費馬(分割)定理及其推廣

北京市首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校(102208) 牛文政

北京市昌平區(qū)大東流中學(xué)(102211) 王素文

三百多年前費馬(Pierre de Fermat，1601-1665)提出了一個這樣的問題：

費馬(分割) 定理如圖1， 矩形ABCD 的邊長AB :以AB 為直徑在矩形外作半圓，在半圓上任取一點P，連結(jié)PC,PD 分別交AB于E,F，那么AE2+BF2=AB2.

圖1

費馬提出這個問題后，歐拉(Euler，1707－1783)、西姆松首先完成證明.

1.文獻(xiàn)綜述

R·A·Johnson 先生在文[l]中給出了一個漂亮的“福地法”證明，尚強(qiáng)先生在文[2]中給出一個代數(shù)證法，較冗長繁雜.文[3]對文[2]的代數(shù)證法進(jìn)行改進(jìn)，使其較原證法簡潔易懂.文[4]在文[3]的基礎(chǔ)上，給出了更簡捷的代數(shù)證明.

文[5]用代數(shù)配合幾何的方法給出了引申1，并用幾何畫板驗證了引申2：

引申1ABCD 是任意矩形，以AB 為直徑在矩形外作半圓，在半圓上任取一點P，連結(jié)PC,PD 分別交AB 于E、F，那么

引申2如圖2，3，4，矩形ABCD 的邊長AB :AD =2，以AB 為直徑在矩形內(nèi)作半圓，在半圓上任取一點P，連結(jié)PC,PD 分別交AB 于E、F，那么AE2+BF2=AB2.

圖2

圖3

圖4

文[4]的改進(jìn)很有意義，基本上明確了這個問題的代數(shù)結(jié)構(gòu).文[5]的研究是先從幾何方法入手，轉(zhuǎn)向代數(shù)方法，從代數(shù)上給出了為何費馬(分割)定理中矩形邊長之比是不過，文[5]的作者沒有意識到，在引申1 中，對任意的矩形ABCD，若以AB 為直徑在矩形內(nèi)作半圓，引申1 的結(jié)論是可以由文[1]的前文直接證明，其過程字母都不用變，只是圖形的位置有所變化(可參照圖2，3，4)，而用幾何畫板只能進(jìn)行驗證.

文[6]的代數(shù)配合幾何證法，相當(dāng)于文[5]的引申1 的證明.而相對于文[6]來說，文[7]的簡證相對簡單些，卻使人“仍感證明過程不太簡明”[8].文[8-9]的平面幾何證法主要運用相似與比例性質(zhì)證明，相對簡明些，卻失去了費馬分割定理的本質(zhì)，不如文[3-5]中的代數(shù)方法深刻.

文[6]的解析幾何證法，由于沒有注意到圖形的對稱性，所以略顯冗繁.文[8-9]的解析證法基本一致，都是設(shè)點E、F的坐標(biāo)，用三點共線整體代入證明的，這種證明實際上也是脫胎于文[3-5]的代數(shù)方法.

在文[3-9]的對費馬(分割)定理的證明與引申中，有用平面幾何方法的，有用代數(shù)方法解決的，還有兩者結(jié)合的，我們仿佛看到： 這個問題的解決過程，有從傳統(tǒng)的歐氏幾何方向向解析幾何方向過渡的影子.那么，作為解析幾何的創(chuàng)始人之一的費馬，是用什么方法得到這個定理的呢?

和R.笛卡爾同時或較早，費馬已得到解析幾何的要旨.他在《平面與立體軌跡引論》(開始于1629年，1636年前完成;“立體軌跡”指不能用尺規(guī)作出的曲線，與現(xiàn)在的含義不同)一文中明確指出方程可以描述曲線，并通過方程的研究推斷曲線的性質(zhì).因此，他和笛卡爾分享創(chuàng)立解析幾何的榮譽.被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的”費馬雖年近三十才認(rèn)真注意數(shù)學(xué)，但成果累累.他性情淡泊，為人謙遜，對著作無意發(fā)表.去世后，很多論述遺留在舊紙堆里，或書頁的空白處，或在給朋友的書信中.他兒子的S.費馬將這些匯集成書，共兩卷，在圖盧茲出版(1679年).包括最有名的“費馬大定理”及本定理等等在內(nèi)，由于后來找不到費馬的證明，后人才陸續(xù)地補上相關(guān)的證明.[10]由于費馬是解析幾何的創(chuàng)始人之一，因此，我們有理由猜想，費馬是應(yīng)用解析幾何方法來證明這個問題的.

