同心圓錐曲線中兩個(gè)命題的證明

廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

一、同心圓錐曲線

定義如果兩個(gè)圓錐曲線有著公共的焦點(diǎn)F，且與F 相應(yīng)的準(zhǔn)線f 也是公共的，則稱這兩個(gè)圓錐曲線為同心圓錐曲線.

當(dāng)橢圓和拋物線有著公共的焦點(diǎn)F，且與F 相應(yīng)的準(zhǔn)線f 也是公共的，那么這樣的橢圓和拋物線就是同心圓錐曲線.

本文討論的是橢圓和拋物線為同心圓錐曲線的情形.

二、同心圓錐曲線的兩個(gè)命題

命題1如圖1，設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線，F(xiàn) 和f 分別為它們的公共焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的公共準(zhǔn)線，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A 作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為M,N，則FA 平分∠MFN.

命題2如圖2，設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線，F(xiàn) 和f 分別為它們的公共焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的公共準(zhǔn)線，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M 作橢圓的切線，且切線交拋物線于A,B 兩點(diǎn)，則FM 平分∠AFB.

圖1

圖2

三、兩個(gè)命題的解析幾何角度證法

(1)命題1 的證明

下面證明(?)式成立.由于

所以(?)式成立，即FA 平分∠MFN.

(2)命題2 的證明

評(píng)注①要證明FA 平分∠MFN，比較容易想的方法是向量的夾角：

雖然式子的兩邊有對(duì)稱性，但由于存在x0x1,y0y1,+等不好處理的式子，根據(jù)x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2及點(diǎn)A(x0,y0)在拋物線上等已知條件，運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜，很難證明以上等式成立.②從證明過(guò)程可以看出，解析法的運(yùn)算量較大.

四、兩個(gè)命題的平面幾何角度證法

(1)命題1 的探究與證明

對(duì)于命題1，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，其實(shí)并不需要“點(diǎn)A 在拋物線上”這個(gè)條件，也就是說(shuō)可以將命題1 改為更一般性的結(jié)論：

性質(zhì)1設(shè)P 為橢圓外一點(diǎn)，過(guò)P 點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為P1,P2，F(xiàn) 為橢圓的焦點(diǎn)，則PF 平分∠P1FP2.

性質(zhì)1 的證明，要用到圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，先給出三個(gè)引理：

引理1從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到橢圓上，經(jīng)橢圓反射后，反射光線通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為橢圓的切線.

引理2從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到雙曲線上，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為雙曲線的切線.

引理3從拋物線的焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到拋物線上，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的軸，且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為拋物線的切線.

這三個(gè)引理分別描述了橢圓、雙曲線、拋物線的光學(xué)性質(zhì).其證明讀者可參閱文[2].

圖3

性質(zhì) 1 的證明如圖3.設(shè) F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a.分別作F1,F2關(guān)于切線PP1,PP2的對(duì)稱點(diǎn)Q1,Q2，連結(jié)PQ1,PQ2,P1Q1,P2Q2,PF1,PF2,P1F1,P2F2,Q1F2,Q2F1.易知△PQ1P1～= △PF1P1， 即得∠PQ1P1= ∠PF1P1①，Q1P1= F1P1， PQ1= PF1.同時(shí)△PQ2P2～= △PF2P2，PQ2= PF2.由引理1， 可得Q1,P1,F2在同一直線上， 且Q2,P2,F1在同一直線上， 所以Q1F2= Q1P1+ P1F2=P1F1+ P1F2= 2a， 同理Q2F1= 2a.所以△PQ1F2～=△PF1Q2， 可得∠PQ1F2= ∠PF1Q2②.由①， ②， 有∠PF1Q2= ∠PF1P1，即PF1平分∠P1F1P2;同理，即PF2平分∠P1F2P2.所以，回到命題1，即有FA 平分∠MFN.

(2)探究延伸，類比性質(zhì)

我們知道，很多時(shí)侯圓錐曲線間有可類比的性質(zhì)，這體現(xiàn)圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.那么雙曲線，拋物線是不是也具有性質(zhì)1 類似的結(jié)論呢? 經(jīng)進(jìn)一步的探究，發(fā)現(xiàn)在雙曲線，拋物線中有性質(zhì)：

性質(zhì)2設(shè)P 為雙曲線外一點(diǎn)， 過(guò)P 點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1,P2，F(xiàn) 為雙曲線的焦點(diǎn)，若切點(diǎn)P1,P2在雙曲線的同一支時(shí)， 則PF 平分∠P1FP2(如圖4); 若切點(diǎn)P1,P2不在雙曲線的同一支時(shí)，則PF 平分∠P1FP2的外角(如圖5).

圖4

圖5

性質(zhì)3設(shè)P 為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)P 點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為P1,P2，F(xiàn) 為拋物的焦點(diǎn)，則PF平分∠P1FP2.(如圖6)

圖6

對(duì)于性質(zhì)2 與性質(zhì)3，可以用引理2，引理3 并參照性質(zhì)1 的過(guò)程來(lái)證明，具體的證明留給有興趣的讀者.

