新課標(biāo)理念下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

王秀英

【摘 要】本文論述高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略，認(rèn)為應(yīng)講清概念產(chǎn)生的背景、概念的形成過程及其本質(zhì)屬性，重視新舊概念的聯(lián)系與概念的應(yīng)用，在應(yīng)用中理解概念。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 概念實質(zhì) 形成過程 本質(zhì)屬性

【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）01B-0040-03

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)知識教學(xué)中的首要環(huán)節(jié)，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心，也是幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，提高認(rèn)知水平，培養(yǎng)思維能力等的重要基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)概念是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心，是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的重要理論依據(jù)。因此，講清概念，讓學(xué)生正確理解概念，應(yīng)該成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要關(guān)注點和提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要依托。但在實際的教學(xué)中，由于受各種因素的影響，很多教師忽視概念教學(xué)而重視解題教學(xué)的現(xiàn)象普遍存在，造成了學(xué)生對概念理解不清，應(yīng)用不靈活，嚴(yán)重影響了學(xué)生的解題質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗）》（以下簡稱新課標(biāo)）指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)使學(xué)生理性認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。同時指出，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強對基本概念的理解和掌握，對一些核心概念要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。因此，教師應(yīng)該更新教學(xué)理念，重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。那么，該如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？

一、概念教學(xué)應(yīng)重視講清概念產(chǎn)生的背景

新課標(biāo)要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意引導(dǎo)學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互作用，了解社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用。要求使學(xué)生在獲得基本知識和基本能力的同時，也要了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景。許多數(shù)學(xué)概念都是在一些特定的歷史條件或社會背景下產(chǎn)生的，在教學(xué)中教師應(yīng)注意以新概念的產(chǎn)生背景為基礎(chǔ)，重視新舊知識的自然銜接，在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平與新概念之間創(chuàng)設(shè)一種合適的教學(xué)情境，水到渠成地引入新的概念。這樣不僅有利于學(xué)生對新概念的理解與掌握，而且也在無形中滲透了數(shù)學(xué)文化，使得數(shù)學(xué)課堂變得更有趣。

例如，在進(jìn)行復(fù)數(shù)教學(xué)時，學(xué)生對復(fù)數(shù)這個概念的理解是較困難的。因此，教師在講授這個概念時，可以先拋出一個問題：“一元二次方程 x2+x+1=0 的解是什么？”學(xué)生會立刻回答：“該方程無解?！薄板e！”老師立即糾正道。（學(xué)生肯定會很驚奇，眼睛充滿疑惑，盯著老師）這時老師接著說：“不能說它無解，只能說它在實數(shù)集內(nèi)無解，因為它在復(fù)數(shù)集內(nèi)是有解的。”此時學(xué)生一定很好奇，老師趁機從數(shù)的發(fā)展史講起。幾千年前，在生產(chǎn)和生活中，人們?yōu)榱擞洈?shù)的需要而產(chǎn)生了自然數(shù)的概念;為了分配一個整體的量的需要，又引入了分?jǐn)?shù)的概念;后來人們?yōu)榱吮硎鞠喾匆饬x的量又引進(jìn)了負(fù)數(shù)概念，從而將數(shù)集擴充到了有理數(shù)集;再后來人們?yōu)榱吮硎局T如 2 的平方根的數(shù)，又引入了無理數(shù)的概念，從而將數(shù)的范圍擴充到了實數(shù)集……到了 16 世紀(jì)人們遇到了形如 x2+x+1=0 這樣的方程，由于它在實數(shù)集內(nèi)是無解的，但人們又需要知道這樣的方程的解，于是便引入了單位復(fù)數(shù) i，規(guī)定 i2=-1，這樣“-1”就可以開方了，它的平方根為 ±i，這樣，前面的方程也就迎刃而解了。如此，老師順理成章地引出了復(fù)數(shù)的概念。

在這個案例中，學(xué)生通過對復(fù)數(shù)產(chǎn)生背景的了解，不僅了解了數(shù)集的每一次擴充都解決了原有數(shù)集不能解決的一些問題，還明確了為什么要學(xué)習(xí)這個概念，同時對所學(xué)過的數(shù)集的包含關(guān)系也有了更清楚的認(rèn)識。

再如，對“異面直線”概念的教學(xué)，可以先在長方體模型中，引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)里面有既不相交又不平行的兩條直線。老師問：這樣的兩條直線既不平行又不相交，那它們是什么關(guān)系呢？由于不是以前學(xué)過的平行直線和相交直線了，當(dāng)然就有必要對這樣的直線給以新的定義，這樣“異面直線”概念的產(chǎn)生就自然而然了。此時，老師趁機給出簡明、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。接著讓學(xué)生在各種模型中找出、找準(zhǔn)所有的異面直線，以體驗概念的發(fā)生、發(fā)展過程。通過這樣的教學(xué)處理，學(xué)生不僅明白了為什么要學(xué)習(xí)這個概念，而且也理解了這個概念與平行直線和相交直線的區(qū)別，從而能很好地掌握這個概念。

