對中考圖形旋轉問題的探究

鄧沛森

摘 要?圖形旋轉是新課標重要的內(nèi)容之一，也是中考常考的內(nèi)容之一，是教學的重點和難點。學生解題要把握圖形旋轉前后哪些是不變的量，哪些是變化的量，也要結合不同背景中有關幾何圖形的旋轉問題題型，教師需引導與培養(yǎng)學生的自主探究、分析和解決問題的能力。筆者在常規(guī)教學中，浸透旋轉思想，通過新舊知識類比，激化學生勇于思考，拓展學生的數(shù)學思維，大大提高解決圖形旋轉問題的有效性。

關鍵詞?圖形旋轉;常規(guī)教學;類比;思考與探索

中圖分類號：A，O421+.4 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）05-0147-02

圖形與變換是新課程標準明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一，有利于培養(yǎng)學生實踐與操作能力，形成空間觀念和運動變化意識。旋轉問題在中考題中很常見，而且很多作為開放題，這要求考生具備扎實數(shù)學的基本功、較強的觀察力及綜合分析問題的能力，解題時要切實把握幾何圖形運動過程，并注意運動過程中特殊位置，抓住圖形旋轉前后哪些是不變的量，哪些是變化的量。在“動”中探求：“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律.同時在平時教學中需要浸透圖形旋轉思想，引導學生進行知識類比，激發(fā)學生勇于思想，拓展數(shù)學思維。

一、常規(guī)教學引入旋轉思想，促進學生思考解題思路

解題思路是解決數(shù)學問題的突破口，學生拿到題目后，首要任務就是從題目中找到切入口，我們要在平時教學中加以應用，將圖形的旋轉解決思想融入常規(guī)的教學中，培養(yǎng)學生解題思維。

（一）《扇形的弧長和面積》教學中，引入線段旋轉思想

解決中考旋轉問題，不僅需要針對性題目訓練，在平時教學中也需引入旋轉思想，讓學生理解數(shù)學圖形的由來，同時將數(shù)學的代數(shù)與圖形進行整合，提高教學的有效性。

例1：推導“弧長及扇形的面積”公式（如圖1）

首先讓學生了解生成圓與扇形的由來，定義：圓是由線段繞著固定一點O旋轉一周而成的圖形，而扇形是線段繞著固定一點O旋轉n度的圖形。結合圓心面積S=的公式，推導扇形面積公式1°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______。90°的圓心角所對的扇形面積S扇形，結合圓的周長公式：C=2пR，推導弧長公式1°的圓心角所對的弧長是_______。

90°的圓心角所對的弧長是_______。

……

n°的圓心角所對的弧長是_______。

推導：n°的圓心角所對的弧長L=，扇形面積S扇=。

評注：很多老師把教學的重點放在公式的記憶上，但筆者認為記憶公式固然重要，關鍵是旋轉圖形知識的形成與公式推導。前者，學生記憶完公式后，容易忘記;后者，遺忘率較低，即便出現(xiàn)忘記公式，學生也能自己推導出來。教師切記要求學生理解扇形與圓是半徑繞著固定點O而成的圖形，筆者在教學中使用此方法，收到良好的效果。

（二）學習《全等三角形》引入圖形旋轉問題

在全等三角形證明過程中，很多是圖形旋轉的問題，如果能加入旋轉思想，部分復雜的題目便簡單化，那么學生解決全等三角形問題能力大大加強，同時能促進旋轉思想的教學，為解決中考旋轉問題埋下伏筆。

教學中常規(guī)題目：

例2：圖2.已知在△ABC中，ADBC于D，AD=BD，DC=DE，求證：∠C=∠1。

略證：∵ADBC，∠ADC=∠BDE=90

∵AD=BD，DC=DE，∴△BDE≌△ADC.∴∠C=∠1。

評注：這雖然只是證明兩個三角形全等，但可以加入旋轉思想，將△BDE繞點D旋轉后則與△ADC重合，如果學生掌握旋轉思想，那么學習全等三解形的證明與圖形旋轉相互相承，達到事半功倍的效果。

