BCI-代數(shù)的擾動模糊q-理想*

彭家寅

內江師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川內江 641199

1 引言

諸如生物工程、空間技術、材料工程等，人工智能已成為當今前沿和熱點研究領域之一。它是在計算機科學、信息科學、控制理論、心理學、生理學、數(shù)學和語言學等多學科研究的基礎上發(fā)展起來的綜合性學科，其核心思想是讓機器模擬、延伸和擴展人的智能，用人工的方法和技術，以實現(xiàn)一些“機械思維”并賦予模擬人的智力來解決復雜的實際問題，如學習、推理、判斷和決策等。邏輯奠定了人工智能的基礎，確定信息的處理是基于經(jīng)典的二值邏輯，現(xiàn)實世界中大量的不確定信息可以通過非經(jīng)典邏輯來處理。特別地，非經(jīng)典邏輯已成為計算機科學處理模糊信息與不確定信息有力工具。BCK-代數(shù)類是一種重要的模糊邏輯代數(shù)類[1]，它于1966年被Imai和Iseki[2-3]提出之后，得到了許多學者的深入研究[4-6]，其中Iseki和Tanaka引入了BCK-代數(shù)的理想的概念并討論它的性質[4]，Meng[6]引入了BCK-代數(shù)的蘊涵理想的概念，并研究了它與正蘊涵理想、交換理想之間的關系。隨后，Iseki[7]還引入了比BCK-代數(shù)類更廣泛的BCI-代數(shù)，并在20世紀80年代后得到迅速發(fā)展[8-13]。

作為處理模糊信息系統(tǒng)的工具，Zadeh[14]提出了模糊集是研究信息不確定和信息不精確等智能系統(tǒng)的一個擴展集合理論。模糊集一經(jīng)提出，就引起了人們的極大興趣，并迅速在模式識別、聚類分析、群決策等許多領域中得到應用[15-17]。1991年，Xi[18]將模糊集用于BCK-代數(shù)中，此后Meng和Guo[19]引入了BCK/BCI-代數(shù)的模糊理想的概念，Jun和Roh等人[20-21]提出了BCK-代數(shù)的模糊交換理想和模糊正蘊涵理想的概念并研究了它們的性質。Peng[22-23]研究了BCK-代數(shù)的不分明化蘊涵理想和廣義模糊蘊涵理想。Jun和Meng[24-25]討論了BCI-代數(shù)的模糊理想和模糊p-理想。隨著人們對不確定問題的深入認識，一些新型的模糊集理論，如直覺模糊集[26]、區(qū)間值模糊集[27]、猶豫模糊集[28]、Vague集[29]、擾動模糊集[30]等被提出來，豐富和發(fā)展了經(jīng)典模糊集理論。不同于經(jīng)典模糊集，擾動模糊集[30]既能描述人們對事物的屬性的相對穩(wěn)定的共性認識，又能表達不同認識主體對研究對象的認識上不可避免的差異。在擾動模糊邏輯研究中，文獻[31-32]討論了擾動模糊集的重言式性質，接著文獻[33]分析其代數(shù)結構，文獻[34]研究了擾動模糊推理的三I算法。文獻[35-38]率先提出擾動模糊自動機與文法的概念，初步建立了擾動模糊自動機與文法理論。文獻[39-40]將擾動模糊集應用于群與擬BCK代數(shù)中，分別討論了它們對于擾動模糊正規(guī)子群和擾動模糊理想問題。盡管與直覺模糊集和區(qū)間值模糊集都不相同的擾動模糊集[30,41]于2002年就已被提出來了，但其應用遠不如直覺模糊集、雙枝模糊集、區(qū)間值模糊集和Vague集那樣充分，特別是在代數(shù)結構研究中的文獻很少。理想在BCI-代數(shù)研究中扮演著重要的角色，從邏輯觀點看，推理系統(tǒng)中可證公式集合就可以通過濾子這種子結構來描述，而理想剛好是以濾子對偶的一種子結構，基于不確定信息的這種子結構就對應著模糊理想。從代數(shù)看，由理想可以生成結合BCI-代數(shù)的商群，由理想生成的商代數(shù)所對應的對合群及其生成的商群之間有密切的關系，因而它是研究代數(shù)結構的重要工具之一。此外，擾動模糊集較經(jīng)典模糊集更能客觀地反映人腦對事物的認識。基于上述原因，本文將擾動模糊集應用于BCI-代數(shù)中，引入BCI-代數(shù)的擾動模糊q-理想的概念，研究其相關性質。這一工作對利用擾動模糊理想來研究BCI-代數(shù)的性質與結構（如BCI-代數(shù)的商結構）等都是有用的。

