求“同”思“變
——《圓》（整理與復(fù)習(xí)）課后練習(xí)

凌 佳

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)上冊(cè)第五單元課后練習(xí)。

【習(xí)題設(shè)計(jì)】

習(xí)題呈現(xiàn)（第一組題）

有一個(gè)半徑為2 厘米的圓片。

解：最外邊路線即為圓心經(jīng)過的路程。

得出結(jié)論：圓心經(jīng)過的路程=封閉圖形周長+動(dòng)圓周長。

【設(shè)計(jì)意圖：本組習(xí)題設(shè)計(jì)從圓沿長方形滾動(dòng)到沿正三角形和一般三角形等封閉圖形滾動(dòng)，將同一問題情境分成三種不同情況讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程。當(dāng)圓沿著正三角形滾動(dòng)一周時(shí)，頂點(diǎn)處圓心經(jīng)過的路線還是弧線，但所對(duì)的圓心角不再是90 度。此處設(shè)計(jì)沿正三角形滾動(dòng)可以引發(fā)學(xué)生重新思考繞頂點(diǎn)滾動(dòng)問題。當(dāng)圓沿著一般三角形滾動(dòng)時(shí)，因有先前的思考做鋪墊，多數(shù)學(xué)生不難在對(duì)比和感悟中找尋到問題解決的策略，即“畫出示意圖，強(qiáng)化空間觀念”，從而靈活地應(yīng)對(duì)不同情況下的同一個(gè)問題。】

習(xí)題呈現(xiàn)（第二題組）

有一個(gè)圓片，半徑為2 厘米。

解：外面的區(qū)域即為圓滾動(dòng)一周掃過的面積。

得出結(jié)論：圓掃過的面積=封閉圖形周長×圓直徑+圓面積（以動(dòng)圓直徑為半徑的圓）或圓掃過的面積=圓心經(jīng)過的路程×動(dòng)圓直徑。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生先經(jīng)歷大膽猜想圓掃過的面積可能與什么有關(guān)，接著直觀感受用實(shí)物圓在封閉圖形外滾動(dòng)一周，最后嘗試動(dòng)手畫出示意圖，從而驗(yàn)證自己的猜想。在知識(shí)形成的過程中培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性?！?/p>

習(xí)題呈現(xiàn)（第三題組）

在長12cm、寬10cm 的長方形內(nèi)，一個(gè)半徑為2cm 的圓，沿這個(gè)長方形內(nèi)壁無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周。如圖所示：

①求圓心經(jīng)過的路程是多少？

②圓掃過的面積又是多少呢？

解①：圖中里面長方形的周長即為圓在長方形里面滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過的路程。

得出結(jié)論：圓在長方形內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，圓心經(jīng)過的路程=長方形周長-圓直徑×4。

解②：如下圖。

得出結(jié)論：圓掃過的面積=大長方形面積-小長方形面積-內(nèi)圓外方相差部分面積。

【設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)比，讓學(xué)生感知圓在長方形外滾動(dòng)時(shí)既有沿著直線滾動(dòng)又有繞著頂點(diǎn)滾動(dòng)，而圓在長方形里面滾動(dòng)時(shí)只有沿著直線滾動(dòng)的情況，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角思考同一問題?！?/p>

【習(xí)題設(shè)計(jì)分析】

本習(xí)題適合放在《圓》（整理與復(fù)習(xí)）課后使用。通過變式題，將圓在不同封閉圖形外滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過的路程的計(jì)算方法進(jìn)行統(tǒng)一。通過對(duì)比圓在長方形外滾動(dòng)和圓在長方形內(nèi)滾動(dòng)這兩種不同情況，提煉圓在長方形內(nèi)滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過路線和圓掃過面積的計(jì)算方法。習(xí)題功能在于，一方面考查學(xué)生對(duì)周長和面積意義的理解，幫助學(xué)生鞏固圓周長及面積的計(jì)算方法；另一方面，通過圖形形狀變化與解決策略不變的思辨，以及圖形形狀不變而圓的位置改變，引導(dǎo)學(xué)生溝通圓在不同平面圖形外滾動(dòng)時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)圓在同一個(gè)圖形內(nèi)外滾動(dòng)時(shí)的本質(zhì)區(qū)別。

