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    有限域上一類特殊方程的解數(shù)估計(jì)

    2019-06-16 06:54:00張起帆
    關(guān)鍵詞:子群特征值個(gè)數(shù)

    高 巍,張起帆

    (四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610064)

    1 引言

    對(duì)有限集合D 和正整數(shù)n ,用Dn表示D 的n 重笛卡爾積.對(duì)Dn的子集X ,用表示集合

    2018 年李吉有在第五屆川渝數(shù)論研討會(huì)上指出下列看似簡(jiǎn)單的方程的計(jì)數(shù)問題也很困難.

    為方便說明,我們引入記號(hào),設(shè)D ={a1,a2,…,an} 是環(huán)R 上的有限子集,方程a1x1+a2x2+… +anxn=0滿足xk∈D 且當(dāng)j ≠k 時(shí),xj≠xk的解的個(gè)數(shù)記為N(R,D) .

    其中方程(4)與計(jì)算有限域上q -2 次置換多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)本質(zhì)上是一樣的問題(見文獻(xiàn)[4]).實(shí)際上方程(4)已經(jīng)有很好的結(jié)果:Sergei Konyagin 和Francesco Pappalardi 在2002 年(見文獻(xiàn)[5 -6])利用容斥原理以及指數(shù)和的計(jì)算,給出了方程(4)解數(shù)的一個(gè)很好的估計(jì)特別是在q =p 的情形,同年,Pinaki Das(見文獻(xiàn)[7])利用矩陣的permanent 以及一個(gè)比較漂亮的代數(shù)方法構(gòu)造了生成函數(shù)的方法也得到類似的估計(jì)本文我們將利用該方法解決關(guān)于的子群的問題:

    在有限域Fp上,令正整數(shù)d |p -1 ,F(xiàn)?p的d 階子群μd={a1,a2,…ad} ,考慮方程=0 要求xk∈D 且當(dāng)j ≠k 時(shí),xj≠xk的解數(shù)問題.

    對(duì)于一般性問題還是困難的,本文的主要研究結(jié)果是如下的:

    定理1:在有限域Fp上,當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí),我們有

    2 準(zhǔn)備工作

    為證明定理1,我們首先介紹一些定義:

    定義2.1(見[8]):設(shè)A =(ajk)j,k=1,2,…,n是一個(gè)n 階方陣,則定義A 的permanent 為

    其中Sn是n 元對(duì)稱群,σ 取遍Sn中的n!個(gè)n 元置換.

    定義2.2:設(shè)A 是一個(gè)n 階復(fù)方陣并且記AH是矩陣A 的共軛轉(zhuǎn)置,矩陣AAH的特征值的平方根稱為矩陣A的奇異值.

    引理2.1:令A(yù) 是一個(gè)n 階復(fù)矩陣,令α1,α2,…αn是矩陣A 的奇異值.則有

    證明:參見文獻(xiàn)[9 -12].

    證明:由矩陣的permanent 定義,我們有

    所以per(A) 中xm的系數(shù)cm是方程a1x1+a2x2+… +anxn=m 并且要求xk∈D 以及當(dāng)j ≠k 時(shí),的解的個(gè)數(shù).當(dāng)要求m ≡0(modp) 時(shí),方程解數(shù)為

    .則我們有

    現(xiàn)在考慮1 ≤h≤p -1 的情況.

    所以我們有:

    3 定理的證明

    上一節(jié)我們已經(jīng)得到了方程解數(shù)的表達(dá)式,當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí),我們有- 1 是模p 的非二次剩余(文獻(xiàn)[13]),易知此時(shí),所以本質(zhì)上只需要計(jì)算per(V) 即可.下面我們根據(jù)引理2.1,利用矩陣V 的奇異值對(duì)per(V) 進(jìn)行估計(jì),即要計(jì)算VVH的特征值.

    顯然矩陣VVH是Hermite 矩陣,所以其特征值都是實(shí)數(shù)(見文獻(xiàn)[14]),接下來我們將要分為三步估計(jì)VVH的特征值:

    當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí),我們已經(jīng)知道Gauss 和(文獻(xiàn)[15])其中是Legendre 符號(hào).并且.所以有

    當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí),我們得到,當(dāng)1≤m≤p -1 時(shí)其中是Legendre 符號(hào).我們現(xiàn)在計(jì)算矩陣VVH第列的元素和:

    所以矩陣VVH每列的元素之和均為從而是矩陣VVH的一個(gè)特征值.

    第二步:證明矩陣VVH是半正定的:

    所以矩陣VVH是半正定陣.

    根據(jù)前兩步我們已經(jīng)知道矩陣VVH的特征值均為非負(fù)數(shù),設(shè)矩陣VVH的特征值為

    因在矩陣λE - VVH中每列的元素和均為,故有

    當(dāng)j ≠k 時(shí),

    當(dāng)j =k 時(shí),

    綜上并結(jié)合引理2.1 可以得到per(V) 的一個(gè)估計(jì):

    由于當(dāng)a,b ≥0 時(shí),恒有an+bn≤(a +b)n,所以由引理2.1 我們有:

    綜上并結(jié)合引理2.3,我們得到定理1.

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