2 預備知識

一個(2,0)型代數(shù)(X;*,0)叫作BCI-代數(shù)，如果它滿足對任意x,y,z∈X，有：

（1）((x*y)*(x*z))*(z*y)=0 ；

（2）(x*(x*y))*y=0 ；

（3）x*x=0；

（4）x*y=0且y*x=0蘊涵x=y。

如果BCI-代數(shù)X滿足0*x=0對任意x∈X都成立，則稱此BCI-代數(shù)為BCK-代數(shù)。稱BCI-代數(shù)X是結合的，如果它滿足：

稱BCI-代數(shù)X是擬結合的，如果它滿足：

在BCI-代數(shù)中定義自然序“≤”：x≤y當且僅當x*y=0。這樣(X;≤)便是一個以0為最小元的偏序集，且對任一BCI-代數(shù)X及任意x,y,z∈X，下列結論成立：

（1）(x*y)*z=(x*z)*y；

（2）x*0=x；

（3）(x*z)*(y*z)≤x*y；

（4）0*(x*y)=(0*x)*(0*y)；

（5）x*(x*(x*y))=x*y；

（6）x≤y蘊涵x*z≤y*z且z*y≤z*x。

一個BCI-代數(shù)之間的映射f:X→Y叫作同態(tài)的，如果對任意x,y∈X有：

BCI-代數(shù)X的一個非空子集I叫作X的一個理想，若：

（1）0∈I；

（2）x*y∈I且y∈I蘊涵x∈I。

BCI-代數(shù)X的非空子集I稱為X的一個q-理想，如果它滿足（1）和：

（3）當x*(y*z)∈I且y∈I時，有x*z∈I。

命題1對任意自然數(shù)n，In都為BCI-代數(shù)X的q-理想，且滿足：

即{In}為遞增序列，則也為BCI-代數(shù)X的q-理想。

證明因I1為X的q-理想，所以。其次，設，則存在自然數(shù)m和n，使得x*(y*z)∈Im且y∈In。注意到{In}為遞增序列，因此x*(y*z)∈Im?Im+n，y∈In?Im+n。又Im+n為BCI-代數(shù)X的q-理想，故。綜上所述，也為BCI-代數(shù)X的q-理想。 □

設D2={α=(μ,δ)|μ,δ∈[0,1]}，其中：

μ和δ分別叫作擾動數(shù)主值和擾動值，D2中任何一個元素都稱為[0,1]上的擾動數(shù)[41]。

令α=(μ1,δ1)，β=(μ2,δ2)∈D2，規(guī)定α=β當且僅當μ1=μ2且δ1=δ2。定義如下運算[41]：

顯然，D2是一個完全的、無限分配的。由運算∨和∧誘導的關系≤是D2上的一個偏序關系[41]：

容易證明(D2,∨,∧,≤)具有極大元(1,0)和極小元(0,1)的一個優(yōu)軟代數(shù)，即它為一個對偶的、稠密的完全分配格[40-41]。

定義1[41]設X為經(jīng)典集合，從論域X到D2的映射叫作X上一個擾動模糊集，即：

其中，滿足Aμ(x),Aδ(x)∈ [0,1]且：

并稱普通模糊集合Aμ:X→[0,1]和Aδ:X→[0,1]分別為X的主模糊集和擾動模糊集，Aμ(x)表示人們對對象x的一個總體認識程度，Aδ(x)則表示的是因認識個體的主觀或者客觀的差異，而造成的對對象x認識“干擾”產(chǎn)生的“擾動”程度。記論域X上的所有擾動模糊集的全體為D(X)。對于及t,λ∈[0,1]，記。對X上的任意兩個擾動模糊集A?和B?，定義[41]：

對所有x∈X都成立。規(guī)定[41]對任意x∈X：

定義2[41]設S和V是任意兩個非空集合，A?和B?分別為S和V上的任意擾動模糊集，且f:S→V是任意一個函數(shù)。對于y∈V，令f-1(y)={x∈S|f(x)=y}。定義V上擾動模糊集A?′，對任意y∈V，有：