二、概念教學(xué)要講清概念的形成過程并揭示其本質(zhì)屬性

新課標(biāo)指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論的接受和記憶。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐等學(xué)習(xí)方式，要充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷從具體實例中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程。同時，還要求高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。由于數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點，因此概念教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的形成過程—— 從具體實例到抽象出概念，讓學(xué)生明白基本概念的來龍去脈，努力揭示、理解概念的本質(zhì)屬性。在概念教學(xué)時，教師要注意創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，充分揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生置身其中，真正體悟概念的形成過程。同時，還要注意引導(dǎo)學(xué)生，努力揭示概念的本質(zhì)屬性。

例如，在教授橢圓的概念時，很多老師通過多媒體，展示檸檬、橄欖球、油罐車的橫斷面的外輪廓圖片等，指出檸檬、橄欖球是橢圓體，油罐車的橫斷面的外輪廓是橢圓，這些實例能讓學(xué)生直觀地感受到橢圓的形狀。但從數(shù)學(xué)的角度看，到底什么樣的圖形是橢圓，通過這些實例是不能得出的。因為從這些圖片中我們無法得出橢圓的本質(zhì)屬性（概念的本質(zhì)屬性是指一個特定數(shù)學(xué)對象，在一定范圍內(nèi)保持不變的性質(zhì)）。因此，筆者從知識發(fā)生的過程及學(xué)生知識的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，做了如下的教學(xué)嘗試。

橢圓的教學(xué)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在本課教學(xué)中，筆者首先讓學(xué)生回顧圓的定義，接下來將一根繩子的兩端合在一起，固定在黑板的一顆圖訂上，另一端套上粉筆并拉緊繩子，移動粉筆（整個過程始終保持繩子處于拉緊狀態(tài)），粉筆頭在黑板上運動的軌跡就是圓。接下來，將繩子兩端分開，并分別固定在事先準(zhǔn)備好的兩顆圖釘上（兩圖釘間的距離小于繩子的長度），套上粉筆并拉緊，在移動粉筆前，先讓學(xué)生猜猜會得到什么圖形，還會是圓嗎？學(xué)生憑直覺，應(yīng)該不會是圓，但對將會得到什么圖形充滿好奇和期待。接下來，筆者慢慢移動粉筆，同時要求學(xué)生仔細(xì)觀察圖形的形狀和圖形形成的過程。移動一圈后，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)得到的圖形不是圓，但和圓又有些相似。筆者告訴學(xué)生這樣的圖形就是橢圓。然后要求學(xué)生結(jié)合剛才的作圖過程，聯(lián)想在粉筆移動的過程中始終滿足了什么條件，歸納總結(jié)出橢圓的定義。

由于試驗過程實際上已經(jīng)揭示了橢圓上的點的本質(zhì)屬性—— 橢圓上的點（粉筆）到兩個定點（兩圖釘）的距離之和為定值（即繩長），所以學(xué)生很自然地就能從中概括出橢圓的概念。這樣的教授過程，不僅讓學(xué)生理解了橢圓的概念，而且還明確了橢圓上點的特征，揭示了橢圓概念的本質(zhì)。同時，這樣一個動態(tài)的過程，也會給學(xué)生留下深刻記憶，為學(xué)生利用定義解題奠定了良好的基礎(chǔ)。

三、概念教學(xué)要重視新舊概念的聯(lián)系，注重對概念實質(zhì)的辨析

數(shù)學(xué)中許多概念之間都有著密切的聯(lián)系，為使學(xué)生準(zhǔn)確地掌握這些概念，教師在教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生弄清他們的聯(lián)系與區(qū)別，如映射與函數(shù)、函數(shù)與方程和不等式、平行線與平行向量、互斥事件與對立事件、等差數(shù)列與等比數(shù)列、橢圓與雙曲線等。在教學(xué)中，教師應(yīng)善于通過比較、辨析，幫助學(xué)生理清其聯(lián)系與區(qū)別，掌握概念的本質(zhì)。

