兩類構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的方法

余 欣，呂王勇，楊和柳，張瓊文

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 610068)

1 引言

熟知，Copula 是將多維的聯(lián)合分布函數(shù)和一維的邊緣分布函數(shù)連接在一起的一個(gè)二元函數(shù).1999 年Nelsen[1]對(duì)Copula 函數(shù)的含義和性質(zhì)做了全面詳細(xì)的介紹，后來，隨著理論的逐漸完善，Copula 函數(shù)在金融市場股市之間的信息流動(dòng)、相依性分析以及金融風(fēng)險(xiǎn)管理等方面得到了廣泛應(yīng)用[2-5].迄今為止，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)Copula 理論做了大量的研究工作并且取得了較好的研究成果.

在眾多的Copula 函數(shù)族中，阿基米德Copula 函數(shù)族由于構(gòu)造方便、計(jì)算簡單，具有一般Copula 函數(shù)所不具有的較好的性質(zhì)而在金融領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.目前國內(nèi)外對(duì)阿基米德Copula 的研究已有一定成果，最早關(guān)于阿基米德Copula 模型的相依結(jié)構(gòu)和序關(guān)系的文章源于Nelsen 的研究[6]，隨后，利用阿基米德Copula 對(duì)投資分配組合及其風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了研究[7-10].阿基米德Copula 是由一些單調(diào)遞減的凸函數(shù)所生成的一類Copula，這類單調(diào)遞減的凸函數(shù)稱為“生成元”，只要找到所謂的“生成元”，就能實(shí)現(xiàn)這一類Copula 的構(gòu)造.該文的主要工作是討論阿基米德Copula 生成元的構(gòu)造，到目前為止，構(gòu)造生成元主要是從函數(shù)和變換兩個(gè)角度討論.阿基米德Copula生成元常見的構(gòu)造方法有:Laplace 變換法[11]，生成元與一般函數(shù)復(fù)合構(gòu)造[12]，2007 年，提出了一種利用連續(xù)可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)構(gòu)造生成元的方法[13]，同時(shí)，基于已有的對(duì)阿基米德Copula 生成元的研究，討論了一類半?yún)?shù)阿基米德Copula 生成元的構(gòu)造[14]，對(duì)阿基米德Copula 函數(shù)的研究愈發(fā)完善[15].該文基于變換的思想，提出了基于拉普拉斯變換和z 變換的兩類構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的新方法.

2 阿基米德Copula 函數(shù)定義

定義[1]設(shè)φ 是[0，1]→[0，∞]的連續(xù)的、嚴(yán)格單減的凸函數(shù)，滿足φ(1) ＝0，φ[-1]:[0，∞]→[0，1]是函數(shù)φ的廣義逆函數(shù)，其定義為

則具有C(u，v) ＝φ[-1](φ(u) ＋φ(v))形式的C 稱為阿基米德Copula，其中函數(shù)φ 稱為阿基米德Copula 函數(shù)C 的生成元.

如果φ(0) ＝∞，此時(shí)，φ[-1]＝φ-1，C(u，v) ＝φ-1(φ(u) ＋φ(v))稱為嚴(yán)格的阿基米德Copula.

3 阿基米德Copula 生成元的性質(zhì)

近年來，阿基米德Copula 被廣泛應(yīng)用于相關(guān)性和相關(guān)結(jié)構(gòu)的研究[2-6]，應(yīng)用于金融領(lǐng)域的各個(gè)領(lǐng)域[7-10].金融資產(chǎn)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，給出多種阿基米德Copula，選擇何種Copula 模型描述相關(guān)結(jié)構(gòu)是金融相關(guān)性建模的關(guān)鍵.由于阿基米德Copula 的性質(zhì)完全取決于其生成元，因此對(duì)生成元的探究尤為重要，本文的目的是研究阿基米德Copula 生成元的構(gòu)造，基于生成元已有的一些性質(zhì)，本文將討論生成元的另外兩個(gè)性質(zhì)，并給出具體證明，為后文研究生成元的構(gòu)造做鋪墊，同時(shí)進(jìn)一步地?cái)U(kuò)大了生成元的范圍.

性質(zhì)3.1 阿基米德Copula 生成元的正的伸縮變換仍是生成元.即

設(shè)φ(s)是阿基米德Copula 的生成元，則λφ(s)也是阿基米德Copula 的生成元，其中λ 為參數(shù)且λ ＞0.

證明: 設(shè)h(s) ＝λφ(s)，因?yàn)棣?s)是阿基米德Copula 生成元，所以φ(s)滿足生成元的所有條件，則

①h(1) ＝λφ(1) ＝0；

②顯然h(s)是連續(xù)的；

③由h'(s) ＝λφ'(s) ＜0，所以h(s)是嚴(yán)格單減的；

④由φ(s)是凸函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)μ∈(0，1)，s1，s2∈[0，1]，有

所以

即h(s)為凸函數(shù).又由φ(s):[0，1]→[0，∞]，得h(s):[0，1]→[0，∞]，所以λφ(s)也是阿基米德Copula 的生成元，其中λ 為參數(shù)且λ ＞0.