定義3[42]BCK-代數(shù)X上的一個擾動模糊集叫作X的一個擾動模糊子代數(shù)，如果它滿足x,y∈X，有。

定義4[42]BCK-代數(shù)X上的一個擾動模糊集叫作X的一個擾動模糊理想，如果它滿足x,y∈X，有：

3 BCK-代數(shù)的廣義 (∈,∈∨q)-模糊蘊涵理想

定義5稱BCI-代數(shù)X上的擾動模糊集叫作X的一個擾動模糊q-理想，如果它滿足(F1)和（F3）對任意x,y,z∈X，有。

下面例子說明BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想是存在的。

例1設X={0,a,b}為一個BCI-代數(shù)，其Cayley表如表1。

Table 1 “*”operator table inX表1 X中“*”運算表

定義X上的擾動模糊集?為，且。容易驗證，是X的擾動模糊q-理想。

例2設I為一個BCI-代數(shù)X的一個q-理想，定義X的一個擾動模糊集如下：

因為 0∈I，所以對任意x∈X，有Aμ(0)=0.8≥Aμ(x)且Aδ(0)=0.3≤Aδ(x)，從而：

即（F1）成立。對任意x,y,z∈X，若y?I或x*(y*z)?I，則：

若x*(y*z)∈I且y∈I，因I為q-理想，必有x*z∈I，從而：

定理1設為BCI-代數(shù)X的擾動模糊集，則下列結論成立：

（1）每個擾動模糊q-理想都是擾動模糊理想；

（2）每個擾動模糊q-理想都是擾動模糊子代數(shù)。

證明（1）設?是X的一個擾動模糊q-理想，則對任意x,y∈X，有：

即（F2）成立，故（1）為真。

（2）設是X的一個擾動模糊q-理想，則對任意x,y∈X，有：

由定義3知，是BCI-代數(shù)X的一個擾動模糊子代數(shù)。 □

推論1設為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想，則對任意x,y∈X，當x≤y時，有：

證明由定理1（1）知，為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想。若x≤y，則x*y=0。依（F1）和（F2）有：

下面說明定理1（1）之逆不真。

例3設X={0,a,b,c}為一個BCI-代數(shù)，其Cayley表如表2。

定義X上的擾動模糊集?如下：，。容易驗證，為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想。因c*(0*a)=c*c=0，c*a=b，所以，故?不是 BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想。

Table 2 Operation table of BCI-algebras表2 BCI-代數(shù)運算表

定理2設?是BCI-代數(shù)X的擾動模糊集，則為X的擾動模糊q-理想的充分必要條件是對任意，有為X的q-理想。

證明假設?是X的擾動模糊q-理想且令，則Aμ(x)≥λ1且Aδ(x)≤λ2。由（F1）知，，即Aμ(0)≥Aμ(x)≥λ1，Aδ(0)≤Aδ(x)≤λ2，這意味著。假設且，則Aμ(x*(y*z))≥λ1，Aμ(y)≥λ1，Aδ(y)≤λ2且Aδ(x*(y*z)) ≤λ2。由（F3）知：

即是：

則Aμ(0)＜λ1＜Aμ(x)且Aδ(0)＞λ2＞Aδ(x)。由此可推出，矛盾，故（F1）為真。若（F3）不成立，則存在x,y,z∈X使得。?。?/p>

則Aμ(x*z)＜λ＜Aμ(x*(y*z))∧Aμ(y)且：

例4設為例1中所定義的擾動模糊理想，容易驗證，對任意(λ1,λ2)∈D2，有：

因{0} ，{0,a}和{0,a,b}都是BCI-代數(shù)X的q-理想，所以是BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想。

推論2若為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想，則對每一個元素y0∈X，集合是X的q-理想。

由推論2可得到如下結論：

推論3若A?為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想，則集合是X的q-理想。

下例說明推論3的逆命題不真。

例5設為 BCI-代數(shù)X的擾動模糊集，其定義如下，對任意x∈X，有：

定理3設為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想，則下列條件是等價的：

（1）為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想；

（2）對任意x,y∈X，有；

（3）對任意x,y,z∈X，有。

證明（1）?（2）假設?為X的擾動模糊q-理想，則由（F1）知，對任意x∈X，有。由（F3）知，對任意x,y∈X，有：

（2）?（3）對任意x,y,z∈X，因為：

注意到為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想，因此：

由（2）知：

（3）?（1）由（3）知：

因為X的擾動模糊理想，因此：

結合（F1）知，為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想?！?/p>

定理4對任意t∈T（T為非空指標集），都為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想，則也是X的擾動模糊q-理想。