例如，函數(shù)的概念，學(xué)生初中已學(xué)過，為什么高中還要再學(xué)呢？學(xué)生很迷惑。所以教學(xué)中教師就有必要剖析二者的聯(lián)系與區(qū)別。事實上，兩者的本質(zhì)屬性是一樣的。初中的定義，強調(diào)的是在一個運動變化的過程中，兩個變量 x，y 之間的一種依賴關(guān)系;而高中的定義是從集合的觀點出發(fā)，只強調(diào)兩個集合之間的一種對應(yīng)關(guān)系。對比兩個定義，我們可以理解為：將初中定義中變量 x，y 的所有取值分別放入 A 和 B 兩個集合中，這樣，集合 A 和 B 不就建立了這樣一種關(guān)系—— 集合 A 中的任何一個實數(shù)在集合 B 中都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)嗎？這不就是高中的定義嗎？這樣看來，兩個定義的實質(zhì)不就是一樣嗎？那為什么高中還要對函數(shù)重新定義呢？因為高中的定義更具有一般性，它抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性。經(jīng)過這樣辨析，學(xué)生不僅明確了高中為何還要學(xué)習(xí)函數(shù)概念，而且也不會將初高中的函數(shù)概念割裂開來，更有利于學(xué)生對函數(shù)概念的理解與掌握。

再比如，在教授集合的交集、并集和補集時，很多老師只是照著教材把這些概念解釋一遍，再舉一些例題訓(xùn)練就完事了。這樣教學(xué)處理的結(jié)果就是，在學(xué)生心里，這是三個獨立的概念，他們之間沒有關(guān)系。事實上，集合的交集、并集和補集，是集合作為一個新的數(shù)學(xué)對象，和我們以前學(xué)過的數(shù)、代數(shù)式、方程、向量等一樣，需要建立他們各自的運算。而集合的交集、并集和補集就是幾種集合的運算，運算法則就是其各自的定義。通過這樣類比、辨析，學(xué)生就明白了，集合的交集、并集和補集并不是三個獨立的概念，而同屬于集合的運算。這樣一來，掌握這幾個概念也就顯得容易多了。因此，我們在教授一些新概念時，要適時地引導(dǎo)學(xué)生和已學(xué)過的知識進(jìn)行類比、聯(lián)想，以幫助學(xué)生對新概念的理解與掌握。

四、概念教學(xué)應(yīng)重視對概念的應(yīng)用，強化在應(yīng)用中理解概念

掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識首先需要正確理解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)常常需要運用數(shù)學(xué)概念解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，因此正確理解數(shù)學(xué)概念是準(zhǔn)確運用概念解決數(shù)學(xué)問題的前提。運用概念解決數(shù)學(xué)問題的過程又能推進(jìn)對概念本質(zhì)的理解，這是一個應(yīng)用與理解同步的過程。因此教師在教學(xué)中，應(yīng)重視對概念的應(yīng)用，在應(yīng)用中幫助學(xué)生加深對概念的理解與掌握。

例如，在講授函數(shù)的奇偶性這一內(nèi)容時，很多學(xué)生在初學(xué)時往往只記住了判斷函數(shù)的奇偶性時要判斷函數(shù)是否滿足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x），卻往往忽視了定義域的對稱性以及對函數(shù)表達(dá)式的恒等變形處理。為糾正學(xué)生的這個認(rèn)識誤區(qū)，在學(xué)生明確奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念后，可以設(shè)計如下題目。

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

設(shè)計①的目的是讓學(xué)生理解奇偶函數(shù)對定義域?qū)ΨQ的要求，而②③是讓學(xué)生明確對函數(shù)解析式恒等變形的必要性。學(xué)生在解答時，往往會得出①②都是偶函數(shù)，③是非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。①錯誤的原因是忽略了定義域的對稱性。老師在分析錯誤原因時，要引導(dǎo)學(xué)生回憶定義，知道定義中強調(diào)對定義域中的每一個 x 都滿足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x）。但本例中，對定義域中的 1，不滿足 f（-1）= f（1），也不滿足 f（-1）=- f（1）。因為定義域中沒有 -1，對該函數(shù)來說，f（-1）沒有意義，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。而②滿足定義域關(guān)于原點對稱的特點，但在定義域的條件下，函數(shù)表達(dá)式可等價變形為 f（x）=0，所以該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。③的錯誤則是沒注意到在定義域的條件下，函數(shù)表達(dá)式中絕對值符號可以去掉，函數(shù)表達(dá)式可等價變形為 ，從而可知該函數(shù)為奇函數(shù)。通過這樣的應(yīng)用，學(xué)生對奇偶函數(shù)的定義就有了更深入的理解。它不僅要求表達(dá)式要滿足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x），而且定義域也必須關(guān)于原點對稱。同時還掌握了在解題過程中，有時還需要對函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行恒等變形后再判斷。

總之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)和數(shù)學(xué)解題教學(xué)一樣，都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑，教師在思想和行動上必須重視概念教學(xué)。在日常的教學(xué)過程中，針對不同的概念，教師應(yīng)該相應(yīng)地采取合適的、適應(yīng)學(xué)生心理水平和認(rèn)知水平的教學(xué)方法，進(jìn)而幫助學(xué)生在探索、辨析、感悟和應(yīng)用中理解概念、掌握概念，以達(dá)到最終培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

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（責(zé)編 盧建龍）