數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同及其本質(zhì)原因

何天榮

摘 要： 極限理論是數(shù)學(xué)分析課程的理論依據(jù)，就因?yàn)橐霕O限思想，微積分才有了理論根基，從而可以解決很多初等數(shù)學(xué)不能解決的實(shí)際問(wèn)題.極限理論貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終.因此，教學(xué)中讓學(xué)生深刻理解極限理論對(duì)學(xué)好整門(mén)課程起到至關(guān)重要的作用.作者就自己多年教授數(shù)學(xué)分析課程的經(jīng)驗(yàn)，談?wù)剶?shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別.

關(guān)鍵詞： 極限 數(shù)列極限 函數(shù)極限

1.關(guān)于數(shù)列極限

1.1數(shù)列

初等數(shù)學(xué)中對(duì)數(shù)列這樣定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)學(xué)分教材[1]關(guān)于數(shù)列的定義：若函數(shù)f的定義域是全體正整數(shù)集N，則稱f：N→R或f（n），n∈N為數(shù)列.正因?yàn)檎麛?shù)集的元素可按從小到大的順序排列，所以數(shù)列f（n）也可寫(xiě)作a，a，…a…，或簡(jiǎn)單地記作{a}，其中a是該數(shù)列的通項(xiàng).看得出來(lái)，數(shù)列就是一正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，即所有數(shù)列的定義域都是正整數(shù)集.

1.2數(shù)列的極限的定義

定義1設(shè){a}為數(shù)列，a為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)？蘚，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|a-a|<？蘚，則稱數(shù)列{a}收斂于a，定數(shù)a為數(shù)列{a}的極限，并記作a=a.

2.關(guān)于函數(shù)極限

2.1x→∞時(shí)函數(shù)極限

定義2設(shè)f為定義[a，+∞）在上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)？蘚，存在正數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x>M時(shí)有|f（x）-A|<？蘚，則稱函數(shù)當(dāng)x→+∞時(shí)以A為極限，記作f（x）=A.

現(xiàn)設(shè)f為定義在U（-∞）或U（∞）上的函數(shù)，當(dāng)x→-∞或x→∞時(shí)，若函數(shù)值無(wú)限地接近某定數(shù)A，則稱f當(dāng)x→-∞或x→∞時(shí)以A為極限，f（x）=A或f（x）=A.

2.2x→x時(shí)函數(shù)極限

定義3（函數(shù)極限的？蘚-δ定義）設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x的某個(gè)空心鄰域U（x；δ′）內(nèi)有定義，A為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ（<δ′），使得當(dāng)0<|x-x|<δ時(shí)有|f（x）-A|<0ε，則稱函數(shù)f當(dāng)x→x時(shí)以A為極限，記作f（x）=A.

類(lèi)似可定義f（x）=A及f（x）=A.

3.數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同及根本原因

從以上定義可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限有相同點(diǎn)也有不同點(diǎn)，研究二者的方法大同小異，相同點(diǎn)是數(shù)列極限與函數(shù)極限中當(dāng)x→+∞時(shí)的類(lèi)型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同點(diǎn)在于，數(shù)列極限只有一種類(lèi)型，就是n→∞時(shí)的極限；而函數(shù)極限細(xì)分有六種類(lèi)型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的極限，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)的趨向的不同來(lái)分類(lèi).

二者的相同點(diǎn)源自二者都是函數(shù)，數(shù)列可以認(rèn)為是特殊情況的函數(shù)，任何一個(gè)不同的數(shù)列都以正整數(shù)集為定義域；而通常意義下的函數(shù)在數(shù)學(xué)分析課程中是定義在實(shí)數(shù)范圍的，其定義域可以是實(shí)數(shù)集也可以是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集.

正因?yàn)閷⒍咄闯珊瘮?shù)的情況下，由于二者的定義域范圍不同，導(dǎo)致二者極限類(lèi)型的不同.數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，那自變量的取值為1、2、3……，自變量的最小取1，因此不可能趨向于-∞，又因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)必須取整數(shù)，所以它不可能趨近于某個(gè)定數(shù)，自變量n只可能有一種趨向于+∞；而通常意義下的函數(shù)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的討論，因此，自變量x既可以趨近于+∞，又可以趨近于-∞；如果自變量x同時(shí)趨近于+∞和-∞時(shí)函數(shù)極限存在，則稱x→∞時(shí)函數(shù)極限存在.同理，因?yàn)閷?shí)數(shù)集的稠密性，自變量x會(huì)趨近于某個(gè)定數(shù)x，根據(jù)自變量x趨近于x的方向不同又可以分為x點(diǎn)處的左極限和右極限，于是某定點(diǎn)處有三種類(lèi)型x→x；x→x；x→x函數(shù)極限.

綜上，數(shù)列是特殊的函數(shù)，正因?yàn)閿?shù)列作為函數(shù)的特殊性，使數(shù)列極限相對(duì)簡(jiǎn)單并且具有相對(duì)理想的性質(zhì)，收斂數(shù)列的所有性質(zhì)都具有整體性；而收斂函數(shù)的所有性質(zhì)都只能滿足局部性質(zhì).導(dǎo)致二者性質(zhì)差別的真正原因也在于二者作為函數(shù)定義域的范圍不同.筆者認(rèn)為，還要真正學(xué)透極限，一定要從本質(zhì)上研究導(dǎo)致他們不同的原因，相同的理論完全可以通過(guò)類(lèi)比的方式學(xué)習(xí)，而學(xué)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在二者的不同上，弄懂有什么不同，為什么不同，只有懂得了“為什么”，才能真正學(xué)懂相應(yīng)知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師大數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.