滲透數(shù)學猜想 彰顯數(shù)學魅力

李曉曄

【摘要】本文從數(shù)學猜想入手，通過探析數(shù)學猜想對中學數(shù)學教學的影響，揭示數(shù)學猜想的方法論意義，從直觀猜想、類比猜想、構(gòu)造猜想、歸納猜想等四個方面論述了數(shù)學猜想的運用，闡述了數(shù)學猜想在中學教學中的滲透.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學猜想;中學教學;滲透

數(shù)學教育在現(xiàn)代教育中占有重要地位，數(shù)學教育改革使人們認識到培養(yǎng)數(shù)學思維品質(zhì)的重要性.面對豐富的數(shù)學知識與理論，學習者不應該只是片面地接受和掌握，還需要傳承與創(chuàng)新，數(shù)學猜想是創(chuàng)造性思維的源泉，為數(shù)學的發(fā)展提供動力支持.數(shù)學猜想是數(shù)學創(chuàng)新的一種思維方式，所以在中學數(shù)學教學中，滲透數(shù)學猜想，培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有重要意義.

一、數(shù)學猜想

數(shù)學猜想即根據(jù)某些已知的數(shù)學知識與事實，對一些數(shù)學的理論方法作出的猜測類推斷.它為數(shù)學發(fā)展提供推動力，例如在1900年，巴黎國際數(shù)學家代表會議上，希爾伯特提出了23個數(shù)學問題，這些問題對20世紀數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，其中部分問題就是以猜想的形式出現(xiàn).數(shù)學猜想是創(chuàng)新型思維的體現(xiàn)，猜想的真?zhèn)涡枰碚摰淖C明作以判斷，需要人們不斷對知識進行編碼加工得以實現(xiàn).同時數(shù)學猜想并非胡亂地妄下斷言，在一定條件下，人們原有的認知結(jié)構(gòu)在創(chuàng)造力推動下運用合理的邏輯思維才能完成猜想的過程，所以數(shù)學猜想并非猜測，而是一種高水平的數(shù)學思維活動.

二、數(shù)學猜想對中學教學的影響

1.豐富數(shù)學教學內(nèi)容

在中學教學中，教師經(jīng)常按照課本以及教學參考書中的內(nèi)容進行教學活動，如果在教師的指導下，引導學生對未知問題及結(jié)果進行猜想，并在課堂中實施這一過程，便能實現(xiàn)教學內(nèi)容的豐富.針對學生的各種猜想，教師給予恰當?shù)脑u價，并對學生猜想進行討論及研究，這既實現(xiàn)了課堂內(nèi)容的延伸及教學內(nèi)容的拓展，同時為開發(fā)教學思維創(chuàng)造靈感.

2.增強課堂教學活力

課堂的生命力在于教學方式的多樣化，將數(shù)學猜想的思維方法融入課堂，并將其發(fā)展為一種教學模式，學生在猜想中建構(gòu)知識，實現(xiàn)認知重組，這樣便改變了傳統(tǒng)的純理論教學方式，生成一種令學生思維全面拓展的新型課堂.將數(shù)學猜想注入課堂同時有利于彰顯課堂的凝聚力，教師學生同時進行思考，學生由過程的體驗發(fā)散了思維，也便于形成良好的課堂氛圍，這也為課堂提供了活力，為教學效果提升作出了貢獻.

3.開拓學生創(chuàng)新能力

數(shù)學猜想在教學中的主體是學生，學生積極的猜想無疑可以增強對問題的探求能力，數(shù)學猜想并不是人人都能做到的，邏輯的推理能力、嚴密的思維和固有的認知基礎都是數(shù)學猜想必不可少的要素.通過數(shù)學猜想能實現(xiàn)數(shù)學的進步，當然學生的猜想為其在數(shù)學領域的提高起到關(guān)鍵性作用，不論是對于問題解決能力的拓展還是創(chuàng)新能力的增強都起到催化劑的效果.

三、數(shù)學猜想在中學數(shù)學中的滲透

數(shù)學猜想的形式多種多樣，在這里根據(jù)實現(xiàn)數(shù)學猜想的方法，分成幾類進行說明.

1.直觀猜想

根據(jù)研究對象的特征，建立與以往經(jīng)驗的聯(lián)系，對問題進行猜想即直觀猜想.教師引導學生分析命題的外在因素，挖掘本質(zhì)特征，對問題解決的方法作出猜想.