【設(shè)計(jì)感悟反思】

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，不僅要整體把握知識(shí)本身，更要深度挖掘習(xí)題教學(xué)過程中的生長點(diǎn)。本習(xí)題設(shè)計(jì)以圓滾動(dòng)過程中圓心經(jīng)過的路程和圓掃過的面積為主線，通過封閉圖形由長方形、正三角形到一般三角形的不斷變化以及圓在同一個(gè)圖形內(nèi)、外滾動(dòng)情況的不同，引導(dǎo)學(xué)生靜下心來解讀習(xí)題，理解設(shè)計(jì)中每個(gè)習(xí)題的編排意圖，感悟每個(gè)習(xí)題的作用和目標(biāo)，真正走進(jìn)習(xí)題教學(xué)。本組習(xí)題將教學(xué)的著力點(diǎn)放在“抓住知識(shí)‘生長點(diǎn)’，激活數(shù)學(xué)思維”上。

1.抓住知識(shí)“生長點(diǎn)”，培養(yǎng)合情推理能力。

合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等方法推斷某些結(jié)論。

例如，學(xué)生在探究“沿長方形外滾動(dòng)一周，圓心經(jīng)過的路程”時(shí)，根據(jù)圓沿直線滾動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：圓沿長方形貼邊滾時(shí)，圓心經(jīng)過的路線是直線。但是，圓繞頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)圓心的路線還是直線嗎？此處即為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)。抓住學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生把“圓繞頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過的路線”問題轉(zhuǎn)化成“以封閉圖形頂點(diǎn)為定點(diǎn)，到該定點(diǎn)距離為動(dòng)圓半徑的路線”問題，有利于學(xué)生猜想圓心經(jīng)過的路線。根據(jù)“以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑”的作圓方法，學(xué)生合情推理出圓繞頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過路線必定是圓周長的一部分。

2.抓住知識(shí)“生長點(diǎn)”，豐富空間觀念。

在習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的“學(xué)困點(diǎn)”和“易錯(cuò)點(diǎn)”。設(shè)計(jì)有效的提問，促進(jìn)學(xué)生思考，采用畫示意圖的方式，豐富學(xué)生的空間觀念。

例如，教學(xué)“圓沿著長方形外滾動(dòng)”這一習(xí)題時(shí)，讓學(xué)生思考“圓繞長方形四個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)圓心經(jīng)過的路線為什么剛好圍成一個(gè)圓”，引導(dǎo)學(xué)生嘗試畫出繞其中一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)圓心經(jīng)過的路線示意圖。通過畫示意圖的方式，我們發(fā)現(xiàn)貼邊滾結(jié)束后經(jīng)過頂點(diǎn)的直徑與長方形的長垂直，繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后該直徑又與長方形的寬垂直，繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了90°，四個(gè)頂點(diǎn)即360°，所以剛好圍成一個(gè)圓。有效抓住了知識(shí)的生長點(diǎn)，讓學(xué)生知其然，更知其所以然。

3.抓住知識(shí)“生長點(diǎn)”，提升概括能力。

有了圓在長方形外滾動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，探究圓在長方形里面滾動(dòng)時(shí)，學(xué)生容易產(chǎn)生圓心經(jīng)過的路線也是由直線和曲線組成以及圓掃過的面積只與封閉圖形面積和動(dòng)圓面積有關(guān)的認(rèn)識(shí)偏差。通過相互辯駁，明晰學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，將學(xué)生思維引向深入，在對(duì)比、體驗(yàn)和感悟過程中，提升了學(xué)生的概括能力。

深度挖掘，讓學(xué)生在有層次的練習(xí)中有所思有所悟有所得；整體把握，激活數(shù)學(xué)思維的同時(shí)也能讓枯燥無味的數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長。