錐b－度量空間中廣義Boyd－Wong 壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)

彭 榮

(廣東培正學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東 廣州 510830)

不動(dòng)點(diǎn)定理是解決非線性問(wèn)題的重要工具，在各個(gè)數(shù)學(xué)分支中應(yīng)用非常廣泛.1922 年，Banach 提出了壓縮映射原理.隨后，壓縮映射原理受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注和研究，得到了各種形式的推廣. 1998 年，Czerwik 在文獻(xiàn)[1]中提出了b 度量空間的概念，推廣了度量空間中的一些不動(dòng)點(diǎn)定理[2－5]. 2008 年，Huang and Zhang 在文獻(xiàn)[6]中用Banach 空間代替實(shí)數(shù)，提出了錐度量空間的概念，并證明了錐度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)存在和唯一性問(wèn)題，推廣了許多不動(dòng)點(diǎn)結(jié)論[7－11].2011 年，Hussain 和Shah 在文[12]中提出了錐b－度量空間的概念，推廣了錐度量空間和b－度量空間中的一些結(jié)論，獲得了錐b －度量空間中壓縮和非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理[13－16]. 本文在錐b －度量空間中，運(yùn)用偏序關(guān)系和迭代法，討論了一類廣義Boyd－Wong 壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性問(wèn)題，獲得了幾個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理，推廣了一些Boyd－Wong 壓縮映射及凸收縮映射的相關(guān)結(jié)果，并改進(jìn)了證明方法.

1 預(yù)備知識(shí)

為了后面闡述方便，下面介紹一些相關(guān)的概念與基本結(jié)論.

定義1 設(shè)E 為實(shí)Banach 空間，θ 表示E 中的零元，集P 為E 的一個(gè)子集，如果集合P 滿足:

(i) P 非空閉集且P ≠{θ} ；

(ii) ?a，b ∈R?，x，y ∈P ，則ax ＋by ∈P ；

(iii)若x ∈P ，－ x ∈P ，則x ＝θ ；

定義2 設(shè)X 為一個(gè)非空集合，E 是實(shí)Banach 空間，向量函數(shù)d:X × X →E ，滿足:

(ii)對(duì)任意x，y ∈X ，d(x，y) ＝d(y，x) ，

性質(zhì)1 設(shè)(X，d) 為錐b－度量空間，則

(i)若序列{xn} 收斂，則xn的極限唯一；

(ii)若序列{xn} 收斂序列則xn必為Cauchy 序列.

性質(zhì)2 映射φ:X →X 滿足條件

(i) φ 單調(diào)增，

(ii) φ(x) ＝θ?x ＝θ 且對(duì)任意r ?θ 都有φ(r) ?r ，

定義5 設(shè)(X，d) 是一個(gè)錐b－度量空間，s 為系數(shù)，映射T:X →X ，如果滿足

其中M(x，y) ＝max{d(x，y)，d(T(x)，T(y))，…，d(Tm－1(x)，Tm－1(y)) ，則稱映射T 滿足廣義Boyd －Wong 壓縮條件.

性質(zhì)3 設(shè)(X，d) 是一個(gè)錐b－度量空間，s 為系數(shù)，則對(duì)任意p，i ∈N 和x0，x1，x2，…，xp∈X ，都有

證明:任取p ∈N ，xi∈X 則

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(X，d) 為完備錐b－度量空間，系數(shù)s ≥1 ，P 為X 上的錐，T 是X 到X 的連續(xù)映射，如果存在m∈? ，對(duì)任意x，y ∈X 滿足廣義Boyd－Wong 壓縮條件，即

則T 在X 中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).

證明:任取x，y ∈X 且n ∈? ， 記xn: ＝Tn(x) ，yn: ＝Tn(y) ，記

命題1 序列{Mn(x，y)} 單調(diào)遞減

事實(shí)上，取x ＝xn，y ＝y(tǒng)n代入(1)式中，則

因?yàn)镸n＋1(x，y): ＝，所以

即序列{Mn(x，y)} 單調(diào)遞減.