性質(zhì)3.2 阿基米德Copula 生成元的正的線性組合仍是生成元.即

設(shè)φi(s)是阿基米德Copula 的生成元，i ＝1，2，…，n，則也是阿基米德Copula 的生成元，其中λi為參數(shù)且λi＞0.

②顯然φi(s)是連續(xù)的；

④由φi(s)是凸函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)μ∈(0，1)，s1，s2∈[0，1]，有φi[μs1＋(1 -μ)s2]≤μφi(s1) ＋(1 -μ)φi(s2)，所以

即φ(s)為凸函數(shù).又由φi(s):[0，1]→[0，∞]，得φ(s):[0，1]→[0，∞]，所以也是阿基米德Copula 的生成元，其中λi為參數(shù)且λi＞0.

4 構(gòu)造阿基米德Copula 生成元

目前構(gòu)造阿基米德Copula 生成元主要是從變換和函數(shù)兩個(gè)角度考慮，同樣地，本文從變換的角度出發(fā)，分別基于拉普拉斯變換和z 變換來構(gòu)造生成元.下面首先討論基于拉普拉斯變換來構(gòu)造阿基米德Copula 生成元.

4.1 基于拉普拉斯變換構(gòu)造阿基米德Copula 生成元

考慮到拉普拉斯變換有單邊和雙邊之分，我們分別從單邊Laplace 變換和雙邊Laplace 變換討論對(duì)阿基米德Copula 生成元的構(gòu)造.下面將討論基于單邊拉普拉斯變換構(gòu)造阿基米德Copula 生成元.

4.1.1 基于單邊拉普拉斯變換構(gòu)造阿基米德Copula 生成元

在給出該構(gòu)造方法之前，先提出已有的構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的方法——Laplace 變換法[11].

引理4.1[11]設(shè)F(θ)是非負(fù)隨機(jī)變量θ 的分布函數(shù)且為連續(xù)函數(shù)，f(θ)是對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)，φ(s) ＝則φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula 的生成元，其中φ(s)表示對(duì)f(θ)的單邊拉普拉斯變換.

從引理4.1 可以看出，Laplace 變換法構(gòu)造阿基米德Copula 生成元中，f(θ)必須是一種特殊的函數(shù)——密度函數(shù)，當(dāng)f(θ)不再只是密度函數(shù)，而是定義在R＋上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)時(shí)，本文有如下結(jié)論:

定理4.1 設(shè)f(θ)是定義在R＋上的非負(fù)函數(shù)(即f(θ)≥0， θ∈R＋)則φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula 的生成元，其中表示對(duì)f(θ)的單邊拉普拉斯變換.

證明: 若驗(yàn)證φ-1(s)為阿基米德Copula 生成元，首先需驗(yàn)證φ-1(s)滿足生成元的幾個(gè)條件，即φ-1(1) ＝0，且是連續(xù)、嚴(yán)格遞減、凸函數(shù).記有

②由φ(s)的表達(dá)式易知φ(s)連續(xù)，則φ-1(s)顯然也是連續(xù)函數(shù)；

由(3)知φ'(s) ＜0，所以φ''(s)≥0 當(dāng)且僅當(dāng)[φ-1(y)]''≥0，即φ 為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)φ-1為凸函數(shù).故只需證φ(s)為凸函數(shù).

則

即φ 為凸函數(shù)，則φ-1也為凸函數(shù).又φ(∞) ＝0，則φ-1(0) ＝∞，則φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula 的生成元.

在除法模式下，給出阿基米德Copula 的生成元的一種構(gòu)造方法.不難發(fā)現(xiàn)，Laplace 變換法[11]是定理4.1 的特殊形式，當(dāng)定理4.1 中的f(θ)是某個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量θ 的密度函數(shù)時(shí)，即可得到引理4.1，從特殊推廣到一般，f(θ)的取值范圍不再局限于密度函數(shù).事實(shí)上，凡是滿足R＋上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，都可由定理4.1 構(gòu)造阿基米德Copula 生成元，進(jìn)一步擴(kuò)大了f(θ)的范圍，從而擴(kuò)大了生成元的范圍.

例4.1.1.1 設(shè)f(θ) ＝λe-θ， θ≥0，其中λ 為參數(shù)且λ ＞0，其拉普拉斯變換為

于是

則

即為一個(gè)阿基米德Copula 生成元.

此時(shí)，由生成元φ-1(s)生成的阿基米德Copula 為文獻(xiàn)[1]把該Copula 記為，在列出的常見22 族阿基米德Copula 中，該Copula 是其中某一族Cθ[11]的一員1]，其中當(dāng)θ ＝1 時(shí)

基于單邊拉普拉斯變換，下面給出阿基米德Copula 生成元的另一構(gòu)造方法.

定理4.2 設(shè)f(θ)是定義在R＋上的非負(fù)函數(shù)(即f(θ) ≥0，θ ∈R＋)s ∈[0，1]，則φ(s)是一個(gè)阿基米德Copula 生成元，其中∫∞0 e-θsf(θ)dθ 表示對(duì)f(θ)的單邊拉普拉斯變換.

