與三個數(shù)論函數(shù)有關(guān)的一類復(fù)合方程的可解性*

張明麗,高麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

1 引 理

引理2[5-9]：對于任意的整數(shù)n,設(shè)p是素數(shù)，定義p的原數(shù)函數(shù)為最小的正整數(shù)為m,使得pn|m!,即Sp(n)=min{m:pn|m!}.

引理5[10]：對任意素數(shù)p≥3,Z(p)=p-1.

引理6[10]：對任意素數(shù)p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk-1.當(dāng)p=2時，有Z(2k)=2k+1-1.

2 主要結(jié)論及其證明

定理1：對于任意的正整數(shù)n,混合函數(shù)方程Z(n)=S2(sim(n))無解.

證明：混合函數(shù)方程

Z(n)=S2(sim(n))

(1)

的解主要分以下兩種情形討論：

情形一：當(dāng)n≡0(mod9)時，有S2(sim(n))=S2(9)=min{m:29|m!}=12(由引理1-引理3可得)，即Z(n)=12.

現(xiàn)令n=9l(l=1，2，…),由引理4-引理6知，不存在這樣的n可使得Z(n)=12,故此時(1)式無解.

情形二：當(dāng)n≡r(mod9)時，有S2(sim(n))=S2(r)=min{m:2r|m!}(其中0

當(dāng)r=1,S2(1)=2,即Z(n)=2,此時n=3,代入(1)式驗證不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=2,S2(2)=4,即Z(n)=4,此時n=5，10,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=3,S2(3)=4,即Z(n)=4,此時n=5，10,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=4,S2(4)=6,即Z(n)=6,此時n=7，21,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=5,S2(5)=8,即Z(n)=8,此時n=9，12，18，36,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=6,S2(6)=8,即Z(n)=8,此時n=9，12，18，36,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=7,S2(7)=8,即Z(n)=8,此時n=9，12，18，36,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

當(dāng)r=8,S2(8)=10,即Z(n)=10,此時n=11，55,分別代入(1)式驗證均不符合，故此時(1)式無解.

定理2：對于任意的正整數(shù)n,混合函數(shù)方程Z(n)=S3(sim(n))的解為n=24，60.

證明：混合函數(shù)方程

Z(n)=S3(sim(n))

(2)

的解主要分以下兩種情形討論：

情形一：當(dāng)n≡0(mod9)時，有S3(sim(n))=S3(9)=min{m:39|m!}=21(由引理1-引理3可得)，即Z(n)=21.

現(xiàn)令n=9l(l=1，2，…),由引理4-引理6知，不存在這樣的n可使得Z(n)=21,故此時(2)式無解.

情形二：當(dāng)n≡r(mod9)時，有S3(sim(n))=S3(r)=min{m:3r|m!}(其中0

當(dāng)r=1,S3(1)=3,即Z(n)=3,此時n=2，6,分別代入(2)式驗證均不符合，故此時(2)式無解.

當(dāng)r=2,S3(2)=6,即Z(n)=6,此時n=7，21,分別代入(2)式驗證均不符合，故此時(2)式無解.

當(dāng)r=3,S3(3)=9,即Z(n)=9,此時n=45,sim(45)=9與前提條件矛盾，故此時(2)式無解.

當(dāng)r=4,S3(4)=9,即Z(n)=9,此時n=45,sim(45)=9與前提條件矛盾，故此時(2)式無解.

當(dāng)r=5,S3(5)=12,即Z(n)=12,此時n=13，26，39，78,分別代入(2)式驗證均不符合，故此時(2)式無解.

當(dāng)r=6,S3(6)=15,即Z(n)=15,此時n=24，40，60，120,分別代入(2)式驗證，此時(2)式有解為n=24，60.

當(dāng)r=7,S3(7)=18,即Z(n)=18,此時n=19，57，171,分別代入(2)式驗證均不符合，故此時(2)式無解.

當(dāng)r=8,S3(8)=18,即Z(n)=18,此時n=19，57，171,分別代入(2)式驗證均不符合，故此時(2)式無解.

定理3：對于任意的正整數(shù)n,混合函數(shù)方程Z(n)=S5(sim(n))的解為n=11，120.

證明：混合函數(shù)方程

Z(n)=S5(sim(n))

(3)

的解主要分以下兩種情形討論：

情形一：當(dāng)n≡0(mod9)時，有S5(sim(n))=S5(9)=min{m:59|m!}=40(由引理1-引理3可得)，即Z(n)=40.

現(xiàn)令n=9l(l=1，2，…),由引理4-引理6知，不存在這樣的n可使得Z(n)=40,故此時(3)式無解.

情形二：當(dāng)n≡r(mod9)時，有S5(sim(n))=S5(r)=min{m:5r|m!}(其中0

當(dāng)r=1,S5(1)=5,即Z(n)=5,此時n=15,代入(3)式驗證不符合，故此時(3)式無解.

當(dāng)r=2,S5(2)=10,即Z(n)=10,此時n=11，55,分別代入(3)式驗證，此時(3)式有解n=11.當(dāng)r=3,S5(3)=15,即Z(n)=15,此時n=24，40，60，120,分別代入(3)式驗證，此時(3)式有解n=120.

當(dāng)r=4,S5(4)=20,即Z(n)=20,此時n=42，70，210,分別代入(3)式驗證均不符合，故此時(3)式無解.

當(dāng)r=5,S5(5)=25,即Z(n)=25,此時n=65，325,分別代入(3)式驗證均不符合，故此時(3)式無解.

當(dāng)r=6,S5(6)=25,即Z(n)=25,此時n=65，325,分別代入(3)式驗證均不符合，故此時(3)式無解.

當(dāng)r=7,S5(7)=30,即Z(n)=30,此時n=31，93，155，465,分別代入(3)式驗證均不符合，故此時(3)式無解.

當(dāng)r=8,S5(8)=35,即Z(n)=35,此時n=63，90，315，630,而sim(63)=9、sim(90)=9、sim(315)=9、sim(630)=9,均與前提條件矛盾，故此時(3)式無解.

3 相關(guān)推論

證明：用數(shù)學(xué)歸納法易得.