例1 設a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則a+b+cx+y+z=.

分析 根據(jù)題目，常規(guī)的想法是將所給的三個方程聯(lián)立成方程組，按照方程的一般解法尋找特殊的關(guān)系，這種做法過于煩瑣.觀察題目中所給的方程，發(fā)現(xiàn)方程右端的常數(shù)存在10×40=202這一特殊關(guān)系，猜想能否運用不等式解決問題.其實，由柯西不等式

ax+by+cz≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）=40×10=20，

當且僅當ax=by=cz時不等式等號成立，令

ax=by=cz=k，

容易得到k=12，故 a+b+cx+y+z=12.既然猜想到可以用不等式解決問題，還可以從ax+by+cz入手，即

ax+by+cz=12（2ax+2by+2cz）≤12（2a）2+x22+（2b）2+y22+（2c）2+z22=20，

當且僅當2a=x，2b=y，2c=z時可以取到等號，得

a+b+cx+y+z=12.

2.類比猜想

類比猜想即尋找事物間相類似的特性，根據(jù)問題條件，猜想是否可用這些相類似的特征解決問題.進行類比猜想對知識的遷移能力要求較高，當然這種猜想方法對數(shù)學思維的提升具有重要價值.

根據(jù)例1中的題目內(nèi)容，題目中含有六個未知量，并已知每三個未知量平方和的數(shù)值，猜想是否可以根據(jù)空間向量的關(guān)系解決問題.于是，建立空間直角坐標系.

設Aa，b，c，Bx，y，z，O（0，0，0），得到 OA=10，OB=40，OA·OB=20，OA·OB=ax+by+cz=20，因此

OA·OB=OA·OB.

即OA∥OB，且OA與OB同向，故ax=by=cz=OAOB=12，得a+b+cx+y+z=12.

3.構(gòu)造猜想

構(gòu)造猜想即根據(jù)事物的結(jié)構(gòu)或存在規(guī)律作出相應的猜想.這種猜想方法要求熟悉問題內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及問題間結(jié)構(gòu)，根據(jù)這種結(jié)構(gòu)關(guān)系對問題作出猜想簡化問題.

例2 已知實數(shù)x，y，滿足|x+y|<13，|2x-y|<16，求證：|y|<518.

分析 由題目條件中出現(xiàn)的不等式想到用線性規(guī)劃的方法來解決，但過程十分復雜，于是猜想能否構(gòu)造出|y|關(guān)于|x+y|與|2x-y|的關(guān)系式.

3|y|=3y=2（x+y）-（2x-y）≤2|x+y|+|2x-y|.

由|x+y|<13，|2x-y|<16， 得到

3|y|<23+16=56，故|y|<518.

4.歸納猜想

歸納猜想是利用從特殊到一般的思想，通過分析研究對象，猜想全部對象都具有該特征，這種猜想方法即將問題特殊化，從特殊化的問題中尋找有效的信息對其進行普遍應用.

例3 是否存在正整數(shù)m使f（n）=（2n+7）·3n+9對任何自然數(shù)n都能被m整除.

分析 考慮f（n）=（2n+7）·3n+9是否能被m整除，從特殊情況入手.

f（1）=9×3+9=36，

f（2）=11×32+9=3×36，

f（3）=13×33+9=10×36，

f（4）=15×34+9=34×36，

……

猜想存在m=36，使f（n）=（2n+7）·3n+9對任何自然數(shù)n都能被36整除.嘗試用數(shù)學歸納法給予證明：

（1）當n=1時，結(jié)論成立.

（2）假設當n=k時，f（k）能被36整除，于是當n=k+1時，有2（k+1）+7·3k+1+9=（2k+7）·3k+1+27-27+2·3k+1+9=3（2k+7）·3k+9+18（3k+1-1）.由于3k+1-1能被2整除，故18（3k+1-1）能被36整除，即當n=k+1時，f（k+1）能被36整除.這就驗證了m的存在性.

四、結(jié) 語

數(shù)學猜想提供了一種創(chuàng)新思維的數(shù)學教育觀，在這種創(chuàng)新思維的數(shù)學教育指導下，教師引導學生對數(shù)學進行猜想探索，雖然學生猜想到的結(jié)果大都為證明過的問題，但這一過程對于數(shù)學創(chuàng)新能力的提高以及數(shù)學思維的形成都具有積極意義.

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