對減法第二重意義的重新思考

秦引

[摘 要]從總量中取走部分量，計算剩余量使用減法，這是減法的初始意義，其前提是總量和減少量是同類量，衍生到后面的求量差意義下的減法，學生還會固執(zhí)地認為只有同類量求量差才能用減法。在教學“20以內(nèi)退位減法”時，教師要利用好“開會場景”來詮釋求量差下的減法意義，首先讓學生定性判斷座椅夠不夠，再定量計算還缺幾把座椅，讓學生借助生活經(jīng)驗和圖形深刻理解求量差下的減法意義。

[關(guān)鍵詞]減法;第二重意義;思考

“20以內(nèi)退位減法”是蘇教版教材 “加與減”中的教學內(nèi)容。教材設置了開班會的場景（如下圖），涉及參會人員和座椅數(shù)量的配比問題，從而拋出數(shù)量對比操作，并提出三個問題：“每人坐1把座椅，夠數(shù)嗎？”“還差幾把椅子？”“你能通過列式計算解決問題嗎？下面的算式合理嗎？”

學習時，學生都能知曉座椅數(shù)目不足，而且還能推算出缺少4把椅子。可是在解答第三個問題時，課堂上出現(xiàn)了小插曲——

師：剛才同學們利用示意圖，通過對照法，仔細比對了座椅數(shù)和人數(shù)，發(fā)現(xiàn)還缺少4把座椅。你能列式解答嗎？

生1：11-7=4。

師：能談談你的想法嗎？

生1：因為缺少4把座椅，所以11減7等于4。

師：你能進一步解釋11、7、4分別代表什么嗎？

生1：“11”代表參會人數(shù)為11人，“7”指會場座椅為7把，“4”指缺少的4把座椅。

生2：老師，我有不同看法。怎么能用人數(shù)11減去座椅數(shù)7呢？不同的數(shù)量不能直接加減，所以這樣列式違背常理。

生3：是呀！它們的單位不一致，不能進行減法運算。我也反對這樣列式。

一、深挖知識背景和研讀教材

在小學階段，應用減法運算時，主要涉及兩類數(shù)量關(guān)系：一是從總量中減去部分數(shù)量，求剩余數(shù)量;二是求兩個數(shù)量之間的差額。學生對“從總量中減去部分求剩余量”較易理解，但對求兩個數(shù)量之間的差額，則理解較為困難。正因為如此，蘇教版教材充分考量學生對減法計算的心理接受能力，充分體諒到學生的困難，避免難度過大，所以將一些難度超出學生相應年齡段智能范圍的內(nèi)容挪后，從學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗出發(fā)，將其編進第二冊教材中。這樣，將減法的雙重意義分離開來，先易后難，循序漸進，也就是讓學生先充分理解從整體中去掉部分的減法運算意義，再學習求兩個數(shù)量的差額的減法意義，從而完善學生的減法認知結(jié)構(gòu)。

學生在第一冊教材中已經(jīng)接觸到了用對照法比較數(shù)量多少，而且積累了一定的活動經(jīng)驗。本節(jié)課主要是進一步引導學生從對照法中提煉出減法計算算理，從而讓學生更加全面深刻地認識減法和理解其運算意義。教材中呈現(xiàn)的三個問題中，問題1是為了喚起學生潛藏的生活經(jīng)驗，讓學生直觀感受到11個參會人員坐7把座椅不夠，為解鎖下一環(huán)節(jié)埋下伏筆;問題2則是利用學生原有的活動經(jīng)驗把實物淡化成幾何圖像，引導學生用已學過的對照法比較數(shù)量多少;問題3是讓學生趁熱打鐵，把數(shù)量關(guān)系進一步概括形成算式，完善對減法意義的認知，即讓學生深切認識到“求出兩個數(shù)量的差額”可以用減法計算，體會到減法與日常生活息息相關(guān)。

問題1側(cè)重于提問，問題2側(cè)重于運用生活經(jīng)驗來類比推導問題，問題3側(cè)重于升華形成具體的算式，三個問題環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，讓學生經(jīng)歷從“直觀表征”到“形狀表征”再到“符號表征”的過程，逐步誘導學生掌握“求兩個數(shù)量的差額”用減法計算的思想方法。

