幾何變換的“奧秘”

江蘇省無錫市蠡園中學(xué)九（7）班 于 點

上周五的午間，我和幾位好朋友正圍坐在一起“吹?！?。突然，我同桌沖了進來，手里揮著幾張紙，興沖沖地對我們說：“來，看看這道中考題！”于是，我們的話題與注意力馬上轉(zhuǎn)移到試題上。

考題再現(xiàn)如圖1，已知∠MON=120°，點A、B分別在OM、ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°且α≠60°），作點A關(guān)于直線OM′的對稱點C，畫直線BC交OM′于點D，連接AC、AD，有下列結(jié)論：①AD=CD；②∠ACD的大小隨著α的變化而變化；③當(dāng)α=30°時，四邊形OADC為菱形；④△ACD面積的最大值為。其中，正確的是____。

圖1

顯然，根據(jù)對稱性，我們可以知道OM′是AC的垂直平分線，所以AD=CD。哈哈，結(jié)論①太簡單了！

圖2

再看結(jié)論②。角度？旋轉(zhuǎn)？我的腦海中閃出一個字——圓。不管了，試試再說。如圖2，我以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O，根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”可得∠ACB=180°-∠E=180°-60°=120°，所以∠ACD=60°。所以結(jié)論②是錯誤的。

做完一半的題目，我松了一口氣，心想前面的兩題不難，但是后面的應(yīng)該不會這么簡單吧。于是，我又埋頭苦干了。當(dāng)α=30°時，∠COD=∠AOD=30°，又因為OC=OA，所以△AOC是等邊三角形。另一方面，由于DC=DA，∠ACD=60°，所以△ACD也是等邊三角形。故OC=OA=AC=AD=CD，因此，四邊形OADC為菱形。所以結(jié)論③也正確。

做完前三問，我有些沾沾自喜，看向同桌，她卻淡定地說：“別急，還有一個結(jié)論呢！”我一看，不就是求最大面積嘛。由于△ACD是等邊三角形，所以只要邊長取得最大值，面積就相應(yīng)地取得最大值。在圖2中，AC是☉O的一條弦，如果最大，只要是直徑就可以了。接下來就看看能否取得這種情形即可：由于∠AOC=2α，所以當(dāng)α=90°時，∠AOC=180°，此時，AC即為直徑。接下來就可求得△ACD的面積=，化簡結(jié)果為所以④也正確。

這道關(guān)于幾何變換（旋轉(zhuǎn)、翻折）的題目，其奧秘就在于變換前后重合的量相等，雖只是填空，但解題時也需小題大做。對于一些常見題型，我們要有一些基本的應(yīng)對策略。如果遇到一些特殊角度，我們在解題時也要學(xué)會聯(lián)想相關(guān)的特殊性質(zhì)。

教師點評

選正確結(jié)論的問題一直是難點，小作者從旋轉(zhuǎn)、對稱的基本性質(zhì)入手，層層遞進，引入“圓”并最終解決該圖形變換問題。同學(xué)們仔細(xì)體會，角在圓中變?yōu)椤皥A周角，圓心角”，線段在圓中變?yōu)椤跋?、直徑”，從而可以發(fā)現(xiàn)不變的量及變換的量的最值，是不是收獲很大？