線性代數(shù)課程內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性研究與實踐

孟小燕 　朱鐵鋒

[摘 要]線性代數(shù)是一門重要的工具性課程，其高度抽象性，大量的概念、性質(zhì)、定理，繁雜的運(yùn)算給學(xué)生學(xué)習(xí)增加了難度.從課程特點出發(fā)，著眼于課程的整體結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識關(guān)聯(lián)，由此增加教與學(xué)的連貫性、系統(tǒng)性，是提高學(xué)生理解能力和拓展學(xué)生思維的有效途徑;在夯實基礎(chǔ)的前提下，注重實際問題研究，借助數(shù)學(xué)軟件、數(shù)學(xué)實驗化解計算問題，使抽象概念直觀化，均可有效提高線性代數(shù)課程的教學(xué)質(zhì)量和效率.

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù);關(guān)聯(lián)性;整體性;知識結(jié)構(gòu);教學(xué)方法

[中圖分類號] G642.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）07-0118-03

線性代數(shù)幾乎是所有高校理工科及經(jīng)管專業(yè)都會開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程.如果說微積分采用“由曲化直”的思想將非線性的問題轉(zhuǎn)化為線性問題，如變速直線運(yùn)動的路程、弧長、曲邊梯形的面積、曲頂柱體的體積等，線性代數(shù)則是研究線性問題的重要工具，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中，特別是在圖形編程與機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的應(yīng)用無處不在，對學(xué)生后續(xù)的專業(yè)學(xué)習(xí)具有重要的基礎(chǔ)性意義.從初等數(shù)學(xué)到線性代數(shù)的思維跨度要比高等數(shù)學(xué)、概率與數(shù)理統(tǒng)計大得多.初入大學(xué)校門，很多學(xué)生不難理解并接受函數(shù)、數(shù)列、極限、導(dǎo)數(shù)等概念，但卻對線性代數(shù)的各種符號、運(yùn)算望而生畏.線性代數(shù)具有高度的抽象性與邏輯性，根據(jù)課程的特點，找到知識內(nèi)容的邏輯脈絡(luò)，疏通概念間的關(guān)聯(lián)，將零散的知識點進(jìn)行整合，并加以分析、總結(jié)歸納是促進(jìn)學(xué)生對課程的理解，培養(yǎng)他們良好的邏輯思維能力、分析解決問題能力的重要途徑.

一、線性代數(shù)課程部分知識內(nèi)容建構(gòu)

線性代數(shù)的特點之一是概念多、性質(zhì)定理多、運(yùn)算規(guī)律多、運(yùn)算量大，各章內(nèi)容看似相互獨立，實則前后知識銜接緊密.以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)》第六版為藍(lán)本，其主要內(nèi)容包括六部分即行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變化，其所使用的研究工具則是矩陣和行列式，這些看似不相關(guān)的內(nèi)容在其表現(xiàn)形式上存在著一一對應(yīng)的關(guān)系[1]：如線性方程組與矩陣，矩陣與向量組，矩陣的秩、初等變換與向量組的秩、線性方程組解的結(jié)構(gòu)，行列式與n元一次線性方程組、方陣、可逆矩陣、特征多項式等.在教學(xué)中，教師可以將其中一項內(nèi)容作為課程內(nèi)容的出發(fā)點，建構(gòu)與其他各分支的關(guān)聯(lián)，逐層遞進(jìn)，從而形成系統(tǒng)的知識體系，化解抽象概念多的難題.

（一）以線性方程組為出發(fā)點，建構(gòu)線性方程組—矩陣間的知識脈絡(luò)

