基于貝葉斯的高斯雜波背景下MIMO雷達自適應檢測算法

韓金旺 張子敬 劉 軍 趙永波

①(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

②(中國科學技術大學信息科學技術學院 合肥 230027)

1 引言

近年來多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)雷達是雷達領域的一個研究熱點[1-4]。根據(jù)天線配置，MIMO雷達分為兩類：一類是分布式MIMO雷達，其特點是發(fā)射和接收天線被分置于不同的空間位置[5-9]，另一類是集中式MIMO雷達[10-14]，其將發(fā)射和接收天線集中放置。分布式MIMO雷達的空間分集性可以有效減輕目標的雷達橫截面積(Radar Cross Sections， RCSs)閃爍，從而可以提高檢測性能[15，16]和估計精度[17]。集中式MIMO雷達發(fā)射相互獨立或正交的波形，從而獲得了波形分集性能，提高了系統(tǒng)自由度，因此可以獲得更優(yōu)異的性能，如更加靈活的波束形成性能[18]、更優(yōu)的檢測性能[19]和更好的干擾抑制性能[20]。

雷達的主要功能之一是目標檢測。許多文獻對分布式MIMO雷達在協(xié)方差相關性未知情況下的檢測問題進行了研究[21-23]。為了估計未知的雜波協(xié)方差矩陣，一般要遵循如下假設：有充足的均勻的訓練數(shù)據(jù)可用。實際中，由于雜波譜的快變性，往往無法得到充足的均勻性訓練數(shù)據(jù)，由此會帶來檢測器的性能下降?？梢圆捎靡恍┓椒▉頊p輕性能損失，例如，利用雜波協(xié)方差矩陣的斜對稱結構[24]。然而，由均勻性訓練數(shù)據(jù)不足引起的問題不能被完全解決，因為這些方法仍然需要訓練數(shù)據(jù)。

為了徹底解決均勻性訓練數(shù)據(jù)不足的問題，一個可能的方法是不使用訓練數(shù)據(jù)進行目標檢測。集中式MIMO雷達可以直接使用自適應處理技術而不需要訓練數(shù)據(jù)[25]。本文研究的檢測問題主要針對集中式MIMO雷達。除非特別說明，以下將集中式MIMO雷達簡稱為MIMO雷達。

文獻[20]從MIMO雷達參數(shù)估計和干擾抑制的角度，給出了一種基于廣義似然比檢驗 (Generalized Likelihood Ratio Test， GLRT)的檢測器，文獻[26]推導出這種檢測器虛警概率和檢測概率的閉集表達式并分析其性能，注意到這種檢測器不需要訓練數(shù)據(jù)，從而有效解決了均勻訓練數(shù)據(jù)匱乏的問題。根據(jù)Rao和 Wald準則，文獻[26]設計了兩個不需訓練數(shù)據(jù)的自適應檢測器。幾種檢測器各有優(yōu)勢，在信號匹配情況下，文獻[20]中的GLRT檢測器的檢測性能最好。在信號失配情況下，與GLRT檢測器相比，Rao檢測器抑制失配信號的性能更好，而Wald檢測器的魯棒性更好。進一步地，文獻[27]推導了一種參數(shù)可調的MIMO雷達檢測器，從而可以靈活地調節(jié)選擇性和魯棒性。

需要指出的是，許多檢測器將雜波協(xié)方差矩陣建模為未知確定的矩陣[20，26，27]，此方法的一個缺點是無法將協(xié)方差矩陣的先驗信息應用到自適應檢測算法中。貝葉斯方法將雜波協(xié)方差矩陣建模為未知隨機的，并為其指定一個合適的先驗分布，從而可以有效地利用協(xié)方差矩陣的先驗知識。

貝葉斯方法已經應用到了一些場景，如多通道雷達的空時自適應處理[28，29]和高斯雜波背景[30]或復合高斯雜波背景[31]下的分布式MIMO雷達的自適應檢測。對于分布式MIMO雷達，文獻[30]針對距離擴展目標推導了一種基于貝葉斯理論的GLRT檢測器，雷達的檢測性能得到了較大提高。文獻[31]研究了隨機紋理的復合高斯雜波背景下的分布式MIMO雷達檢測問題。然而，目前還沒有基于貝葉斯理論的集中式MIMO雷達檢測器。

本文借鑒在分布式MIMO雷達中基于貝葉斯框架的GLRT檢測器的理念，結合集中式MIMO雷達的特點，研究與設計集中式MIMO雷達的貝葉斯檢測器。本文假設雜波協(xié)方差矩陣服從逆復Wishart分布，因為這種分布可以滿足數(shù)學上的易處理性而且可以反映雷達工作的環(huán)境。根據(jù)GLRT準則，本文利用雜波協(xié)方差矩陣的先驗分布設計了兩種貝葉斯檢測器。仿真結果顯示相比傳統(tǒng)的非貝葉斯檢測器，本文的貝葉斯檢測器具有更好的檢測性能。

