淺析極限定義的語言模型

摘要：極限概念是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，如果學(xué)生能夠從極限定義的語言模型來認(rèn)識極限，那么就可以突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，并對今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：極限;語言模型;描述性語言;不等式語言;幾何語言;等式語言

極限概念是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念遇到困難的主要原因就在于沒有建立極限的幾種等價(jià)語言模型。因此，在教學(xué)中梳理清楚極限的幾種等價(jià)語言模型是有必要的。如果學(xué)生能夠從極限定義的語言模型來認(rèn)識極限，那么對突破極限這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，并為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)是有益的。

極限的等價(jià)語言模型大致可以分為以下四種：1. 描述性語言模型;2. 不等式語言模型;3. 幾何語言模型;4. 等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關(guān)系模型）。

下面分別論述四種模型的作用。

一、 描述性語言模型

定義1：對于給定的數(shù)列xn，如果當(dāng)n無限增大（n→∞）時(shí)，對應(yīng)的xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列xn的極限，記作limn→∞xn=A或xn→A（n→∞）。

上述定義只是一種描述性的說明，“xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A”這段描述只是定性，沒有定量。因此人們在利用這個(gè)定義去判斷極限的存在性或?qū)?，或不對。例如，?dāng)n無限增大（n→∞）時(shí)，1n無限的接近于0，所以我們認(rèn)為limn→∞1n=0。不過用這種觀察的方法是不是有可能讓人覺得1n+1n+…+1nn-6個(gè)也是無限的接近于0呀？其實(shí)，后者的極限是1。由此可見，定義1的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)是一樣突出的。

我們利用定義1可以直觀觀察數(shù)列或函數(shù)的極限值，但是不能確定結(jié)果正確與否。

二、 不等式語言模型

定義2：設(shè)有數(shù)列{xn}，A為一常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谥麛?shù)N，使得對于n>N時(shí)的一切xn，不等式|xn-A|<ε都成立，則稱常數(shù)A是數(shù)列xn的極限，或稱數(shù)列xn收斂于A，記作limn→∞xn=A或xn→A（n→∞）。

定義2解決了定義1的不足之處，即從不等式語言的角度量化描述極限的本質(zhì)，它可以用來證明極限的存在性。例如：

【例1】證明limn→∞13n=0。

證：由數(shù)列極限的ε-N定義知|xn-A|=13n-0=13n，

對于任意給定的正數(shù)ε，要使|xn-A|<ε，即13n<ε，3n>1ε，只要n>log31ε即可，故可取正整數(shù)N=log31ε。

這即是說，對于任意的正數(shù)ε，只要當(dāng)n>N時(shí)，就有：13n-0<ε，即：limn→∞13n=0。

定義2的優(yōu)點(diǎn)中也蘊(yùn)藏著缺點(diǎn)，就是ε-N這兩個(gè)量的確定方法不是每次都很方便，這就需要一定的補(bǔ)充，幾何語言就是一種較好的補(bǔ)充方式。

三、 幾何語言模型

在幾何上，常數(shù)A和數(shù)列{xn}的各項(xiàng)都可用數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)表示。因?yàn)閨xn-A|<ε相當(dāng)于A-ε

圖1

上述幾何解釋也可以說成：數(shù)列{xn}收斂于A，就是對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，從xN+1開始，后面所有的點(diǎn)都落在A的ε鄰域內(nèi)。

這種語言模型的直觀性很好，用它去做一些分析和判斷，可以幫助我們利用不等式語言去證明一些極限問題，例如下述定理的證明中取ε=b-a2的依據(jù)是從哪里來的？

定理1：收斂數(shù)列{xn}的極限是唯一的。

證：設(shè)xn→a，xn→b，且a

根據(jù)極限定義，對任意ε>0，存在N1，N2，當(dāng)n>N1，n>N2時(shí)，|xn-a|<ε且|xn-b|<ε，即a-εN時(shí)，上述兩不等式同時(shí)成立。但這是矛盾的，因此得證。

其實(shí)，利用幾何語言模型和圖1，可以知道取ε≤b-a2都是可以的。這樣就可以突破問題的難點(diǎn)。

四、 等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關(guān)系模型）

人們對等式的感知度是超過不等式的，往往用等式語言揭示極限本質(zhì)更容易讓人理解。

定理2：在自變量的同一變化過程中，limf（x）=Af（x）=A+α，其中α→0。

這種等式語言模型巧妙地把極限的本質(zhì)描述成一個(gè)等式是否成立，如此，在證明極限的存在性時(shí)它就可以派上用場了，往往這會比不等式語言優(yōu)越。例如：

定理3：設(shè)limf（x）=A、limg（x）=B，則有如下運(yùn)算法則：

lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B。

證：因limf（x）=A，limg（x）=B，由無窮小和收斂函數(shù)的關(guān)系（定理2），應(yīng)有

f（x）=A+α，g（x）=B+β，

其中，α和β是和f（x）、g（x）同一變化過程中的無窮小。相應(yīng)地有

f（x）±g（x）=（A+α）±（B+β）=（A±B）+（α±β），

因?yàn)棣痢捆率菬o窮，故得

lim[f（x）±g（x）]=A±B=limf（x）±limg（x）。

可見等式語言比不等式語言真有方便之時(shí)。

綜上所述，極限的四中語言模型是各有所長的，如果能夠在任何時(shí)候都選取一套適合的語言解決極限問題，那么我們就能更好地解決極限問題了。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊鳳安.極限定義的剖析[J].黔東南民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（綜合版），2009（2）.

作者簡介：

胡旭東，四川省成都市，四川成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院。