證明: 若驗(yàn)證φ(s)為阿基米德Copula 生成元，首先需驗(yàn)證φ(s)滿足生成元的幾個(gè)條件，即φ(1) ＝0，且是連續(xù)、嚴(yán)格遞減、凸函數(shù).記有

②由φ(s)的表達(dá)式可知φ(s)是連續(xù)的；

則

在減法模式下，給出阿基米德Copula 生成元的另一構(gòu)造方法.生成元的形式范圍不再局限于除法模式下的單邊拉普拉斯變換，豐富了阿基米德Copula 生成元的構(gòu)造方法，有利于我們?cè)趯?shí)際生活中選取最為恰當(dāng)?shù)纳稍?

于是

為一個(gè)阿基米德Copula 的生成元.

此時(shí)，φ-1(s) ＝，由生成元φ(s)生成的阿基米德Copula 為C(u，v) ＝，此Copula 為常見的22族阿基米德Copula 函數(shù)中的某一族的一員[11].

4.1.2 基于雙邊拉普拉斯變換構(gòu)造阿基米德Copula 生成元

基于單邊拉普拉斯變換已經(jīng)提出兩種阿基米德Copula 生成元的構(gòu)造方法，同樣地，結(jié)合單邊拉普拉斯變換的思想，基于雙邊拉普拉斯變換，運(yùn)用相關(guān)理論知識(shí)，下面提出阿基米德Copula 生成元的另外兩種構(gòu)造方法.

定理4.3 設(shè)f(θ)是定義在R 上的非負(fù)函數(shù)且為偶函數(shù)[0，∞]，則φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula 的生成元，其中∫∞-∞e-θsf(θ)dθ 表示對(duì)f(θ)的雙邊拉普拉斯變換.

例4.1.2.1 若隨機(jī)變量θ 服從區(qū)間( -1，1)的均勻分布，即分布函數(shù)為

概率密度函數(shù)為

則

(注: 函數(shù)W(x)稱為Lambert 函數(shù)，它是超越方程y ＝xex的解)

定理4.4 設(shè)f(θ)是定義在R 上的非負(fù)函數(shù)且為偶函數(shù)，則φ(s)是一個(gè)阿基米德Copula 生成元，其中表示對(duì)f(θ)的雙邊拉普拉斯變換.

本節(jié)討論了定義在整個(gè)實(shí)數(shù)空間R 上的一類特殊函數(shù)，針對(duì)此類函數(shù)提出了兩種基于雙邊拉普拉斯變換來構(gòu)造生成元的方法，擴(kuò)大了阿基米德Copula 生成元的范圍，有利于實(shí)際中對(duì)阿基米德Copula 生成元的應(yīng)用討論.

4.2 基于z 變換構(gòu)造阿基米德Copula 生成元

目前構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的方法主要基于變換[11]和函數(shù)構(gòu)造[12-14]，從變換的角度考慮，本文提出了一種新的基于z 變換的構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的方法.

定理4.5 設(shè)f(θ)是定義在N 上的非負(fù)函數(shù)(即f(θ)≥0， θ∈N)，則φ(z)是一個(gè)阿基米德Copula 生成元，其中表示對(duì)f(θ)的z 變換.

證明: 若要驗(yàn)證φ(z)為阿基米德Copula 生成元，需驗(yàn)證φ(z)滿足生成元的幾個(gè)條件，即φ(1) ＝0，且是連續(xù)、嚴(yán)格遞減、凸函數(shù).記有

則

該方法從形式上看十分簡便，構(gòu)造生成元不再只局限于拉普拉斯變換，本文采用了一種全新的z 變換，立意新穎，豐富了構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的方法.

于是

為一個(gè)阿基米德Copula 生成元.

在常見的22 族阿基米德Copula 中，該Copula 是其中某一族Cθ[15]的一員(0，∞)，其中當(dāng)θ ＝1 時(shí)，

例4.2.2 若隨機(jī)變量θ 服從參數(shù)為λ(λ ＞0)的泊松分布，即分布函數(shù)為，概率分布列為

其z 變換為

于是

即為一個(gè)阿基米德Copula 生成元.

該Copula 是常見的22 族阿基米德Copula[15]中的某一族.

5 小結(jié)

阿基米德Copula 在統(tǒng)計(jì)決策、數(shù)值模擬中有廣泛的應(yīng)用.本文提出了基于拉普拉斯變換和基于z 變換的兩類構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的新方法，證明了這兩類新的構(gòu)造方法確實(shí)滿足生成元的相關(guān)性質(zhì)，并給出了具體的例子，避免了從嚴(yán)格單減的凸函數(shù)中構(gòu)造阿基米德Copula 函數(shù)的生成元，豐富了構(gòu)造阿基米德Copula 函數(shù)生成元的方法，有利于實(shí)際生活中對(duì)阿基米德Copula 函數(shù)的研究.