混雜隨機泛函微分方程修正截斷EM算法的強收斂率

胡軍浩，方明，高帥斌

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

1 相關(guān)知識

考慮混雜隨機泛函微分方程

dX(t)=f(Xt,Λ(t))dt+g(Xt,Λ(t))dB(t),
0≤t≤T,

(1)

f:C([-τ,0];n)×S|→n,

g:C([-τ,0];n)×S|→n?m

是可測函數(shù)，B(t)=(B1(t),B2(t),…，Bm(t))T是定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的m維Brownian運動.Λ(t)是右連續(xù)的Markov鏈，取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…，N}，其生成元Γ=(γij)N×N表示為：

方程(1)的參數(shù)滿足下列條件：

(A1)對于任意的R>0，存在一個LR>0，使得：

|f(φ,i)-f(ψ,i)|∨|g(φ,i)-g(ψ,i)|≤

LR‖φ-ψ‖,

其中φ，ψ∈C([-τ,0];n)，‖φ‖∨‖φ‖≤R,i∈S.

(A2)存在p≥2，K>0，使得：

K(1+‖φ‖2),g(0,i)≡0,

其中φ∈C([-τ,0];n),i∈S.

(A3)存在q≥2，H>0，使得：

|g(φ,i)-g(ψ,i)|2≤H‖φ-ψ‖2,

其中，φ,ψ∈C([-τ,0];n),i∈S.

(A4)對于任意的?>1，初值ξ滿足E|ξ(t)-ξ(s)|2?≤C|t-s|?.

為定義修正截斷EM算法，選取充分小的Δ*>0和嚴格正的遞減函數(shù)h:(0,Δ*]→(0,∞),使得：

(2)

(3)

(4)

對于非線性隨機微分方程數(shù)值解，Mao X.首次提出截斷EM算法，討論其強收斂性和收斂率問題[1,2].文獻[3,4]在截斷EM算法基礎(chǔ)上加以修正，提出修正截斷EM算法，討論隨機微分方程數(shù)值解的強收斂性和漸近指數(shù)穩(wěn)定性問題.

由于泛函的引入，隨機微分方程數(shù)值解強收斂和穩(wěn)定性研究會變得比較復(fù)雜[5,6]，文獻[7,8]為了改善算法復(fù)雜度提出了時間上截斷的EM算法，討論隨機泛函微分方程解的存在性和唯一性.

在文獻[3]和文獻[8]的基礎(chǔ)上，提出在空間上和時間上都截斷的EM算法，討論混雜隨機泛函微分方程數(shù)值解的強收斂率問題.強收斂率主要依賴于Markov切換.同時，這種算法改善了泛函帶來的復(fù)雜度.

2 基本引理

引理1[9]若條件(A1)和(A2)成立，方程(1)有唯一的解X(t)，且

其中C是依賴于T,p,K,ξ的正常數(shù).

引理2[9]對于停時

σR=inf{t≥0:|X(t)|≥R},infφ=∞.

若條件(A1)和(A2)成立，則：

利用文獻[12]類似的方法，給出截斷函數(shù)fΔ和gΔ的性質(zhì).

|fΔ(x,i)-fΔ(y,i)|∨|gΔ(x,i)-gΔ(y,i)|≤4Lh(Δ)‖x-y‖,

(5)

其中x,y∈C([-τ,0];n),i∈S.

引理5若條件(A2)成立,則對于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，有：

2K(1+‖x‖2),

(6)

其中x∈C([-τ,0];n),i∈S.

引理6若條件(A1)和(A2)成立,則對于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，有：

(7)

(8)

其中C是依賴于T,p,K,ξ的正常數(shù).

(9)

計算：

‖ξ‖p+J1+J2+J3.

(10)

注意到：

由引理4有：

4Lh(Δ)‖ξ‖+h(Δ).

(11)

由Young不等式有：

因此，

再次應(yīng)用Young不等式和(11)式，有：

利用不等式(a+b)p≤2p(ap+bp)，a,b>0,p>1可得：

由Burkhold-Davis-Gundy不等式、Young不等式和(11)式可得：

把J1,J2,J3代入(10)式可得:

其中C1,C2是依賴于T,p,K,ξ的正常數(shù).

由Gronwall不等式可得：

對于t∈[0,t1)有：

對于t∈[t1,t2)有：

經(jīng)過步長Δ的向前遞推有：

因此，

t∈[tk,tk+1).證畢.

由引理6以及引理2的相似結(jié)論可以得到下面的引理.

引理7定義停時

ρΔ,R=inf{t≥0:|XΔ(t)|≥R},infφ=∞.

若條件(A1)，(A2)，(A4)和(2)式成立，則對于任意的R>‖ξ‖和Δ∈(0,Δ*)，有：

(12)

引理8若條件(A1)，(A2)和(2)式成立,則對于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，都有：

(13)

其中C是依賴于T,p,K,ξ的正常數(shù).

引理9若條件(A1)，(A2)和(2)式成立,則對于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，使得當0≤s

(14)

(15)

其中C是依賴于T,p,K,ξ的正常數(shù).

(16)

其中C是正常數(shù).

E|XΔ(t)-XΔ(s)|2p≤C|t-s|p.

則對于任意的0≤t≤T，有：

引理11若條件(A1)，(A2)和(2)式成立,則對于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，有:

(17)

其中C是依賴于T,p,K,ξ,Γ的正常數(shù).

證明由條件(A1)和引理6可得：

根據(jù)Markov性質(zhì)可得：

EI{Λ(s)≠Λ(tk)|Λ(tk)}=

故：

其中C是依賴于T,p,K,ξ,Γ的常數(shù).同理可得第2個不等式.證畢.

3 強收斂率分析

其中δΔ,R:=σR∧ρΔ,R.

證明記δ=δΔ,R，e(t)=X(t)-XΔ(t).由It公式和Burkhold-Davis-Gundy不等式可得：

因此，

因為0≤s≤t∧δ，‖Xs‖≤R≤h(Δ)，所以

根據(jù)基本不等式可得:

和

因此，

(18)

根據(jù)Young不等式、引理4和引理10可得：

(19)

同理可得：

(20)

由Young不等式和引理11可得：

(21)

和

(22)

再次應(yīng)用Young不等式和引理4可得：

(23)

把(19)～(23)式代入(18)式可得：

其中C和C1是依賴于p,q,T,H,Γ的兩個正常數(shù).應(yīng)用Gronwall不等式即可得到需要的結(jié)論.證畢.

證明根據(jù)Young不等式，?ε>0，有：

由引理1和引理6可得：

同時，由引理2和引理7可得：

因此，

4 實例

例1考慮帶有Markovian切換Λ(t)的非線性隨機泛函微分方程，其中Λ(t)取值于S={1,2}，生成元

其系統(tǒng)是

dX(t)=2Xtdt+3XtdB(t)

和

顯然，條件(A2)和(A3)對于任意的p≤2,q≤2都成立，則對于任意的‖φ‖，‖ψ‖≤R有

‖2φ-2ψ‖∨‖3φ-3ψ‖≤3‖φ-ψ‖,i=1,

‖φ-φ3-ψ+ψ3‖∨‖2φ-2ψ‖≤(3R2+2)‖φ-ψ‖,i=2.

令LR=3R2+3≥3∨(3R2+2)，則f,g是局部Lipschitz連續(xù)的，且局部Lipschitz系數(shù)為LR.

取p=3,q=2，對于充分小的ε>0，考慮函數(shù)

由定理1可得：