致的體驗(yàn)，理解會(huì)更深刻，應(yīng)用就將更靈活。當(dāng)學(xué)生有了足夠體驗(yàn)后，再遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，他們就會(huì)立刻在頭腦中浮現(xiàn)出相關(guān)的圖形映像，快速分辨問(wèn)題類(lèi)型，做出合理的解答。

二、圖中啟智，畫(huà)出新的領(lǐng)地

[例3]某班學(xué)生人數(shù)在40～50之間，如果分成8人一個(gè)小組，那么有一個(gè)小組多5人;如果分成12人一個(gè)小組，那么有三個(gè)小組各少1人，求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。

此題題意藏得較深，看似無(wú)從下筆。讀完題目后，多數(shù)學(xué)生選擇列舉倍數(shù)法，再?gòu)闹泻Y選出適合的結(jié)果。如果這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、比一比，就能使之豁然開(kāi)朗。如圖3，以“ ”代替人，把這兩種排列情況展現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生很快就有了新發(fā)現(xiàn)，“分成8人一個(gè)小組，那么有一個(gè)小組多5人”，還可以看成另起一個(gè)小組少3人;“分成12人一個(gè)小組，那么有三個(gè)小組各少1人”，整合一下，就變成了只有一個(gè)小組少3人。這樣，這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了同余問(wèn)題，只需找到8和12的公倍數(shù)，再?gòu)闹羞x擇合適的數(shù)減去3即可求解。

[例4]一條公路要3天修完，第一天和第二天共修了全程的[78]，第二天和第三天共修了全程的[58]，第二天修了全程的幾分之幾？

很多學(xué)生認(rèn)為此題難度較大，只知道兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求任何一天的工程量都像少了條件。只有部分學(xué)生想到，把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)求和，其比單位“1”多的部分，就是第二天修了全程的幾分之幾。教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線(xiàn)段圖（如圖4），只要標(biāo)出第一天和第二天共修了全程的[78]，學(xué)生就會(huì)清晰地看到剩余部分是1- [78]，即第三天修了全程的[18]。再結(jié)合第二天和第三天共修了全程的[58]，學(xué)生就可以輕松地求出第二天修了[58- ][18 ]= [48]。有了圖形的幫助，學(xué)生理解起來(lái)就會(huì)更清楚?！吧街厮畯?fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”，說(shuō)的也許就是這種感覺(jué)吧！

[ ][圖4]

三、圖中有思，展出新的空間

曾聽(tīng)過(guò)劉延革老師的一節(jié)關(guān)于長(zhǎng)方體與正方體的復(fù)習(xí)課，課堂上學(xué)生對(duì)問(wèn)題獨(dú)到的思考征服了所有在場(chǎng)的老師。

[例5]一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為10dm、6dm、20dm的柜子，要在里面放長(zhǎng)、寬、高各為8dm、6dm、2.5dm的小長(zhǎng)方體木塊，問(wèn)：最多能放幾塊？

一位學(xué)生列出算式：10÷8=1……2，6÷6=1，20÷2.5=8，1×1×8=8，因此最多能放8塊。聽(tīng)了這位學(xué)生有序的解答過(guò)程，我暗自為他的空間想象能力叫好。劉老師在屏幕上及時(shí)展現(xiàn)出這種擺放方法，在肯定該方法的同時(shí)又拋出問(wèn)題：“還能再放嗎？”學(xué)生的思維又被拉向了對(duì)柜子的剩余部分（長(zhǎng)、寬、高各為2dm、6dm、20dm）的思考。另一位學(xué)生說(shuō)：“最多可以放9塊。（10÷2.5）×（6÷6）=4（塊），20÷8=2（層）……4（塊），一共是4×2=8（塊）。放了8塊后，柜子里仍富余一個(gè)長(zhǎng)、寬、高各為4dm、6dm、10dm的空間，還可以再放1塊！”全場(chǎng)老師都佩服劉老師的精妙設(shè)計(jì)，如果沒(méi)有圖上剩余空間的思考這一“扶手”，學(xué)生的空間思維很難再上一個(gè)臺(tái)階，而劉老師的這一問(wèn)一扶，引發(fā)了學(xué)生的思維碰撞，得到了意想不到的收獲。大多數(shù)教師給學(xué)生的引導(dǎo)往往是通過(guò)語(yǔ)言，而劉老師則通過(guò)對(duì)圖形的巧妙應(yīng)用，在學(xué)生的思維拐角處給予了有力的引導(dǎo)與支撐。

四、圖中有情，現(xiàn)出本來(lái)面目

[例6]一個(gè)長(zhǎng)方體的高減少5cm，就變成了一個(gè)正方體，這時(shí)表面積比原來(lái)少120cm2，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少？

只要結(jié)合題意圖畫(huà)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)長(zhǎng)方體的特點(diǎn)（如圖5）。只有當(dāng)截去部分后，長(zhǎng)=寬，才能得到正方體，而減少的面是4個(gè)完全相同的正方形，這樣一來(lái)，學(xué)生就很容易求得正方體的棱長(zhǎng)為120÷4÷5=6（cm），進(jìn)而求出原來(lái)長(zhǎng)方體的體積。羈絆學(xué)生思維的往往是類(lèi)似于該題中“長(zhǎng)=寬”的隱藏條件，通過(guò)畫(huà)圖，隱藏條件就會(huì)浮出水面。

走進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，我們不難發(fā)現(xiàn)，畫(huà)圖策略的巧妙運(yùn)用會(huì)為學(xué)生提供更多思路和解題方法。解決問(wèn)題時(shí)，審題意、畫(huà)簡(jiǎn)圖、標(biāo)條件，在這一串流程中，畫(huà)圖無(wú)疑給學(xué)生增加了一雙有形的翅膀。畫(huà)圖能直觀(guān)明了地展現(xiàn)解題條件，也能給學(xué)生的移一移、動(dòng)一動(dòng)提供支持，是讓學(xué)生的思維走向深處的階梯和橋梁。畫(huà)圖，讓數(shù)學(xué)的深?yuàn)W因圖形而變得生動(dòng)直觀(guān)，讓學(xué)生的思維在圖形中恣意伸展！

（責(zé)編 李琪琦）