淺談正方形綜合題命制思路

楊文川

[摘? 要] 文章討論了在正方形背景下重慶中考數(shù)學幾何綜合題命制的基本思路，基于正方形與翻折運動結(jié)合，主要研究翻折方向的選擇、初中重要幾何性質(zhì)的引入、學生運算能力的考查等幾個方面.

[關(guān)鍵詞] 重慶中考數(shù)學;正方形;翻折;幾何性質(zhì);運算能力

引言

在近幾年的重慶中考數(shù)學幾何綜合題命制中，以正方形為背景的綜合題往往是考查的熱點之一. 正方形包含了所有特殊平行四邊形的基本性質(zhì)，對于學生掌握初中數(shù)學幾何性質(zhì)非常重要. 基于正方形和翻折運動相結(jié)合的綜合題，往往出現(xiàn)在重慶中考題的18題，此題具有圖形結(jié)構(gòu)復雜、輔助線添加困難、解題思路多樣、運算量大等特點. 例如：

考題1：（2017重慶）如圖1，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB邊的中點，則△EMN的周長是______.

考題2：（2016重慶）如圖2，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，DE平分∠ADO交AC于點E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，點F是DE的中點，連接AF，BF，E′F.若AE=，則四邊形ABFE′的面積是______.

因此對于此類題型的研究非常重要而且很有必要，下面我們將從幾個方面進行分析.

選擇翻折方向

在正方形與翻折運動的結(jié)合中，往往會將三角形延著重要線段翻折，線段主要是正方形的邊、對角線、特殊點連線（例如：頂點和中點連線）. 當選好線段后，接下來要考慮翻折的方向，不同的方向會產(chǎn)生出形內(nèi)圖和形外圖兩種基本組合圖形，如圖3～圖5.

其中，圖3是將△AED延著AD翻折產(chǎn)生了形外圖△ADE′，圖4是將△OED延著對角線BD翻折產(chǎn)生形內(nèi)圖△ODE′，圖5是將△AOD延著AE（E點為DC中點）翻折產(chǎn)生形內(nèi)圖△AOD′. 因為翻折方向具有多變性，這里不再一一舉例.

引入幾何性質(zhì)

翻折結(jié)束后，將從兩個方向引入幾何性質(zhì). 第一，組合圖形自身產(chǎn)生. 首先，翻折本身具有不變性，因此翻折前后對應圖形的邊、角、高線、角平分線、中線的大小都不會發(fā)生改變，因此原有圖形的幾何性質(zhì)可以作為考查對象. 其次，對稱軸本身就是角平分線. 例如圖3，AD平分∠EDE′. 第二，“無中生有”，此種方法往往是考查重點. 主要是添加條件產(chǎn)生新的點或者線段，從而考查幾何性質(zhì)，如圖6～圖8.

其中，圖6增加AB的中點F，圖7是增加∠DE′C的角平分線交DC于F點，圖8是過D′作AB的垂線交AB于F點. 三種方式就分別引入了中點、角平分線、垂線. 因為增加方式多種多樣，而且可以選擇的邊、角也不同，這里不再一一舉例.

設計解題思路

當圖形結(jié)構(gòu)固定后，設計運算是最后一步也是最難的一步，因為學生層次不同，能力差異很大，部分同學超前學習知識，運算能力強;部分同學知識結(jié)構(gòu)單一，求解方法簡單. 因此設計出一條既能考查學生解題能力，又能包含重要知識內(nèi)容的解題思路就非常重要. 解題思路設計一般分為以下幾個步驟：

第一，告訴邊長或者已知線段長度（例如2016、2017重慶中考18題）. 這樣學生就有一個突破口，沿著出題人設置好的線路尋找解題思路.

第二，在圖形中分析隱含條件，幫助求解. 這一步是最困難的一步，分析有用的隱含條件是考查學生建模思維、抽象思維的重要環(huán)節(jié). 例如圖6中連接OF，則OF是△ABD的中位線;圖7中CF是△DFE′中以DE′為邊的高;圖8中三角形AFD′三邊之比為FD′ ∶ AF ∶ AD′=3 ∶ 4 ∶ 5.

第三，設置問題. 問題的設置往往是告訴學生“去向何方”，一般設置的問題分為求線段、角、三角形面積、三角形周長、三角形的中線、高線、角平分線等等，有時也可以求解四邊形周長、面積. 例如圖6我們可以求解E′F的長度，圖7我們可以求解△DFE′的面積，圖8我們可以求解四邊形AHD′F的周長.

第四，驗算. 這一步往往是檢查求解過程中有無超綱知識點，答案是否合理，運算是否煩瑣等.

重慶中考數(shù)學的幾何考查一直是學生的難點之一，本文給出了正方形綜合題命制的基本思路之一，因為圖形結(jié)構(gòu)具有多變性、解題思路具有多樣性、學生能力具有差異性等特點，這個問題還有很多值得探討的地方，待其他老師繼續(xù)研究討論.