素?cái)?shù)表示形式

楊帆

【摘要】本文論述素?cái)?shù)的一種表示形式，以及在這種表示下，導(dǎo)出的三個(gè)公式，進(jìn)一步說(shuō)明孿生素?cái)?shù)的存在形式，梅森素?cái)?shù)的歸屬類型及梅森素?cái)?shù)的一個(gè)性質(zhì)，費(fèi)馬數(shù)的歸屬類型及費(fèi)馬數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，受此啟發(fā)對(duì)費(fèi)馬定理賦值拓展.

【關(guān)鍵詞】素?cái)?shù)表示;梅森素?cái)?shù);費(fèi)馬數(shù);費(fèi)馬定理

P為任意素?cái)?shù)，且P>3，則： P可以表示成6r+1或6r-1（r為正整數(shù)）的形式，即：

p=6r+1，

或p=6r-1 （r為正整數(shù)）.

P為任意素?cái)?shù)，且P>3，自然可得：

p≡1（mod3）或p≡2（mod3），即：

p-1=3k或p-2=3k （k為正整數(shù)）.

既然 P為任意素?cái)?shù)，且P>3，自然p-1為偶數(shù)，p+1為偶數(shù).可以寫出如下等式：

p-1=2h（h為正整數(shù)）=3k

=6r.

p=6r+1，或p-2=3k.

p+1=3k+3=3（k+1）=2h=6r.

p=6r-1.

那么孿生素?cái)?shù)（除了2，3）只能是（6r-1 6r+1）的形式（前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)此規(guī)律），上面式子也可以做如下解釋：

P為任意素?cái)?shù)，且P>3，則：p+1，p-1必有其一能被6整除.

梅森素?cái)?shù)很著名，形如

2n-1 （n為素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)

稱為梅森素?cái)?shù).除了2，3所有的素?cái)?shù)必是p=6r-1或p=6r+1的形式，梅森素?cái)?shù)屬于p=6r+1.

假設(shè)：p=6r-1=2n-1 （n為素?cái)?shù)，n>2），

則：6r=2n.

這是不可能的.

令：p=6r+1=2n-1，

6r=2n-2，

3r=2n-1-1.

從上式我們得出2的n-1次方減1能被3整除，由于n為大于2的素?cái)?shù)，所以n-1只是部分偶數(shù)，下面我們可以得到更強(qiáng)的結(jié)果.

記：

M=2n-1（n為偶數(shù)）

=22m-1

=4m-1

=（4-1）（4m-1+4m-2+4m-3+…+42+4+1）

=3t （n=2m，m為自然數(shù)）.

t=4m-1+4m-2+4m-3+…+42+4+1.

即：2n-1能被3 整除，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).

看到上式我想起了費(fèi)馬定理：如果p是任意一個(gè)不能整除整數(shù)a的素?cái)?shù)，則

ap-1-1=sp（s為正整數(shù)）.

令a=2，得

2p-1-1=sp，

2p-1-1=3sp，（p≠2，3）.

即：2p-1-1（p≠2，3 p為素?cái)?shù)）能被3p整除.

說(shuō)到了費(fèi)馬定理，順便提一下費(fèi)馬數(shù)，形如Fn=22n+1（n為自然數(shù)）稱為費(fèi)馬數(shù).

人們發(fā)現(xiàn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4全是素?cái)?shù)，以后再?zèng)]發(fā)現(xiàn)素費(fèi)馬數(shù)，甚至至今還沒(méi)有人能證明n>4時(shí)是否存在一個(gè)Fn是素?cái)?shù).素費(fèi)馬數(shù)（除了3）必是6r-1的形式（讀者自己證明）.

接上面：

Fn-2=22n-1（n為偶數(shù)，則2n為偶數(shù)）

=3t.

即：大于3的費(fèi)馬數(shù)減2必能被3整除.

最后一個(gè)小公式了：

M=2n-1=3t，

2M=2n+1-2=6t，

2n+1+1=6t+3 ?（n為偶數(shù)）

=3（2t+1）.

為了方便把n+1記為n，則 n為奇數(shù)，把2t+1記為t，則t為正整數(shù)，可以寫成下式：

2n+1=3t（n為奇數(shù)，t則為正整數(shù)）.即：

2n+1能被3整除，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).

?。喝我饷飞瓟?shù)M，

M=2p-1，

M+2=2p+1

=3t ?（p為素?cái)?shù)，p>2）.即：

大于3的梅森數(shù)加2必能被3整除.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Richard Courant，Herbert Robbins，Ian Stewart.What Is Mathematics左平，譯. 增訂版.復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.

[2]盧昌海.黎曼猜想漫談.第一版.北京：清華大學(xué)出版社，2007.