中學(xué)數(shù)學(xué)建模的問題及其解決

趙思林 崔靜靜

摘 ? 要?“數(shù)學(xué)建?！笔歉咧袛?shù)學(xué)課程六個(gè)核心素養(yǎng)之一。中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利有弊，針對(duì)數(shù)學(xué)建模之弊，有如下教學(xué)策略：不宜拔高數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)要求，不能沖淡對(duì)數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)，不應(yīng)加重大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，不要挫傷大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，對(duì)數(shù)學(xué)建模應(yīng)有敬畏之心。

關(guān)鍵詞?數(shù)學(xué)建模 ?數(shù)學(xué)模型 ?利弊分析 ?教學(xué)建議

數(shù)學(xué)應(yīng)用具有廣泛性，數(shù)學(xué)家華羅庚在著名文章《大哉數(shù)學(xué)之為用》中說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！盵1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）把“數(shù)學(xué)建?！弊鳛榱鶄€(gè)核心素養(yǎng)之一，其根本意圖在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)[2]。“數(shù)學(xué)建?！睂?duì)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力無疑是重要的、有效的。

一、數(shù)學(xué)建模的意義

《新課標(biāo)》指出，“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”[2]。數(shù)學(xué)建模的含義有廣義和狹義之分。“廣義的數(shù)學(xué)建模是指把凡是針對(duì)客觀對(duì)象加以一級(jí)或多級(jí)抽象所得到的形式結(jié)構(gòu)都視為客觀對(duì)象的模型;狹義的數(shù)學(xué)建模是指針對(duì)特定現(xiàn)實(shí)問題或具體事物對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型。在中小學(xué)階段數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型一般指后者”[3]。數(shù)學(xué)建模的過程主要包括問題分析、假設(shè)化簡(jiǎn)、建模求解、驗(yàn)證修改等環(huán)節(jié)[4]?！八^數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目標(biāo)，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”[3]。

數(shù)學(xué)建模的基本任務(wù)是建立數(shù)學(xué)模型（如方程模型、函數(shù)模型、幾何模型等），然后用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法求解數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的目的。數(shù)學(xué)建模的過程可以粗糙地歸結(jié)為“實(shí)際問題→建立數(shù)學(xué)模型→求解數(shù)學(xué)模型→解決實(shí)際問題”。通過數(shù)學(xué)建模得到的數(shù)學(xué)模型可能是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，也可能是新的數(shù)學(xué)模型。新的數(shù)學(xué)模型的解決辦法可能用已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)即可解決，也可能發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）新的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題。這說明，數(shù)學(xué)建模對(duì)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力是有益的，有時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）新的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法。所以，數(shù)學(xué)建模對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)是有益的。

數(shù)學(xué)研究的核心對(duì)象是各種模型的結(jié)構(gòu)、特征和關(guān)系。吳增生認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型指的是經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象的具有數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)的直觀對(duì)象，具有可觀察、可描述、可操縱（分拆、組合和變換）等特征，本質(zhì)上，模型是一個(gè)集合，它是人們對(duì)客觀對(duì)象的結(jié)構(gòu)、特征及其關(guān)系進(jìn)行抽象、分拆、重組和邏輯思辨的對(duì)象和產(chǎn)物[5]。數(shù)學(xué)模型很多，如公式模型，定義（概念）模型，數(shù)學(xué)思想方法模型，數(shù)學(xué)思維方法模型（如抽象法、概括法、歸納法、類比法、反例法等），邏輯推理模型，解題程序模型等。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從本質(zhì)上講就是對(duì)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的問題分析

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的結(jié)晶，也是產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體。學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除增長(zhǎng)智慧、鍛煉思維、提高心智之外，還應(yīng)充分發(fā)揮它的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)建模的價(jià)值包括：數(shù)學(xué)教育價(jià)值[6]，科學(xué)的價(jià)值[7]，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)[8]。數(shù)學(xué)建模的好處是很多的，但中學(xué)數(shù)學(xué)建模也存在一些問題。

