面面平行的兩個重要結(jié)論及其應(yīng)用*

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

1.面面平行的兩個結(jié)論

人教A 版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修2 在第2.24 節(jié)(即課本第60 頁)給出了面面平行的性質(zhì)定理.

結(jié)論1如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.

結(jié)論1 告訴我們可以由平面與平面平行得到直線與直線平行.另外，由面面平行還可以得到一個重要的結(jié)論：

結(jié)論2如果兩個平面平行，則其中一個面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.

結(jié)論2 在課本中并沒有以性質(zhì)定理的形式出現(xiàn)，但是在解題中卻經(jīng)常用到.也就是說，由面面平行可以得到上述兩個重要的結(jié)論，這兩個結(jié)論在立體幾何的解題中經(jīng)常涉及到，本文舉例說明.

2.結(jié)論1 的應(yīng)用

結(jié)論1 的作用不僅僅用來證明線線平行，其實更為重要的作用是找出兩相交平面的交線或者找出交線與已知直線的位置關(guān)系(此時不一定要找出具體交線的位置).

例1如圖1 所示， 正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為a，點P 是棱AD 上一點，且過B1， D1， P 的平面交底面ABCD 于PQ，點Q 在直線CD 上，求PQ 的長.

解析由于面ABCD//面A1B1C1D1，面PD1B1∩面A1B1C1D1=D1B1，面PD1B1∩面ABCD =PQ，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，PQ//D1B1.又DB//D1B1，所以，PQ//DB.結(jié)合題意，由于故在AB 上取點M，使得此時PM//DB，故點Q 為PM 與CD的交點.根據(jù)三角形的相似性易求得

圖1

評析過B1，D1，P 的平面交底面ABCD 于PQ，交線PQ 該如何確定呢?由于點P 是棱AD 上一點，且故點P 的位置是確定的，那么如何確定點Q?利用結(jié)論1 找出過B1，D1，P 的平面與面ABCD 的交線PQ.

例2(2015年全國卷II 第19 題) 如圖2， 長方體ABCD -A1B1C1D1中，AB =16，BC =10，AA1= 8， 點E,F 分別在A1B1，D1C1上， A1E = D1F = 4.過點E,F 的平面α 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由).(2)略.

圖2

解析由于面A1B1C1D1// 平面ABCD， 面α∩平面A1B1C1D1= EF，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，有面α 與面ABCD 的交線必與EF 平行，設(shè)為HG.連接EH，F(xiàn)G，則四邊形EFGH 即為所求正方形.

評析題目告知過點E,F 的平面α 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形，那么這些交線如何畫出?利用結(jié)論1 找出交線HG.

例3(2016年全國I 卷第11題) 平面α 過正方體ABCD -A1B1C1D1的頂點A， α// 平面CB1D1， α∩平面ABCD = m，α∩平面ABB1A1= n， 則m,n所成角的正弦值為( )

圖3

解析如圖3 所示，設(shè)面CB1D1∩平面ABCD = m1，面CB1D1∩平面ABB1A1= n1.由于α// 平面CB1D1，平面ABCD ∩α = m， 平面ABCD∩面CB1D1= m1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有m//m1.由于面ABCD// 面A1B1C1D1， 面CB1D1∩平面ABCD = m1， 面CB1D1∩平面A1B1C1D1= B1D1， 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有B1D1//m1.因此有m//B1D1.由于α// 平面CB1D1， 平面ABB1A1∩α = n，平面ABB1A1∩面CB1D1= n1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有n//n1.由于面DCC1D1// 面ABB1A1，面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有CD1/ln1.因此有n//CD1.因此， m,n 所成角的正弦值為B1D1與CD1所成角的正弦值.由于△CB1D1是一個正三角形，故正弦值為

評析題目條件為α//平面CB1D1，α∩平面ABCD =m，但是并未告知平面CB1D1和平面ABCD 的交線是什么; 題目條件為α// 平面CB1D1， α∩平面ABB1A1= n，但是并未告知平面CB1D1和平面ABB1A1的交線是什么.那么如何確定這兩條交線呢?事實上并不一定要把這兩條交線找出來，利用結(jié)論1 進行轉(zhuǎn)化輕松求解，化抽象為具體，實現(xiàn)解題的優(yōu)化.

3.結(jié)論2 的應(yīng)用

結(jié)論2 的作用不僅僅用來證明線面平行，更為重要的作用是解決立體幾何中的一些翻折問題，動態(tài)問題或者作圖問題.

例4如圖4 所示， 在矩形ABCD 中， AB = 2AD， E 為邊AB 的中點.將△ADE 沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE(A1/∈面ABCD).若M,O 分別為線段A1C,DE 的中點.則在△ADE 翻轉(zhuǎn)的過程中，下列說法錯誤的是( )

A.與A1DE 面垂直的直線必與直線BM 垂直

B.異面直線BM 與A1E 所成角是定值.

C.一定存在某一個位置，使DE⊥MO.