此類型問題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質與判定、圓以及直角坐標系等很多章節(jié)都有與圖形旋轉有關的題目。教師在常規(guī)教學中浸透圖形旋轉或變換思想，引導學生學習圖形旋形進行思考與探索。

二、引導學生進行知識類比，提高解題效率

所謂類比，就是用熟悉的問題的解決方面去解決新問題的一種解題方法，通過類比，發(fā)現(xiàn)新題型的共同點，利用已有知識，解決新的問題，從而提高解題的效率。

（一）利用中考題之間進行類比

例3：在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角α（0<α<120°），得△A₁BC₁，交AC于點E，AC分別交A₁C₁、BC于D、F兩點。

（1）如圖3，觀察并猜想，在旋轉過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論;

（2）如圖3，當=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由;

（3）在（2）的情況下，求ED的長。

【答案】（1）EA=FC;提示證明△ABE≌△CBF（2）①菱形（證明略）

（3）過點E作EG⊥AB，則AG=BG=1

在Rt△AEG中，

由（2）知AD=AB=2??∴ED=AD-AE=2-

評注：利用證明全等三角形旋轉的思想，對兩道中考題，通過知識的類比，對知識進行遷移，學生很容易找到旋轉思想的突破點，這樣兩道中考題就容易解決了，從而打開學生的思路。

（二）三角形旋轉與四邊形旋轉進行類比

例4（07年臺州市）把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H（如圖7）.試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想.

分析：（1）由已知正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉得到正方形AEFG，所以可得AG=AB;

（2）要證明線段HG與線段HB相等只需證明這兩條線段所在的兩個三角形是否全等即可;或證明△GHB是否為等腰三角形也可以解：HG=HB。

證法1：連結AH（如圖4）.

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，

∴∠B=∠G=90°.

由題意，知AG=AB，又AH=AH，

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）.

∴HG=HB.

三、激勵學生勇于思考，開拓數(shù)學思維

例5（2009，廣東）（1）如圖10，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為的半徑，ODBC于點F，OEAC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的。（2）如圖11，若∠DOE保持角度不變，求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的。

證明：（1）如圖，連結OA、OC，因為點o是等邊三角形ABC的外心，所以，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA

，因為，所以。

（2）解法：連結OA、OB和OC，則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，不妨設OD交BC于點F，OE交AC于點G，∠AO=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，∠3=∠5，

在△OAG和△OCF中

∴△OAG≌△OCF。

評注：這道題是三角形與圓結合在一起的旋轉問題，第一問題相對容易，利用垂徑定理及全等三角形便解決問題;第二問題，考生緊緊抓住△COF旋轉到△AOG，得到△AOG≌△COF，確定在旋轉過程中哪一些不變量與變量，無論題型如何變化，萬變不離其宗。

四、總結

《數(shù)學課程標準》將圖形的變換作為重要的學習內(nèi)容，圖形的運動是研究圖形性質的有效方法，軸對稱、平移、旋轉是初中幾何重要的圖形變換，其中圖形的旋轉較為復雜，變化較多。而且此類型問題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質與判定、圓以及直角坐標系等。

通過以上幾例發(fā)現(xiàn)，在解決幾何圖形的旋轉問題時，關鍵要抓住圖形在旋轉過程中，對應角、對應線段的大小保持不變，以及圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角也相等，這些不變量非常重要，解題時還要切實把握幾何圖形的運動過程。因此，教師在平時教學和復習中，利用課本已有的幾何旋轉題型，結合不同背景中有關幾何圖形的旋轉問題題型，引導與培養(yǎng)學生的自主探究、分析和解決問題的能力。這樣在中考旋轉問題上才能不慌不忙，尋找突破口。

面對中考圖形變換，筆者將旋轉思想引入常規(guī)教學中，剛開始學生拿到題目都無從下手，筆者對上述方法引領學生進行發(fā)現(xiàn)、研究、推導，通過新舊知識類比，激化學生勇于思考，拓展學生的數(shù)學空間，所帶的班在中考這類問題上，往往得分率較高，收獲很大。

參考文獻：

[1]全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）.北京師范大學出版社，2001.

[2]義務教育課程標準實驗教科書.數(shù)學九年級下冊.