張宏偉
全景式數(shù)學教育倡導:始終關注并充分發(fā)掘每一項數(shù)學內(nèi)容、每一次數(shù)學教學活動在培養(yǎng)數(shù)學思考方面的重要價值,讓學生用數(shù)學學會思考,更多地為學生的思維發(fā)展而教,更多地為學生“成為有思想的人”而教,更大程度上把“數(shù)學知識的教學”轉變?yōu)椤皵?shù)學智慧的教育”。
下面以長方形和正方形的周長為例,說明全景式數(shù)學教育,如何用一節(jié)看似簡單、貌似沒有多大思維含量的課,來發(fā)展孩子數(shù)學思維、培養(yǎng)孩子數(shù)學智慧。
一、一樣的學習內(nèi)容
以北京版小學數(shù)學教科書三年級上冊,第70、71頁,例2、例3(分別見圖1、圖2)為例。
二、不一樣的學習目標
1.知識技能:理解、掌握長方形和正方形的周長計算公式,會計算長方形、正方形的周長。
2.問題解決:能正確判斷和抽象哪些生活問題是求哪樣的圖形的周長問題,能解決生活中相應的、簡單的實際問題。
3.數(shù)學思考(上位與核心):
①在思考周長問題時,能根據(jù)周長的意義,進行相應的空間想象,自覺向物體或圖形一周的邊線定向。明確求周長的時候,應該把思考的著力點放在分析邊線的特征上。
②能自覺地根據(jù)特征進行分類思考,決定采用一般的方法,還是與特征匹配的特殊方法。感悟到一般問題用一般方法去解決,特殊問題用特殊方法去解決;感悟到一般性方法是通用的方法,特殊的方法只能解決具有同樣特征的專項問題。特殊問題用特殊方法解決會更簡便。
③感悟用特殊方法解決問題的核心是發(fā)現(xiàn)事物和圖形的特殊之處;從不同的角度來思考,可以發(fā)現(xiàn)不同的特殊性,繼而發(fā)現(xiàn)不同的特殊方法。
④通過匯總、比較、分類、類推等策略,對同類問題進行整體性分析和思考,初步學會系統(tǒng)、結構性地思考和解決問題。
4.情感態(tài)度:在發(fā)現(xiàn)與周長問題相關的一般和特殊規(guī)律的過程中感受數(shù)學的簡潔、概括、神奇之美,在豐富多彩的學習過程中感受數(shù)學學習的有趣和快樂,在處理和解決問題中感受研究數(shù)學的價值。
三、不一樣的推進邏輯
這部分內(nèi)容,國內(nèi)所有版本的教材編排的思路都是先學長方形的周長,后學正方形的周長,無一例外。筆者卻把它們顛倒了過來,先學(圖2)正方形的面積,再學(圖1)長方形的面積
筆者之這樣顛倒,正是因為筆者看到了它培養(yǎng)孩子思考力的特殊價值。
筆者把這節(jié)課的推進邏輯(思考邏輯)確定為
先兩頭后中間!也就是先研究“一種極端情況”,再研究“相反的另一種極端狀況”一最后研究“中間狀況”。
四、不一樣的課程設計和教學過程
推進邏輯確定后,筆者以四點數(shù)學思考目標為核心進行了課程和教學的重建,具體的學習過程大致分為六個環(huán)節(jié)進行。
環(huán)節(jié)一:筆者引導學生把生活問題抽象成數(shù)學問題。
出示學生生活中的實際問題和情境,引導學生通過自己的思考、辨析和討論,明確求籬笆、封條、邊框、圍池塘走一周的長度等生活問題(見圖3),就是求相應圖形邊線的總長,即“周長”。
環(huán)節(jié)二:依次出現(xiàn)下面圖形.讓學生列算式求周長。
正方形的前四個圖形,學生都是用連加法,當正方形出現(xiàn)后,學生自然出現(xiàn)兩種算法,而且認為用乘法更簡便。
筆者接著追問,引發(fā)學生進一步思考:乘法簡便,前面的為什么不用,只有它用?
生:因為它特殊,四條邊都一樣。
師:它特殊,用特殊的方法(乘法)去解決,那這些一般的呢?
生:用一般的方法去解決。
此時,學生的智慧火花已經(jīng)開始閃觀。
環(huán)節(jié)三:跳出正方形
1.我先拋出這兩個圖形:
師:它們能用特殊辦法解決嗎?
生:能,因為它們也是特殊的,四條邊都一樣?