1.數(shù)學(xué)建模會(huì)拔高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求

長(zhǎng)江學(xué)者、國(guó)家杰青獲得者、四川大學(xué)羅懋康教授長(zhǎng)期做應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，并取得豐碩成果。羅教授認(rèn)為，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（純粹數(shù)學(xué)）只需滿足“邏輯自洽”，應(yīng)用數(shù)學(xué)既要滿足“邏輯自洽”，還必須“符合實(shí)際”[9]。他對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)必須“符合實(shí)際”有切實(shí)的體會(huì)，他舉例說：“在工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)、軍事科技等領(lǐng)域，僅僅要求知識(shí)能自圓其說是不夠的，必須還要符合實(shí)際，否則要出問題，甚至是致命的后果?！备銘?yīng)用數(shù)學(xué)的人，不僅要具有良好的數(shù)學(xué)思維，還要具有“思維的靈活性、容錯(cuò)性和廣泛性”[9]。在中學(xué)階段，學(xué)生主要學(xué)習(xí)純粹數(shù)學(xué)，主要關(guān)心數(shù)學(xué)知識(shí)的“邏輯自洽”，但教學(xué)現(xiàn)實(shí)是很多學(xué)生的邏輯思維比較差。數(shù)學(xué)建模還要求學(xué)生具有“思維的靈活性、容錯(cuò)性和廣泛性”，這會(huì)大大拔高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求。

2.數(shù)學(xué)建模會(huì)沖淡中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)建模的問題往往還會(huì)涉及其他學(xué)科知識(shí)、陌生專業(yè)領(lǐng)域以及生產(chǎn)生活經(jīng)驗(yàn)。也就是說，對(duì)于缺乏其他學(xué)科知識(shí)、不熟悉陌生專業(yè)領(lǐng)域以及缺乏生產(chǎn)生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，哪怕數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良好的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)建模也會(huì)是富有挑戰(zhàn)性的。如1999年的“軋鋼”應(yīng)用問題，考生由于缺乏“軋鋼”的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，既讀不懂題又看不懂圖，致使絕大多數(shù)考生得分極低，并且影響考生解答其他試題的心理，受到社會(huì)廣泛批評(píng)。中學(xué)教學(xué)為應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模，學(xué)生必須花不少時(shí)間去學(xué)習(xí)其他學(xué)科知識(shí)，去了解陌生專業(yè)領(lǐng)域，去積累生產(chǎn)生活和數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，這必然會(huì)沖淡對(duì)數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)。

3.數(shù)學(xué)建模會(huì)加重中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)

數(shù)學(xué)建模的過程一般需要學(xué)生整合多門課程的知識(shí)，需要查閱文獻(xiàn)資料，需要圍繞問題收集信息，需要咨詢專家行家等等，這些雖然對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)大有好處，但必然會(huì)耗費(fèi)學(xué)生大量的學(xué)習(xí)時(shí)間。真正的數(shù)學(xué)建模問題一般具有情境的新穎性、背景的陌生性、理解的困難性、建模的艱巨性、結(jié)論的開放性等特點(diǎn)，它們比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)具有更高難度，在很多中學(xué)生特別是高中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)都過不了關(guān)的情況下，數(shù)學(xué)建模會(huì)拔高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求，也會(huì)加重大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

4.數(shù)學(xué)建模會(huì)挫傷大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)信心

張淑梅等的調(diào)查表明，六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模平均得分遠(yuǎn)低于其他五個(gè)核心素養(yǎng)的平均得分，數(shù)學(xué)建模對(duì)全體學(xué)生都具有挑戰(zhàn)性，絕大部分學(xué)生的建模能力都是比較低的[10]。數(shù)學(xué)建模較高的教學(xué)要求可能會(huì)給絕大部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心造成負(fù)面影響，必然會(huì)加重這些學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，可能會(huì)遭到這些學(xué)生內(nèi)心深處本能的抵制和反對(duì)。有研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)較難的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題男女生差異顯著[11]。這說明，較難的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題對(duì)女生不利，這當(dāng)然會(huì)影響女生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的信心。

5.中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)現(xiàn)實(shí)不容樂觀

“數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的軟肋，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不重視，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不喜歡，教材專家認(rèn)為很重要，教研專家認(rèn)為有必要，第一線教師認(rèn)為教學(xué)中沒有用”[7]。李明振和喻平發(fā)現(xiàn)，不少高中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)建模能力較為欠缺[12]。姜鳳英等發(fā)現(xiàn)，在崗初中數(shù)學(xué)教師和高校畢業(yè)生的數(shù)學(xué)建模能力都比較弱，并且在崗教師的數(shù)學(xué)建模能力更弱[13]。這些調(diào)查說明，教師難以勝任數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與指導(dǎo)工作。這就不難理解近年來雖然數(shù)學(xué)建模的調(diào)子唱得很高，但成效卻很低。徐斌艷等發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜或較為陌生情境下幾乎沒有學(xué)生能夠識(shí)別并建立數(shù)學(xué)模型[14]。朱婭梅的測(cè)試和統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)看似不難的問題（汽車加油問題），只有1%的學(xué)生能夠正確理解題意[15]。從這個(gè)含有實(shí)際背景的問題測(cè)試結(jié)果來看，學(xué)生能夠正確理解題意是很不容易的。