D.三棱錐A1-ADE 外接球半徑與棱AD 的長之比為定值.

解析對于A 選項，取CD 的中點F，連接BF，MF.由面面平行的判定定理可知面A1DE//面MFB， 又BM ?面MFB，所以BM//面A1DE.因此與面A1DE 垂直的直線必與直線BM 垂直.

評析利用結(jié)論2 證明出BM// 面A1DE， 從而與面A1DE 垂直的直線必與直線BM 垂直.

圖4

圖5

例5如圖5 所示， 已知點E,F 分別為正方體ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AA1上的點，且點M,N 分別為線段D1E 和線段C1F 上的動點.則與面ABCD 平行的直線MN 有幾條?

解析取連接FH， 則FH//AB.在線段D1E 上取在線段DE 上取連接OH,OK,BK.則易得四邊形OKBH 為矩形.連接HE，在段D1E 上任取一點M，過點M 在面D1HE 中，作MG//HO， 交D1H 于G.再過點G 作GN//HF， 交C1F于N，連接MN.由面面平行的判定定理可知面MNG//面ABCD，又MN ?面MNG，所以MN//面ABCD.由于M 為D1E 上任意一點，故與面ABCD 平行的直線MN 有無數(shù)條.

評析利用結(jié)論2 證明出MN//面ABCD，結(jié)合點M的動態(tài)性，可得與面ABCD 平行的直線MN 有無數(shù)條.

例6如圖6 所示， 在棱長為1的正方體ABCD -A1B1C1D1中，點E,F 分別是棱BC,CC1的中點.P 是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點.若A1P//面AEF，則線段A1P 長度的取值范圍是____.

圖6

解析取B1C1中點M， B1B 中點N.連接A1M,A1N,MN.由面面平行的判定定理可知面A1MN//面AEF.又A1P//面AEF，P 是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，所以點P ∈MN.易求得

評析利用結(jié)論2 可知， 必須找到一個平面包含直線A1P， 且該平面與面AEF 平行， 再結(jié)合點P 是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，從而得到點P 在面A1MN 與面BCC1B1這兩個平面的交線MN 上.

例7如圖7 所示， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E 是棱AB 的中點，F(xiàn) 在CC1上，且CF =2FC1.點P 是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)上一動點，且PB1//面DEF，則tan ∠ABP 的取值范圍是______.

圖7

解析取連接B1M,B1F,MD.易知四邊形MDFB1為平行四邊形，故B1M//DF.取D1C1中點N，作NG//DF，交DD1于G，連接MG,NB1.由面面平行的判定定理可知面MB1NG//面DEF.又PB1//面DEF，P 是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)內(nèi)一點，所以點P ∈MG.易求得

評析利用結(jié)論2 可知， 必須找到一個平面包含直線PB1， 且該平面與面DEF 平行， 再結(jié)合點P 是側(cè)面AA1D1D 內(nèi)一點， 從而得到點P 在面AA1D1D 與面MB1NG 兩個平面的交線MG 上.

例8如圖8 所示， 在三棱柱ABC-A1B1C1中，P,Q 分別為棱AA1,AC 的中點.在面ABC 內(nèi)過點A 作AM//面PQB1交BC 于點M，寫出作圖步驟并證明.

圖8

解析步驟： (1)取BB1中點N，連接AN.(2)連接BQ，取BQ 中點H.(3)連接AH，并延長BC 交于M.

證明由面面平行的判定定理可知面ANH//面PQB1.由于AM ?面ANH，所以AM//面PQB1.

評析利用結(jié)論2 可知， 必須找到一個平面包含直線AM，且該平面與面PQB1平行，再結(jié)合AM 在面ABC 內(nèi)，從而得到AM 在面ANH 與面ABC 兩個平面的交線AH上.又點M 在BC 上，故而延長AH，與BC 交點即為M.本題利用結(jié)論2 作圖，得到符合題意的直線AM，進而確定點M 的位置.

4.結(jié)束語

在長期的教學(xué)實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)對于上述面面平行的兩個結(jié)論的認(rèn)識，不少學(xué)生和教師僅僅停留在簡單的利用結(jié)論1 來證明線線平行，利用結(jié)論2 來證明線面平行，遇到較為復(fù)雜或較難的題目就不懂得利用上述兩個結(jié)論處理.這不能不說是對面面平行學(xué)習(xí)的一種缺失和遺憾.從本文論述不難發(fā)現(xiàn)，利用兩個結(jié)論來處理立體中的交線問題，翻折問題，動態(tài)問題，作圖問題等，可以化繁為簡，化抽象為具體，實現(xiàn)解題能力的提升.因此在立體幾何的教學(xué)中教師一定注重對概念，公理，判定定理，性質(zhì)定理的深層次講解，而不是停留在表面的膚淺的簡單認(rèn)識上，并且在此基礎(chǔ)上通過典型題目進行鞏固和綜合應(yīng)用，唯有如此才能提升學(xué)生運用綜合法求解立體幾何試題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力，提高復(fù)習(xí)效益.