巧用等價(jià)無(wú)窮小量求極限

賈松芳 陳彥恒

【摘要】本文給出了無(wú)窮小量和差極限中等價(jià)無(wú)窮小替換定理，并舉例說(shuō)明它們的應(yīng)用，對(duì)今后學(xué)生學(xué)習(xí)極限是有益的.

【關(guān)鍵詞】極限;等價(jià)無(wú)窮小量;等價(jià)替換

【基金項(xiàng)目】該文由重慶市教委科研資助項(xiàng)目（KJ1710254），重慶三峽學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目（14ZD16），重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教改項(xiàng)目資助.

無(wú)窮小量并不是一個(gè)很小的數(shù)，它是在某個(gè)變化過(guò)程中極限值為零的函數(shù)，能作為無(wú)窮小量的數(shù)只能是數(shù)字0.兩個(gè)函數(shù)在某一變化過(guò)程中為等價(jià)無(wú)窮小量，是說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)在此變化過(guò)程中為無(wú)窮小量，且此變化過(guò)程中兩個(gè)函數(shù)之比的極限值為1;從函數(shù)隨自變量的變化趨勢(shì)來(lái)說(shuō)是兩個(gè)函數(shù)趨近于0的速度基本相同.

求極限的方法有多種，包括定義法、分子（母）有理化法、因式分解法以及利用重要極限、洛必達(dá)法則、泰勒公式等.這些方法雖然非常實(shí)用，可是仍存在不足.比如，洛必達(dá)法則，有些復(fù)雜函數(shù)經(jīng)過(guò)數(shù)次求導(dǎo)后，并不會(huì)達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.同樣，泰勒公式雖然可以解決一部分極限問題，可是在解題過(guò)程中對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是不容易掌握的，它對(duì)過(guò)程的要求過(guò)于嚴(yán)格，一環(huán)緊接著一環(huán)，并且計(jì)算量往往比較大.然而利用等價(jià)無(wú)窮小量替換定理，見文獻(xiàn)[1，2]，往往簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的計(jì)算過(guò)程，給極限求解帶來(lái)方便.本文歸納總結(jié)等價(jià)無(wú)窮小量在函數(shù)和差極限中的應(yīng)用，對(duì)今后極限的學(xué)習(xí)是有益的.該文所使用數(shù)學(xué)符號(hào)與文獻(xiàn)[3]保持一致.

一、無(wú)窮小量和差極限中的等價(jià)替換

由等價(jià)無(wú)窮小量的替換定理知，乘除法函數(shù)的極限中的無(wú)窮小可用相應(yīng)的等價(jià)無(wú)窮小替換，無(wú)窮小和差極限是否可以同時(shí)用等價(jià)無(wú)窮小替換呢？我們得到下面結(jié)論：

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]劉玉蓮，傅沛仁，等.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.