二、解讀學生和通俗解釋

上述課例中，學生為什么反對這樣列式？從學生的立場來看，也許有兩點理由：1.轉(zhuǎn)化的困難?！督處熃虒W用書》（2012年12月第一版）針對問題3提出如下教學參考建議：“教學時，教師不妨令學生通過畫圖對比數(shù)量，將數(shù)量關(guān)系明確化，指點學生依據(jù)數(shù)量關(guān)系列式表達，并結(jié)合圖形說明列式的由來和思路，算式中每個數(shù)據(jù)代表什么意義，促進學生對減法意義的深刻理解?！睋Q言之，也就是讓學生參照圖形理解“11個參會人員，只有7把座椅，還缺幾把座椅？”這樣的情境可以轉(zhuǎn)換為學生熟知的“從總量中減去部分求剩余量”的數(shù)量關(guān)系模型。然而，盡管學生借助生活經(jīng)驗能理解“人多座椅少”，也能利用圖形的直觀順利解答“還差幾把座椅？”這樣的問題?？墒窃趺磳⑷藬?shù)看成總量，把座椅數(shù)視為部分量，學生無法做出合理解釋——“怎么能用11個人減去7把座椅呢？”這明顯與“單位不同，不能相加減”的認知相沖突。面對學生的質(zhì)疑——“11是指11個人，7是指7把座椅，人數(shù)怎能減去座椅數(shù)？”筆者只好做出這樣的解釋：這里的11個人也可以理解為11把座椅，這是需求量，是預算，因為1個人需要1把座椅，11個人剛好就需要11把座椅，減去7把實有的座椅，不就剛好單位一致了嗎？也就是座椅的需求量減去座椅的實際存量，可剛好得到座椅缺口量嗎？還可以這樣解釋：這里的“11”仍舊代表11個參會人員，因為有7把座椅，可以容納7個參會人員就座，11個人減去7個人，還有4個人沒有座椅。可是在教師看來不言而喻的單位換算，對于剛進入小學的孩子來說，卻是繞來繞去，令他們暈頭轉(zhuǎn)向。

三、教材分析和教學建議

面對這樣的困惑，筆者查閱大量文獻資料，探索破解之道。

首先，系統(tǒng)審讀了蘇教版教材。在第三版教材第一冊“10以內(nèi)加減法”中編排了“操場上”一課，通過比較師生人數(shù)配額，引導學生理解兩個不同集合的數(shù)量差，但是由于同步學習減法的兩種意義的學習，學生理解起來有難度，所以第四版教材推延第二重意義的學習。這樣看來，編者的初衷是從同類量的數(shù)量差來揭示求差額減法，只是在“練一練”中出現(xiàn)了“非同類量的量差比較”題材。

其次，參閱了其他各版本教材，尋找關(guān)于減法意義的蛛絲馬跡。各版本教材不約而同地采用同類量的差額引入減法。課后練習也是統(tǒng)一采用同類量求差做題材。唯獨蘇教版教材將好理解的放在后面，難以理解的反而放在前面，令人費解。

蘇教版教材更加注重問題情境的新穎性，開會的場景很新奇有趣，如何利用好這一情境來完美詮釋求量差下的減法意義？筆者認為，首先應該回避列式，而是讓學生定性判斷座椅夠不夠，再定量計算還缺幾把座椅，讓學生借助生活經(jīng)驗和圖形直觀，深刻認識求量差下的減法意義。

以上是筆者在教學實踐中的一點感想和心得，在這里謹慎地提出，希望得到教育專家們的批評指正！

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 白晶.經(jīng)驗為鑰，打開思維通透的鎖：以《加、減法的意義和各部分間關(guān)系》案例研究為例[J].小學教學研究，2018（28）：27-31.

[2] 張宏偉.感悟減法算式模型意義 破除一圖單題思維定式：減法應用題教學實錄[J].小學教學參考，2017（17）：11-13.

[3] 趙勁松，于蓉.強化“計數(shù)單位”概念 重視“運算意義”理解：“100以內(nèi)的加法和減法（一）”教材分析與教學建議[J].小學數(shù)學教育，2018（Z2）：40-42.

（責編 黃春香）