雙參數(shù)n階α次積分C半群的逼近*

趙丹丹,趙華新

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

自Hille[1]首先提出算子半群理論以來，其理論得到不斷豐富和發(fā)展.文獻[2]中Pazy建立了壓縮C0半群的Hill-Yosida定理.徐敏等[3]從雙參數(shù)C半群的無窮小生成元的Yosida逼近出發(fā)，給出了兩個充要條件.倉定幫等人[4]引入了Banach空間上雙參數(shù)算子半群生成元的Yosida逼近的定義；徐敏[5]給出了雙參數(shù)C半群的Yosida逼近定理及逼近的相關(guān)性質(zhì).張明翠[6]給出了單參數(shù)n階α次積分C半群的概念并討論其相關(guān)問題.本文在上述研究的基礎(chǔ)上將單參數(shù)n階α次積分C半群推廣到雙參數(shù)n階α次積分C半群，給出了雙參數(shù)n階α次積分C半群無窮小生成元的定義，并討論其逼近定理.

1 預(yù)備知識

在本文中，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)；D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0.

JnT(t)表示T∈C([0,+),X)的n次積分，即

T=0當且僅當存在n>0使JnT(t)=0,t≥0.

2 雙參數(shù)n階α次積分C半群的定義

定義1 設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射, {T(t,s)}s,t≥0?B(X)強連續(xù)，若存在算子A=(A1，A2)使

(2)CT(t,s)=T(0,s)T(t,0)

定義2 雙參數(shù)n階α次積分C半群{T(t,s)}t,s≥0的無窮小生成元是C-1與T(t,s)在(0,0)處的微分的積，記為A=(A1,A2)，且A1、A2分別為單參數(shù)n階α次積分C半群的無窮小生成元，即

3 主要結(jié)論

證明設(shè) {T(t,s)}t,s≥0是雙參數(shù)n階α次積分C半群，則{T(t,0)}t≥0和{T(0，s)}s≥0是兩個單參數(shù)n階α次積分C半群，則它們的無窮小生成元A1、A2在X上是閉的，令u=(a,b)∈R×R，則：

定理2 設(shè){T(t,s)}t,s≥0是雙參數(shù)n階α次積分C半群，有x∈X,則有

當(h,k,δ1,δ2→0)時，T(0，0)=C.定理得證.

下面給出雙參數(shù)n階α次積分C半群Yosida逼近定理.

定理3A=(A1，A2)為雙參數(shù)n階α次積分C半群{T(t,s)}t,s≥0的無窮小生成元，當且僅當：

U=(a,b)∈R×R,S(h)=T(hu)=T(ha,hb)