由于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具備了方程組的知識，二元、三元一次線性方程組的解法學(xué)生非常熟悉.因此，將線性方程組的高斯消元法引入課程較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.將線性方程組中未知數(shù)的系數(shù)、常數(shù)項按原有的位置順序保持不變，排成一個數(shù)表，進(jìn)而順其自然地引入矩陣的概念.通過線性方程組消元法的復(fù)習(xí)回顧，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解方程組的過程事實上就是同解變形的過程，而這一過程參與運(yùn)算的只有未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項，對應(yīng)矩陣的三種行變換即對換變換（[ri?rj]）、倍乘變換（[ri×k，k≠0]）、倍加變換（[rj+kri]），也就是矩陣的初等行變換，與初等列變換一起統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.通過矩陣的初等變換可以將矩陣化為行階梯形矩陣，進(jìn)而化為行最簡形矩陣，由此解決求逆矩陣、求矩陣的秩等問題.從矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律出發(fā)，又可以將[n]元線性方程組簡寫成[Ax=b]的形式，其中[A]是方程組的系數(shù)矩陣，[x]，[b]分別是未知數(shù)、常數(shù)項所組成的列矩陣，從而利用矩陣初等變換求[A-1]的方法關(guān)聯(lián)解線性方程組;同時可以利用矩陣初等變換求秩的方法與線性方程組[Ax=b]解的結(jié)構(gòu)建立關(guān)聯(lián).如圖1所示.

（二）以行列式為起點，建構(gòu)行列式—線性方程組、矩陣間的知識脈絡(luò)

行列式和矩陣都是線性代數(shù)中的重要工具.如果說利用矩陣的初等變換可以解決廣義的[n]元線性方程組求解問題，那么當(dāng)遇到方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同的情形時，還可以利用行列式來解線性方程組，即用克拉默法則求解.從二階、三階行列式引入高階行列式的定義，進(jìn)而探討行列式的性質(zhì)、展開法則、運(yùn)算技巧等.行列式的計算并不是課程的主要內(nèi)容，但作為后續(xù)方陣相關(guān)運(yùn)算的鋪墊或是[Cramer]法則求解的先導(dǎo)知識，還是需要作為一塊獨立的內(nèi)容加以說明.從本質(zhì)上講行列式是一個數(shù)，矩陣是一個數(shù)表，二者本沒有什么關(guān)聯(lián)，當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同時，如果引入[n]階方陣的概念，矩陣和行列式之間就會建立關(guān)聯(lián).研究方陣的行列式，利用行列式判斷矩陣是否可逆;矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積[AB=AB];利用伴隨矩陣[A*]求逆矩陣，伴隨矩陣[A*]又是由[A]的各個元素的代數(shù)余子式[Aij]構(gòu)成的;求矩陣的特征多項式[A-λE]、求特征根;相似矩陣的行列式值相等;正交矩陣其行列式的值為[±1]等，可以通過梳理各部分知識的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生建立清晰的邏輯結(jié)構(gòu).如圖2所示.

（三）以向量組為起點，構(gòu)建向量組—矩陣—線性方程組的知識脈絡(luò)

《向量組的線性相關(guān)性》一章涉及的概念非常多，學(xué)生接受起來尤其困難.“線性組合”“線性表示”“向量組等價”“線性相關(guān)”“線性無關(guān)”等概念“如濃濃迷霧滾滾而來”[2]，學(xué)生深陷其中，茫然不知所云.事實上，向量組、矩陣、線性方程組之間存在著緊密的聯(lián)系，只要注重內(nèi)容的整體性，深入淺出地闡明它們之間的關(guān)系，便可以有效突破學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點與難點.

首先是向量組與矩陣間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，其實質(zhì)上就是矩陣按行或按列分塊的問題.從分塊矩陣的角度按列劃分，一個[n]行[m]列矩陣[A]可以看成是含[m]個[n]維列向量的向量組[A：a1，a2，…，am]，反之含有有限個向量的向量組總可以構(gòu)成一個矩陣.明確這一對應(yīng)關(guān)系，對于進(jìn)一步探討向量組的線性關(guān)系起到重要的鋪墊作用.

綜上可得，線性方程組[Ax=b]解的結(jié)構(gòu)以及與秩的關(guān)系是研究向量組線性相關(guān)性的重要基礎(chǔ).線性組合、線性表示可以轉(zhuǎn)化為線性方程組[Ax=b]是否有解的問題;向量組等價可以轉(zhuǎn)換為矩陣方程[Ax=B]是否有解的問題;線性相關(guān)、線性無關(guān)可以轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組[Ax=0]有非零解、有唯一零解的問題;向量組的線性相關(guān)性從向量的角度重新刻畫了線性方程組的解，并給出其通解的結(jié)構(gòu)，與矩陣的秩三大重要的知識模塊相互銜接，彼此滲透，形成一個有機(jī)整體，無法割裂開來單獨研究.如圖3所示.