2 問題闡述

在窄帶模型下，目標位置處的基帶信號可以表示為

其中，

目標檢測問題可以轉化為式(11)的二元假設檢驗問題：

一個合適的先驗分布要能反映雷達的工作環(huán)境，并且在數(shù)學上易處理，考慮以上兩點，本文認為雜波協(xié)方差矩陣服從逆復Wishart分布[32]，即

3 MAP-GLRT檢測器

這一部分將推導出MAP-GLRT(Maximum A Posteriori GLRT)檢測器，接收信號在假設和下的概率密度函數(shù)分別表示為

實際上，逆復Wishart分布是式(15)和式(16)的共軛先驗分布。也就是說，如果先驗分布是逆復Wishart分布，則式(15)和式(16)是后驗概率密度函數(shù)(Probability Density Function， PDF)，這是易處理性的基礎。

根據(jù)奈曼皮爾遜(Neyman-Pearson， NP)準則，最優(yōu)的檢測器可以通過似然比檢驗獲得。然而，由于存在未知參數(shù)，使得無法采用似然比檢驗推導出最優(yōu)檢測器。因此，這里采用廣義似然比檢驗設計檢測器。廣義似然比檢驗可以描述問題為

將式(15)和式(13)代入到式(20)中，并取對數(shù)得

利用式(23)，式(24)代數(shù)不等式

從而得到

進一步地，等式在式(26)情況下成立

其中，

注意到

將式(43)和式(42)代入式(41)，得到

將式(44)代入式(39)，可以得到

將式(45)代入式(30)，最終得到GLRT檢測器，記為MAP-GLRT：

4 BAMF檢測器

這一部分采用兩步法來設計基于貝葉斯方法的BAMF(Bayesian AMF)檢測器。首先，假設協(xié)方差矩陣是已知的，則GLRT可以表示為

將式(55)代入式(50)并化簡，最終得到BAMF檢測器為

5 仿真實驗

這一節(jié)，將提出的檢測器與傳統(tǒng)的非貝葉斯檢測器進行檢測性能比較。因為MAP-GLRT檢測器與BAMF檢測器的閉集形式的虛警概率(Probability of False Alarm，) 和檢測概率(Probability of Detection，)表達式無法得到，所以采用蒙特卡羅方法評估檢測性能。檢測門限和檢測概率分別通過與次獨立實驗得到。在以下仿真中，發(fā)射和接收陣元數(shù)設置為，陣元間距為半波長。假設，其中，采用指數(shù)相關的協(xié)方差矩陣，即第個元素是

為了對比，這里給出傳統(tǒng)的非貝葉斯GLRT檢測器[20]：

Rao檢測器[26]：

Wald檢測器[26]：

圖1 K 取不同值時的ROC曲線Fig. 1 ROC curves for different K

圖2 K 取不同值時關于SCR的曲線Fig. 2 versus SCR for different K

注意到上述仿真均假設逆復 Wishart 分布的參數(shù) (即和) 是完全已知的。實際上，這些參數(shù)是未知的，可以使用文獻[32]中的方法進行估計，這就不可避免地產生估計誤差，接下來研究貝葉斯檢測器在參數(shù)和失配情況下的檢測性能。首先，假設是確定已知的而存在失配，圖4仿真了這種情況下檢測器的ROC曲線。這里采用兩個階遲滯相關系數(shù)和去仿真這種失配，其中和分別用在實際的和名義上的中。仿真參數(shù)設置為：真實的階遲滯相關系數(shù)設定的階遲滯相關系數(shù)分別為其他參數(shù)設置為和。圖4顯示階遲滯相關系數(shù)的失配導致了檢測器性能的下降。

圖3 L 取不同值時檢測器的ROC曲線Fig. 3 ROC curves for different L

圖4 1階遲滯相關系數(shù)失配時檢測器的ROC曲線Fig. 4 ROC curves when one-lag correlation coefficient is mismatched

圖5 自由度L失配時檢測器的ROC曲線Fig. 5 ROC curves when L is mismatched

6 結束語

本文研究了協(xié)方差矩陣未知的高斯雜波背景下MIMO 雷達的自適應檢測問題，雜波的協(xié)方差矩陣被建模為服從逆復 Wishart 分布的隨機矩陣，然后基于貝葉斯方法和廣義似然比檢驗準則設計了MAP-GLRT 檢測器與BAMF檢測器，這兩個檢測器不需要訓練數(shù)據(jù)。研究結果表明利用協(xié)方差矩陣的先驗信息可以有效提高檢測器的檢測性能，尤其是在發(fā)射波形采樣數(shù)較少時。在1階遲滯相關系數(shù)或自由度失配時，貝葉斯檢測器的檢測性能會有所下降。