(3)命題2 的探究與證明

命題2 的證明要用到下面兩個(gè)引理：

引理4若拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線的弦AB 延長(zhǎng)后交準(zhǔn)線l 于K，則FK 平分FA 與FB 夾角的外角.

證明如圖7.分別作AM⊥l,BN⊥l， 垂足為M,N.由AM⊥l,BN⊥l， 易得△AKM ～△BKN， 即有由拋物線的定義， 有AM = AF,BN = BF， 故有由三角形的外角平分線定理的逆定理， 可得FK 平分∠BFG，即FK 平分FA 與FB 夾角的外角.

圖7

圖8

引理5若橢圓的焦點(diǎn)為F，橢圓的弦AB 延長(zhǎng)后交對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l 于K，則FK 平分FA 與FB 夾角的外角.

證明如圖8.分別作AM⊥l,BN⊥l， 垂足為M,N，設(shè)橢圓的離心率為e.由AM⊥l,BN⊥l， 易得△AKM ～△BKN， 即有由橢圓的第二定義， 有即得故有由三角形的外角平分線定理的逆定理，可得FK 平分∠BFG，即FK 平分FA 與FB 夾角的外角.

圖9

命題2 的證明如圖9.在拋物線中，由引理4，可知FK 平分FA 與FB 夾角的外角，即FK 平分∠AFG，所以有∠AFK = ∠KFG，在橢圓中，由引理5， 可知FK 平分FC 與FD夾角的外角， 即FK 平分∠CFH， 所以有∠CFK = ∠KFH， 而∠AFC = ∠CFK - ∠AFK，∠GFH = ∠KFH -∠KFG，故有∠AFC = ∠GFH，又因?yàn)椤螱FH = ∠BFD，所以∠AFC = ∠BFD.于是當(dāng)C,D重合變成切點(diǎn)M 時(shí)(如圖2)，即有∠AFM =∠BFM，所以FM 平分∠AFB.

評(píng)注①命題2 的證明用到了兩個(gè)引理，其實(shí)在雙曲線中，也有類似的性質(zhì)，即

引理6若雙曲線的焦點(diǎn)為F，雙曲線的弦AB (或延長(zhǎng)后)交對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l 于K，如果點(diǎn)A,B 在雙曲線的同一分支上，則FK 平分FA 與FB 夾角的外角;如果點(diǎn)A,B 在雙曲線的不同一分支上，則FK 平分FA 與FB 夾角.

②相比較而言，從平面幾何角度證明的運(yùn)算量要少得多，過(guò)程簡(jiǎn)潔，易于理解.

五、命題證明后的反思

(1)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)包括理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算的方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等等.運(yùn)算是解析幾何題型一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容，其解答過(guò)程中往往伴有較大的運(yùn)算，所以合理選擇運(yùn)算方法最為重要，選對(duì)方法，才可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，縮短解題的長(zhǎng)度，提高解題效率.

(2)解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，其思路直接明了，同時(shí)由于代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜，往往使很多學(xué)生對(duì)解析幾何題望而生畏.實(shí)質(zhì)上解析幾何問(wèn)題本質(zhì)是幾何問(wèn)題，它們本身就包含一些重要的幾何性質(zhì)，例如圓錐曲線的定義及其光學(xué)性質(zhì)本身就是極其重要的幾何性質(zhì).如果我們能挖掘出題目里面蘊(yùn)含的平面幾何元素，充分利用平面幾何知識(shí)，往往可以避開(kāi)繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，使解決問(wèn)題的過(guò)程得到簡(jiǎn)化，解法簡(jiǎn)潔優(yōu)美，更好地揭示這些問(wèn)題的幾何性質(zhì).因此對(duì)于解析幾何問(wèn)題，不應(yīng)一味地運(yùn)用解析法，而應(yīng)該將解析法與平面幾何方法相結(jié)合，用充分的思考引領(lǐng)認(rèn)真的計(jì)算，從而得到解決問(wèn)題的最優(yōu)解法，這不僅是解決解析幾何問(wèn)題，減少運(yùn)算量的法寶，還可以更好地提高解題能力.

(3)圓錐曲線具有很多統(tǒng)一或相似的性質(zhì)，圓錐曲線題目往往能引申出多個(gè)結(jié)論，它的延伸、推廣，可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容，深刻反映了數(shù)學(xué)獨(dú)特的無(wú)窮魅力，值得我們?nèi)ふ?、發(fā)現(xiàn)和欣賞.數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)“一個(gè)有意義的題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的結(jié)論和見(jiàn)解，可以打開(kāi)通向一門(mén)新的學(xué)科，甚至通向一個(gè)科學(xué)新紀(jì)元的門(mén)戶”.因此，在平常學(xué)習(xí)中，我們要有意識(shí)加強(qiáng)對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的推導(dǎo)與證明，對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌l(fā)散研究，探索隱藏在題目背后的奧秘，將研究的問(wèn)題引向深入，挖掘題目的真正內(nèi)涵，能夠找到解決這個(gè)問(wèn)題與解決其它問(wèn)題在思維上的共性.這樣我們才能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景，真正做到觸類旁通，舉一反三，從而達(dá)到做一題會(huì)一類，甚至?xí)黄哪康模罱K讓學(xué)生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化，使思維得到發(fā)展.