二、理清知識脈絡(luò)，把握整體內(nèi)容格局

縱觀各章，可以發(fā)現(xiàn)線性方程組及其相關(guān)內(nèi)容是線性代數(shù)課程的教學(xué)主線.《行列式》一章中克萊姆法則解決的是方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)且系數(shù)行列式不為零的線性方程組的解;矩陣及其運(yùn)算中，矩陣乘法為線性方程組提供了一種簡潔的表示方法;矩陣的初等變換除給出了廣義的線性方程組的求解方法外，同時總結(jié)出矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)聯(lián);向量組的線性相關(guān)性從向量的視角探討了線性方程組解的結(jié)構(gòu);相似矩陣及二次型、線性變換是承接基本概念與典型應(yīng)用的重要知識點，與前面諸多內(nèi)容都存在內(nèi)在聯(lián)系.

在教學(xué)中，教師應(yīng)采用啟發(fā)式與參與式教學(xué)方法，從宏觀上把握教學(xué)主線，從微觀上引導(dǎo)學(xué)生梳理各章節(jié)的知識脈絡(luò)，深入淺出地揭示不同概念、原理間的聯(lián)系，從而使學(xué)生在頭腦中逐步建立清晰的知識結(jié)構(gòu)，思維得到拓展，分析處理問題的能力有所提升，有效完成知識、問題間的相互轉(zhuǎn)化，化難為易，增強(qiáng)學(xué)習(xí)成就感.

三、夯實基礎(chǔ)，優(yōu)化教學(xué)方法

學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑除來源于線性代數(shù)課程中大量的概念、性質(zhì)、定理、推論以及令他們無法想象的抽象符號外，還來源于他們現(xiàn)有的認(rèn)識水平很難找到將線性代數(shù)用于解決實際問題的情境.在授課中，結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)，引入實例，闡明背景，讓學(xué)生認(rèn)識到課程的有用性，幫助學(xué)生建立正向的學(xué)習(xí)動機(jī)，也是課程教學(xué)體系的重要組成部分，而不僅僅是理論、方法的灌輸.線性代數(shù)課程中煩瑣的運(yùn)算也是令學(xué)生望而生畏的原因之一，會影響課堂效率.借助數(shù)學(xué)軟件，既可以解決復(fù)雜的計算問題，更能給學(xué)生帶來更加直觀的學(xué)習(xí)體驗。在課程教學(xué)中融入計算機(jī)技術(shù)、數(shù)學(xué)實驗也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

四、結(jié)語

線性代數(shù)是一門重要的基礎(chǔ)課程，其抽象性決定了其學(xué)習(xí)的難度，其廣泛的應(yīng)用性又同時要求學(xué)生必須掌握相關(guān)知識，做到學(xué)以致用.對課程內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性的研究是解決其抽象性的有效路徑，同時在夯實基礎(chǔ)，明晰課程知識結(jié)構(gòu)的前提下，結(jié)合課程內(nèi)容，注重實例研究，借助數(shù)學(xué)實驗突破學(xué)習(xí)難題，切實做到教與學(xué)有的放矢，這些教學(xué)方法都為線性代數(shù)教學(xué)實踐帶來巨大推動力，有助于更好地提高課程教學(xué)質(zhì)量和效率.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 金英善，賈睿.線性代數(shù)教學(xué)方法改革實踐探索[J].遼寧科技大學(xué)學(xué)報，2013（5）：541-544.

[2] 朱琳，蔣啟芬.國外線性代數(shù)的教學(xué)研究述評[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018（1）：79-84.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014：81-107.

[4] 江蓉，王守中.矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法的探討[J].西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（8）：175-180.

[責(zé)任編輯：龐丹丹]