2.費馬(分割)定理的推廣

由于圓可以看成是特殊的橢圓，本文將對此問題進(jìn)行推廣，并采用解析幾何的方法來解決.

問題1如圖5，6，7，8，四邊形ABCD 為矩形，在以AB為橢圓的一個軸(長軸或短軸)的橢圓(或以AB 為直徑的圓)上任取一點P， 直線PC,PD 分別交直線AB 于E,F，如果AE2+BF2= λAB2(λ ＞0).那么矩形ABCD 的邊長AB :AD 為何值?

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

分析以AB 的中點O 坐標(biāo)原點， AB 為x 軸， 建立直角坐標(biāo)系(如圖9)， 為了使問題具有一般性， 設(shè)曲線Γ 的方程為則有A(-m,0)， B(m,0)，顯然， 當(dāng)m = n ＞0 時， 橢圓退化為圓.設(shè)C(m,-km)，D(-m,-km)，其中k ＞0，則有設(shè)F (x1,0)，E(x2,0)，P (x0,y0)，因為點P 在曲線Γ 上，所以(x0+m,y0+km)，(x0-x1)(y0+km) =(y0+km0)， 由對稱性，有所以

如果AE2+ BF2= λAB2= 4λm2， 那么， 對任意的y0∈[-n,n]，都有：

恒成立.

于是，我們得到：

橢圓(或圓)分割定理矩形ABCD 的邊長AB :AD =在以AB 為橢圓的一個軸(長軸或短軸，長為m;另一個軸長為n;當(dāng)m = n ＞0 時，橢圓退化為圓)的橢圓(或圓)上任取一點P， 直線PC,PD 分別交直線AB 于E,F，那么AE2+BF2=AB2.

橢圓(或圓) 分割逆定理四邊形ABCD 為矩形， 在以AB 為橢圓的一個軸(長軸或短軸， 長為m; 另一個軸長為n; 當(dāng)m = n 時， 橢圓退化為圓) 的橢圓(或圓)上任取一點P， 直線PC,PD 分別交直線AB 于E,F，如果AE2+ BF2= AB2， 則有矩形ABCD 的邊長

文[5]的引申2 及文[7]的引申是上述定理的特例.關(guān)于這個兩個定理是否可以推廣到雙曲線與拋物線的情形，這里留給讀者思考.

問題2對于文[5]的引申1，將圓變成橢圓，結(jié)論是否依然成立呢?

分析對于任意矩形ABCD，由問題1 的分析，知

于是，我們得到：

橢圓(或圓) 分割比例定理四邊形ABCD 是任意矩形，在以AB 為橢圓的一個軸(長軸或短軸，長為m;另一個軸長為n; 當(dāng)m = n ＞0 時， 橢圓退化為圓)的橢圓(或圓)上任取一點P，直線PC,PD 分別交直線AB 于E,F，那么

橢圓(或圓) 分割比例理逆定理四邊形ABCD 是矩形，在以AB 為橢圓的一個軸(長軸或短軸，長為m;另一個軸長為n; 當(dāng)m = n ＞0 時， 橢圓退化為圓)的橢圓(或圓)上任取一點P，直線PC,PD 分別交直線AB 于E,F，如果那么

在這里我們溯本回源，運用費馬與R.笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何思想方法，將費馬(分割)推廣并證明，再一次體會了解析幾何的用代數(shù)方法來解決幾何問題的魅力.

我們換一個角度來看這個問題.將橢圓在y 軸方向“拉長”(或“縮短”)到倍得到圓x2+y2= m2，根據(jù)圓中的費馬(分割)定理成立的條件，再按比例在y 軸方向“縮短”(或“拉長”)回去，就得到了橢圓分割定理.研究圖形在變換中有哪些性質(zhì)不變，研究保持性質(zhì)不變的所有那些變換，這是著名數(shù)學(xué)家克萊茵在著名的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”中所闡述的幾何學(xué)最重要的思想.以上利用“伸縮變換”將圓與橢圓相互轉(zhuǎn)化，就是利用“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的數(shù)學(xué)思想解決問題的一個例子.