通過這兩個圖形,讓學生突破了直角和直邊的限制。
2.再推廣到正多邊形:
通過讓學生解釋省略號的意思,啟發(fā)學生概括出:正幾邊形,就用邊長×幾。
3.再引入五角星突破凸平面圖形的限制:
4.最后,集中起來,整體比較,系統(tǒng)分析:
學生就會發(fā)現(xiàn):求圖形的周長,不管曲直、凹凸,只要所有的邊長相同,就直接乘法計算:邊長×邊數(shù)。這是一種整體的、系統(tǒng)化、結構性的思考訓練。
老師們,回憶上面的過程,筆者僅僅是在教正方形的周長嗎?
絕對不是!
正方形只是思考特殊圖形周長的一個跳板,是發(fā)現(xiàn)“特殊問題特殊解決”的敲門磚。
環(huán)節(jié)四:從長方形周長學起
在學生研究完“最特殊”的正方形的基礎上,進入第4個學習模塊——研究長方形的周長:
師:你覺得它特殊嗎?
生:有一點特殊,特殊的地方是兩個長一樣,兩個寬一樣—所以用:長×2+寬×2。
生:可以看成最特殊的:這半圈的長和寬聯(lián)合起來,和那半圈是一樣的。所以,可以先求出半圈,再乘以2。
這種算法很難理解的,它是本節(jié)課的難點。這時,筆者把數(shù)學戲劇拉了進來。
這是一組學生在排練長和寬的過家家:他們把紅色的長比喻成男的,黃色的寬比喻成女的,然后一個長和一個寬結婚成一家人,這樣就可以組成兩個家庭,這兩家的總長完全相同,所以用長加寬的和乘以2。形象、生動、有趣,好理解,有學生一輩子都小會忘。
接著再引入下面四種圖形讓學生求它們的周長:
從直線到曲線,從直角到任意角,從四邊到多邊,讓學生學會類推,學生的思維一下子又打開了。
最后一個圖形,還引發(fā)了一段很逗趣的一段話:有的學生說像正方形一樣過家家,右邊的a、6、c三個人(邊)是一家,左邊的三個也是一家,兩家的總長度是一樣的,所以先用a+b+c,然后再乘以2。有的學生立馬反對,三個人怎么能結婚呢?有的學生馬上回擊:這不是玩游戲嗎?讓人忍俊不禁。
老師們,發(fā)現(xiàn)沒?長方形也只是解決這類問題的一塊敲門磚!
環(huán)節(jié)五:補上中間,全景分析
1.補上中間:
任何事物都不是非黑即白,還有中間的灰色地帶。
在學生研究好上述圖形周長后,還又全景地完善圖形類型和思考區(qū)域——補上圖形的中間地帶:
筆者首先引導學生認識到所有邊“都不一樣”和“都一樣”是兩個相反的極端,那么,下面四個圖形,學生自然就把它們放在中間地帶。
2.全景分析
最后,把本節(jié)課研究過的圖形,匯總成下圖:
讓學生看著匯總的全部圖形,同顧本節(jié)課的研究經(jīng)歷,隨便聊聊自己的看法、自己的想法。學生談到的想法有:
l.左邊都不一樣長,只能用一般方法,也就是加法解決。右邊都一樣長,是特殊的情況,用特殊方法,也就是乘法解決。中間也可以用乘加解決。
2.加法可以算所有圖形的周長,乘法只能算特殊的、邊都一樣的圖形。
3.特殊的圖形用特殊方法更簡便。
4.求周長要注意看它的邊是不是都一樣長。
5.有的中間圖形,把邊聯(lián)合起來看,可以變成都是一樣的圖形(此時,我點破:這樣就把中間的圖形,變成了最特殊的都一樣的圖形,這就叫轉化)。
6.我們先學了極端的,后學習了中間的等等。
環(huán)節(jié)六:超越數(shù)學
師:孩子們,不僅僅是數(shù)學上的問題,生活當中遇任何問題,你都要先分析是什么情況。一般的情況一般對待,用一般的方法解決;特殊的情況應特殊對待,用特殊的方法解決。
比如,按照我們班級的約定,遲到是該批評的。如果遲到的學生在上學的路上,因為幫助路人,遲到了幾分鐘,你說覺得該批評嗎?
學生都覺得不應該批評,應該表揚。教師點撥:這就叫特殊情況特殊對待——這是在毓養(yǎng)更一般的、通用的思考方式和處事態(tài)度。