三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)問題的解決

1.不宜拔高中學(xué)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)要求

對(duì)全體學(xué)生而言，了解一點(diǎn)數(shù)學(xué)建模是必要的、有益的，但應(yīng)控制教學(xué)的容量和難度。搞應(yīng)用數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)是具有良好的數(shù)學(xué)思維和堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)體現(xiàn)在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的“邏輯自洽”。但很多學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力并不強(qiáng)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也不扎實(shí);加之，搞應(yīng)用數(shù)學(xué)的人還應(yīng)具有“思維的靈活性、容錯(cuò)性和廣泛性”[9]，這無疑會(huì)拔高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求。在中學(xué)拔高數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)要求是不切實(shí)際的，對(duì)于基礎(chǔ)差的學(xué)生，只需膚淺地了解數(shù)學(xué)建模過程，不宜作具體要求。讓一些（極少數(shù)）基礎(chǔ)好的學(xué)生，參與1（或2）次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，經(jīng)歷1次數(shù)學(xué)建模全過程，培養(yǎng)這些學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和綜合實(shí)踐能力。

2.數(shù)學(xué)建模不能沖淡對(duì)數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)理論知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)。數(shù)學(xué)建?？梢暈闄z驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)后的實(shí)際應(yīng)用能力的一種有效方式，因此，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)只是數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的一部分。扎實(shí)的數(shù)學(xué)“四基”是數(shù)學(xué)建模的必要條件，但數(shù)學(xué)建模涉及的問題一般不是純粹的數(shù)學(xué)問題，往往還會(huì)涉及到其他學(xué)科知識(shí)、陌生專業(yè)領(lǐng)域以及生產(chǎn)生活經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)生數(shù)學(xué)理論知識(shí)不夠系統(tǒng)、不夠扎實(shí)的情況下，如果花大量精力去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模所需要的知識(shí)、方法，在此基礎(chǔ)上去解決數(shù)學(xué)建模問題，那就會(huì)分散系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的時(shí)間和精力，可能會(huì)沖淡對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。對(duì)此，應(yīng)把數(shù)學(xué)知識(shí)本身的系統(tǒng)學(xué)習(xí)放在教學(xué)的首要位置，這可增加數(shù)學(xué)建模的有效性，并減少“為數(shù)學(xué)建模而數(shù)學(xué)建?！钡拿?dòng)性和低效性。

3.數(shù)學(xué)建模不應(yīng)加重大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)

數(shù)學(xué)建模的過程一般需要學(xué)生整合多門課程的知識(shí)，需要查閱文獻(xiàn)資料，需要圍繞問題收集信息，需要咨詢專家行家等，這些對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)雖然大有好處，但必然會(huì)耗費(fèi)學(xué)生大量的學(xué)習(xí)時(shí)間。因此，數(shù)學(xué)建模會(huì)加重大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。所有中學(xué)生可簡(jiǎn)單地分為三類：第一類是大多數(shù)中學(xué)生將來學(xué)習(xí)和工作都不會(huì)（或不愿意）與數(shù)學(xué)建模打交道，他們對(duì)數(shù)學(xué)建模的過程（環(huán)節(jié)）只需了解即可，這些同學(xué)甚至可以不參與數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動(dòng)，讓他們多去干一些其它更感興趣事情;第二類是一些將來學(xué)習(xí)和工作都需要數(shù)學(xué)建模知識(shí)的學(xué)生，可以作適當(dāng)?shù)囊?，如參與1次完整的數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動(dòng);第三類是極少數(shù)將來以數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用數(shù)學(xué)）為職業(yè)的學(xué)生，對(duì)他們的要求應(yīng)該最高，教師可以指導(dǎo)他們以自學(xué)為主，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。這樣的數(shù)學(xué)建模教學(xué)才真正體現(xiàn)了因材施教、分層教學(xué)、分類指導(dǎo)，這就可以把大多數(shù)中學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)降下來。更為積極的做法是，以《數(shù)學(xué)建?！窞閷ｎ}，開設(shè)成選修課。