事實(shí)上，由命題1 知序列{Mn(x，y)} 單調(diào)減，且Mn(x，y) ?θ. 任取n ∈? i ∈{0，1，2，3，…，(m －1)} ，取x: ＝xn＋i，y: ＝y(tǒng)n＋i代入(1)式，則

由數(shù)學(xué)歸納法可以證明Mn＋km≤φk(Mn(x，y)) . 事實(shí)上，當(dāng)k ＝1 時(shí)，結(jié)論顯然成立. 假設(shè)對(duì)n ＝k 時(shí)結(jié)論成立，即Mn＋km≤φk(Mn(x，y)) .則當(dāng)n ＝k ＋1 時(shí)，

令x ＝xn＋km＋i，y ＝y(tǒng)n＋km＋i，其中i ＝0，1，2，…，m －1 ，代入(1)式得

Mn＋(k＋1)m(x，y): ＝max{d(xn＋km，yn＋km)，d(xn＋km＋1，yn＋km＋1)，…，d(xn＋km＋m－1，yn＋km＋m－1)} 因此，Mn＋(k＋1)m(x，y)

命題3 序列{xn} 為cauchy 序列

(i) d(xmk，xnk) ?ε0，其中

(ii) d(xmk－1，xnk) ?ε0.

取C: ＝(s3＋1)ε0，則當(dāng)mk> nk> n′＝max{n0，n1} 時(shí)，有

當(dāng)i ∈{1，2，3，…，m －1} 時(shí)，有

又因?yàn)镸0(xnk，xmk) ＝max{d(xnk，xmk)，d(xnk＋1，xmk＋1)…d(xnk＋m－1，xmk＋m－1)} ，則

綜上，對(duì)于k ∈N ，當(dāng)nk≥nε1時(shí)，由

顯然矛盾，由反證法可知 { xn}為cauchy 序列.

由于(X，d) 為完備錐b－度量空間，則存在x′∈X ，使得又由T 的連續(xù)性可知

即x′是映射T 的不動(dòng)點(diǎn).

T 的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的.事實(shí)上，假設(shè)x 不是唯一不動(dòng)點(diǎn)，即存在x?≠x′，也滿足T(x?) ＝x?，代入(1)式，則

顯然，矛盾. 因此假設(shè)不成立，即T 在X 中有唯一不動(dòng)點(diǎn).

推論1 設(shè)(X，d) 是一個(gè)完備錐b－度量空間，系數(shù)s ≥1 ，P 為X 上的錐，T 是X 到X 的連續(xù)映射，滿足Boyd－Wong 壓縮條件，即存在m ∈? ，對(duì)任意x，y ∈X ，

則T 在X 中有唯一不動(dòng)點(diǎn).

證明:令m ＝1 ，則M(x，y) ＝d(x，y) ， 類似定理1 證明即可.

推論2 設(shè)(X，d) 是一個(gè)完備錐b－度量空間，系數(shù)s ≥1 ，P 為X 上的錐，映射T:X →X 連續(xù)，且存在m ∈N ，k ∈[0，1) ，使得:

則映射T 在X 中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).

證明:由推論1，令φ(t) ＝kt

推論3 設(shè)(X，d) 是一個(gè)完備錐b－度量空間，系數(shù)s ≥1 ，P 為X 上的錐，T 是X 到X 的連續(xù)映射，且存在，使得:

則映射T 在X 中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).

定理1 可知，T 在X 中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

特別地，在推論3 中令m ＝2 ，則有

推論4 設(shè)(X，d) 是一個(gè)完備錐b－度量空間，系數(shù)s ≥1 ，P 為X 上的錐，T 是X 到X 的連續(xù)映射，且存在m ∈? ，a0，a1∈[0，1) ，0 ≤a0＋a1< 1 ，使得:

則T 在X 中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).