證明記，則對任意x∈X，由（F1）可知：

令x,y,z∈X，因為擾動模糊q-理想，則：

于是

定理5設為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想，。如果?為X的擾動模糊q-理想，則也為X的擾動模糊q-理想。

證明假設為X的擾動模糊q-理想。為證明為擾動模糊q-理想，由定理3知，只需證明對任意x,y∈X，有。記s=x*(0*y)，則：

依定理3（2）知：

因為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想，注意到且，則：

所以也為X的擾動模糊q-理想。 □

定理6設是BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想，如果對任意x,y∈X，有，則?是BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想。

證明對任意x,y,z∈X，由假設知：

故A?是BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想。 □

定理7設I1?I2?…?In?…是BCI-代數(shù)X的q-理想的嚴格遞增序列，數(shù)列{tn}和{rn}分別為(0,1)上的嚴格單調減少和嚴格單調增加序列。在BCI-代數(shù)X上定義擾動模糊集如下：

其中，N為自然數(shù)集，且I0=?，則A?為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想。

證明記，由命題1知，I為X的一個q-理想。顯然，Aμ(0)=t1≥Aμ(x)和Aδ(0)=r1≤Aμ(x)對任意x∈X都成立，因此任意x∈X，有，即（F1）成立。令x,y,z∈X，考慮如下兩種情形：

情況1如果x*z?I，則x*(y*z)?I或y?I，因此：

情況2若有某個n∈N使得x*z∈In-In-1，則x*(y*z)?In-1或y?In-1，故Aμ(x*(y*z))≤tn且Aδ(x*(y*z))≥rn，或Aμ(y)≤tn并且Aδ(y)≥rn即或，因此：

定理8設X和Y為兩個BCI-代數(shù)，f:X→Y為滿同態(tài)，且?為Y的擾動模糊q-理想，則為X的擾動模糊q-理想。

證明令x∈X，則f(x)∈Y。注意到為Y的擾動模糊q-理想，因此：但，因此對任意x∈X，有)。類似地，對任意x∈X都成立。上述表明滿足（F1）。

對任意x,y,z∈X，因為Y的擾動模糊q-理想，所以：

且

也就是：

并且

引理1設X和Y為兩個BCI-代數(shù)，f:X→Y為同態(tài)且為BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想。如果是 kerf=f-1(0)上的常數(shù)對，則。

證明令x∈X，記f(x)=y，則：

對任意s∈f-1(y)，有f(s)=f(x)。由BCI-代數(shù)的條件（3）知，f(s)*f(x)=0，從而f(s*x)=0，進而s*x∈kerf，因此。因?為 BCI-代數(shù)X的擾動模糊q-理想，由定理1（1）知，為BCI-代數(shù)X的擾動模糊理想，故：

且

類似地，Aμ(x)≥Aμ(s)且Aδ(x)≤Aδ(s)?？傊?。于是：

定理9設X和Y為兩個BCI-代數(shù)，f:X→Y為滿同態(tài)，且?為X的擾動模糊q-理想使得，則為Y的擾動模糊q-理想。

證明因為X的擾動模糊q-理想，并且0∈f-1(0)，所以：

對任意x∈X都成立，故對任意y∈Y，有：

由于f為滿同態(tài)，因此存在x,y,z∈X使得f(x)=x′，f(y)=y′且f(z)=z′，從而：

即：

4 結束語

隨著數(shù)學和計算機科學的發(fā)展，作為非經(jīng)典模糊邏輯代數(shù)類的BCI-代數(shù)類被人們深入而廣泛地研究。本文將擾動模糊集應用于BCI-代數(shù)中，引入了BCI-代數(shù)的擾動模糊q-理想的概念，研究了它的相關性質，證明了任何擾動模糊q-理想都是擾動模糊理想和擾動模糊子代數(shù)，并用實例說明了其逆不真；給出了BCI-代數(shù)的擾動模糊q-理想的幾個刻畫，指出擾動模糊q-理想的交、升鏈的并都是擾動模糊q-理想；給出了擾動模糊q-理想的一個擴展定理，說明BCI-代數(shù)之擾動模糊q-理想的同態(tài)象和同態(tài)原象在一定條件下仍為擾動模糊q-理想。這些結論豐富和發(fā)展了BCI-代數(shù)的理想理論。對于把擾動模糊集用于研究BCI-代數(shù)蘊涵理想、p-理想、a-理想等，將另文討論。