4.數(shù)學(xué)建模不要挫傷大多數(shù)中學(xué)生的學(xué)習(xí)信心

數(shù)學(xué)既可以給數(shù)學(xué)家?guī)砜鞓?，也可以給更多的人帶來學(xué)習(xí)上的痛苦。70%以上的網(wǎng)友（新浪網(wǎng)）希望數(shù)學(xué)“滾出高考”[16]。中國(guó)的中學(xué)生特別是高中學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力（負(fù)擔(dān)）可能是世界上最重的，數(shù)學(xué)教學(xué)改革應(yīng)該考慮如何減負(fù)而不是相反。數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)信心的建立源于數(shù)學(xué)建模的成功體驗(yàn)，數(shù)學(xué)建模題或應(yīng)用題的難度太大是影響數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)信心的關(guān)鍵性因素。提高數(shù)學(xué)建模成功體驗(yàn)的策略有：降低教材難度，對(duì)教材中過于繁難且思維價(jià)值不高的數(shù)學(xué)建模題或應(yīng)用題應(yīng)刪去;控制高考、中考的難度，高考、中考的數(shù)學(xué)建模題（應(yīng)用題）的難度系數(shù)宜控制在0.7左右;減少教材中關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)量，不少一線教師埋怨教材中數(shù)學(xué)應(yīng)用題太多;數(shù)學(xué)建模題不宜涉及太多其他學(xué)科背景。

5.對(duì)數(shù)學(xué)建模應(yīng)有敬畏之心

對(duì)中學(xué)的“數(shù)學(xué)建?！焙汀皯?yīng)用數(shù)學(xué)”應(yīng)有敬畏之心。學(xué)生將來真正以“數(shù)學(xué)建?！睘槁殬I(yè)的會(huì)很少，可能占總?cè)丝诘谋壤坏?‰。從羅懋康的報(bào)告和張淑梅等的調(diào)查易知，研究應(yīng)用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)建模都是很不容易的。由此教材編寫專家、一線教師、考試命題專家對(duì)數(shù)學(xué)建模都應(yīng)有敬畏之心。對(duì)于數(shù)學(xué)建模題（應(yīng)用題），教材專家編寫簡(jiǎn)單一點(diǎn)，一線教師講課簡(jiǎn)單一點(diǎn)，考試命題專家命題簡(jiǎn)單一點(diǎn)。學(xué)生就可能學(xué)得輕松一點(diǎn)，考得好一點(diǎn)，就可能對(duì)“數(shù)學(xué)建?！倍嘁环菥磁c愛。

參考文獻(xiàn)

[1] 華羅庚.科普著作選集[M].上海：上海教育出版社，1984.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017。

[3] 但琦，朱德全，宋寶和.中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的影響因素及其培養(yǎng)策略[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2007（04）.

[4] 史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2011（07）.

[5] 吳增生.數(shù)學(xué)模型理解與建構(gòu)的心理機(jī)制及其教育啟示[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：高中版（沈陽(yáng)），2009（03）.

[6] 張景斌，王尚志.中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)為中學(xué)生創(chuàng)造發(fā)展空間[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，10（1）.

[7] 劉來福.數(shù)學(xué)建?！獢?shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)化的橋梁[J].學(xué)科教育，1995（12）.

[8] 余繼光.從數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).數(shù)學(xué)通訊（下）（武漢），2017（01）.

[9]羅懋康.數(shù)學(xué)應(yīng)該是什么？[EB/OL].[2018-06-03].https：//www.toutiao.com/a6562722530228961805/？tt_from=mobile_qq&utm_cam-paign=client_share&timestamp=1534201643&app=news_article&utm_source=mobile_qq&iid=40751489550&utm_medium=toutiao_ios&gro-up_id=6562722530228961805.

[10] 張淑梅，何雅涵，保繼光.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)計(jì)分析[J].課程·教材·教法，2017，37（10）.

[11] 但琦.高一學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的調(diào)查與分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（01）.

[12] 李明振，喻平.高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的背景、問題與策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，47（11）.

[13] 姜鳳英，李建華.關(guān)于初中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8（03）.

[14] 徐斌艷，朱雁，鮑建生，等.我國(guó)八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力水平調(diào)查與分析[J].全球教育展望，2015，44（11）.

[15] 朱婭梅.我國(guó)八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查研究[J].上海教育科研，2017（04）.

[16] 詹欣豪，何小亞.數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的困難、對(duì)策與價(jià)值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（曲阜），2014（09）.

【責(zé)任編輯 ?郭振玲】