一類(lèi)退化拋物型方程組解的漸近性質(zhì)

覃思乾,周澤文,凌征球

( 玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 玉林537000)

1.簡(jiǎn)介

本文研究下列退化的拋物型方程組解的漸近性質(zhì)，并專(zhuān)注于討論方程組解的整體存在與爆破的條件:

其中?是中具有光滑邊界??的一個(gè)有界區(qū)域,u0(x),v0(x)是非負(fù)的有界函數(shù),

方程(1.1)-(1.2)組成一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的簡(jiǎn)單例子,可用于描述化學(xué)反應(yīng)、熱傳導(dǎo)以及種群動(dòng)力系統(tǒng)等過(guò)程的數(shù)學(xué)模型.最近,出現(xiàn)了許多非線性?huà)佄锓匠探M解的漸近性質(zhì)問(wèn)題的研究成果,如DENG[1],楊婕[2],雷學(xué)紅[3]，王文海[4],凌征球[5]等,他們通過(guò)使用不同的方法與手段,討論各種退化拋物型方程組解的性質(zhì)。特別,周澤文[6]研究了p1=q1=1,p2=q2=1時(shí)方程組(1.1)-(1.2)的情況,借助于正則化技術(shù)與上下解方法,給出了方程組解的局部存在性,整體存在與爆破條件.受以上文獻(xiàn)思想啟發(fā),本文在更一般的情況下討論方程組(1.1)-(1.2)的解的漸近性質(zhì),主要目的是要擴(kuò)展文[6]的結(jié)果,而且給出有別于文[6]的方法得到了方程組解的整體存在與爆破的條件.

首先,當(dāng)初值u0(x),v0(x)非負(fù)且具有緊支集和滿(mǎn)足適當(dāng)相容性條件的光滑函數(shù)時(shí),使用文[1]的方法,我們可以建立最大值原理與比較原理,而且通過(guò)正則化手段,還可以得到下列解的局部存在性定理:

定理1假設(shè)則存在使得對(duì)于任意的T

這里我們省略上述的細(xì)節(jié)而專(zhuān)注于討論解的性質(zhì).對(duì)于定理1的T?,如果T?<+∞,我們稱(chēng)方程組的解(u(x,t),v(x,t))在有限時(shí)刻爆破,否則稱(chēng)解是整體存在的.

2.解的整體存在定理及證明

定理2如果下列的條件之一成立:

(i)m>pp1,n>qq2,

(ii)m>pp1,n>qq2,以及區(qū)域(|?|)充分小;

(iii)m > pp1,n > qq2,或m ≤pp1或n ≤qq2,以及初值數(shù)據(jù)u0(x),v0(x)充分小.

那么,問(wèn)題(1.1)-(1.4)的每個(gè)非負(fù)解都具有整體性.

證根據(jù)比較原理,對(duì)于任意的T >0,我們只需要構(gòu)造有界的、正的上解即可.假設(shè)φ(x)表示下列線性橢圓問(wèn)題的唯一正解:

其中k1,k2>0是待定常數(shù).顯然,對(duì)于任意的T >0,都是有界函數(shù).另外,簡(jiǎn)單的計(jì)算得到

類(lèi)似地,

記

(i)如果m>pp1,n>qq2以及那么一定存在足夠大的常數(shù)k1≥∥u0∥∞,k2≥∥v0∥∞使得

由此得到

(ii) 如果m > pp1,n > qq2并且不失一般性,我們假設(shè)? ??B,這里B是一個(gè)充分大的球,并且設(shè)ψB(x)是下列橢圓問(wèn)題的唯一解

那么C1< C2,或者這樣我們就可以選擇充分大的正數(shù)k1,k2滿(mǎn)足(2.4)和

(iii) 如果m > pp1,n > qq2和這樣我們首先選擇常數(shù)k2∈(0,1)充分小使得

然后再選取k1>0滿(mǎn)足(2.4)式。這樣,當(dāng)初值u0(x),v0(x)充分小滿(mǎn)足(2.6)時(shí),定義的函數(shù)(ˉu,ˉv)就是問(wèn)題(1.1)-(1.4)的一個(gè)上解.

上面的分析再結(jié)合比較原理,我們就完成了定理2的證明.

3.解的爆破定理及證明

定理3如果下列條件之一成立:

那么,問(wèn)題(1.1)-(1.4)的每個(gè)非負(fù)解都在有限時(shí)刻爆破.

證類(lèi)似于定理2的證明,根據(jù)比較原理,我們通過(guò)尋找一個(gè)爆破的下解來(lái)完成定理的證明.

(i) 假設(shè)λ1>0表示下列特征值問(wèn)題的第一特征值

而?1(x)表示相應(yīng)的特征函數(shù).顯然?1(x)可以單位化使得x ∈?,?1(x)>0和1.定義下面的函數(shù)

其中l(wèi)1,l2>0是待定系數(shù).經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算,我們得到

同理,

這里

(i) 如果m>pp1,n>qq2并且則存在充分大的使得

也就是

因此,當(dāng)T >0充分小時(shí),我們可以得到

這時(shí),只要初值充分大滿(mǎn)足

而且,對(duì)于x ∈??,t ∈(0,T),(x,t)=0≤0,(x,t)=0≤0.因此從比較原理知道,就是問(wèn)題(1.1)-(1.4)的一個(gè)爆破的下解.

如果m ≤pp1,那么當(dāng)n ≤qq2時(shí),只要選取l1,l2滿(mǎn)足時(shí),(3.2)式成立,即說(shuō)明當(dāng)T充分小時(shí),(3.3)-(3.4)成立.從而得知函數(shù)就是問(wèn)題(1.1)-(1.4)的一個(gè)爆破的下解.

如果m ≤pp1而n>qq2時(shí),只要選取l1,l2滿(mǎn)足

那么(3.2)式成立,從而(3.3)-(3.4)成立,因此函數(shù)就是問(wèn)題(1.1)-(1.4)的一個(gè)爆破的下解.

(ii) 如果m>pp1,n>qq2和選取常數(shù)l1,l2滿(mǎn)足

不失一般性,我們假設(shè)0∈?,并且設(shè)BR(0)是滿(mǎn)足BR(0)???的一個(gè)球.下面,我們證明問(wèn)題的解將在球域BR爆破,從而得知解在更大的區(qū)域?也爆破.令λBR>0和?R(r)分別表示下列特征值問(wèn)題的第一特征值與相應(yīng)的特征函數(shù):

并且單位化使得?R(r)>0和根據(jù)特征值與特征函數(shù)的性質(zhì)得到λBR=R?2λB1和?R(r)=?1(r/R)=?1(τ),這里τ=r/R,λB1和?1(τ)分別表示在單位球B1(0)的特征值問(wèn)題的第一特征值與特征函數(shù),而且

定義下面的函數(shù)

這樣經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算,可以得出

其中

這里的K1,K2是與半徑R無(wú)關(guān)的常數(shù).從我們可以假設(shè)R,即球BR(0)充分大滿(mǎn)足

也就是c1?ml1λBR>0,c2?nl2λBR>0.因此,只要取T充分小,就可以使得(3.6)(3.7)變成

另一方面,如果初值u0(x),v0(x)充分大也滿(mǎn)足