Bogdanov-Takens系統(tǒng)在分段低次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界

崔文喆，李寶毅，張永康

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

1 引言與主要結(jié)果

Hamilton 系統(tǒng)在擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)是常微分方程定性理論研究的熱門課題之一，它不僅與弱Hilbert 第16 問(wèn)題密切相關(guān)，而且還有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值.Bogdanov-Takens 系統(tǒng)在常微分方程定性理論中具有極其重要的地位，相關(guān)學(xué)者對(duì)其擾動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究[1-9]，如，文獻(xiàn)[7]證明了在n 次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，當(dāng)一階Melnikov函數(shù)M（1h）0 時(shí)，極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界為n-1；文獻(xiàn)[8]證明了在n 次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，當(dāng)M（1h）≡0，而M（2h）0 時(shí)，極限環(huán)個(gè)數(shù)的最小上界為2n-2（n 為正偶數(shù)）或2n-3（n 為大于1 的奇數(shù)）；文獻(xiàn)[9]證明了當(dāng)Mk0，而Mi≡0（1≤i≤k - 1）時(shí)，M（kh）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的上界為k（n-1）.近年來(lái)，非光滑系統(tǒng)由于在控制理論、沖擊摩擦力學(xué)等許多領(lǐng)域有重要應(yīng)用，因而受到相關(guān)學(xué)者的關(guān)注[10-13].文獻(xiàn)[10]利用Picard-Fuchs 方程和Chebyshev 準(zhǔn)則證明了2 類非連續(xù)Hamilton 系統(tǒng)分別可以存在5 個(gè)和6 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[11]證明了一類具有雙同宿閉軌的分段Hamilton 系統(tǒng)在擾動(dòng)下可以存在14 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[12]證明了一類分段系統(tǒng)在n 次多項(xiàng)式擾動(dòng)下最多存在n 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[13]證明了Bogdanov-Takens 系統(tǒng)在分段n 次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為12n+6.

本文將平面分為左右2 個(gè)區(qū)域，研究在分段一次和二次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的Bogdanov-Takens 系統(tǒng)

極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界，其中：0<ε?1，n=1、2；

當(dāng)ε=0 時(shí)，系統(tǒng)（1）ε=0的Hamilton 函數(shù)為

設(shè)Γh與y 軸正半軸交于點(diǎn)與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)與x 軸正半軸交于點(diǎn)Bh（sh，0）.記B2（j）（B2c（j））為系統(tǒng)（1）ε在（連續(xù)）分段j次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界.本研究得到如下結(jié)論.

定理1對(duì)于系統(tǒng)（1）ε，當(dāng)M1（h）不恒為0 時(shí)，有如下結(jié)論成立：

（1）當(dāng)n ＝1 時(shí)，2≤B2（1）≤3.

（2）當(dāng)n=2 時(shí)，5≤B2（2）≤7.

定理2對(duì)于系統(tǒng)（1）ε，若Pn+（0，y）≡Pn-（0，y），Qn+（0，y）≡Qn-（0，y），則當(dāng)M1（h）不恒為0 時(shí)，有如下結(jié)論成立：

（1）當(dāng)n=1 時(shí)，B2c（1）=1.

（2）當(dāng)n=2 時(shí)，3≤B2c（2）≤5.

2 一階Melnikov函數(shù)的計(jì)算

引理1I0+′、 I1+′、 I0+″、 I1+″滿足Picard-Fuchs 方程組

其中：

證明考慮積分

因?yàn)?/p>

所以式（4）兩邊同時(shí)對(duì)h 求導(dǎo)可得

則有

考慮

因?yàn)?/p>

所以式（6）兩邊同時(shí)對(duì)h 求導(dǎo)可得

則有

聯(lián)立式（5）和式（7）解方程組可得

因此式（2）成立.

式（5）兩邊同時(shí)對(duì)h 求導(dǎo)可得

因此

式（7）兩邊同時(shí)對(duì)h 求導(dǎo)可得

因此

分別將式（10）和式（11）帶入式（5）和式（7），并解方程組可得

因此式（3）成立.證畢.

與引理1 同理，可得推論1 和推論1*.

推論1I0-′、 I1-′、 I0-″、 I1-″滿足Picard-Fuchs 方程組

其中系數(shù)多項(xiàng)式的定義同引理1.

推論1*令則I0′、 I1′、 I0″、 I1″滿足Picard-Fuchs 方程組

其中系數(shù)多項(xiàng)式的定義同引理1.

設(shè)x = ρcosθ，y = ρsinθ，代入H（x，y）=h 得ρ2-則h→0+?δ→0+，因此，在h=0+附近，ρ 關(guān)于δ 的Taylor 展開式可表示為

引理2（1）在h=0+附近，I0＋、I0-滿足

（2）在h=0+附近，I1＋、I1-滿足

證明令x=ρcosθ，y=ρsinθ，因?yàn)椋?1+ρcos3θ）dt，所以因此有

將式（14）代入上式，可得δ2的系數(shù)為的系數(shù)為因此有

由式（12）可得I0＋滿足

其對(duì)應(yīng)的齊次方程為

由文獻(xiàn)[14]知方程（16）在h=0+鄰域內(nèi)存在收斂的冪級(jí)數(shù)解因此當(dāng)時(shí)，Y1（h）＞0.由齊次線性微分方程的通解公式可得方程（16）存在另一個(gè)基本解

結(jié)論（2）同理可證.證畢.

命題系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

其中系數(shù)ci（i = 1，2，…，6）關(guān)于多項(xiàng)式系數(shù)pij+、 pij-、qij+、qij-相互獨(dú)立.

證明當(dāng)n=1 時(shí)，

因此系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

故式（17）成立.

當(dāng)n=2 時(shí)，

因此系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

3 一階Melnikov函數(shù)零點(diǎn)的估計(jì)

引理3[15-16]設(shè)Ψk（h）為上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)0

引理4設(shè)J 為一個(gè)區(qū)間，h∈J，P1（h）、P0（h）與R（h）為J 上的連續(xù)函數(shù)，且方程

存在一個(gè)在J 上沒有零點(diǎn)的解Ψ1（h），則方程

的任一解在J 上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)2 + r（計(jì)重?cái)?shù)），其中r 為R（h）在J 上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù).

證明設(shè)Ψ2（h）為方程（20）的一個(gè)解，令Z（h）=Ψ1（h）Ψ2′（h）-Ψ1′（h）Ψ2（h），則結(jié)合式（19）和式（20）可得

因?yàn)镼（h）和Ψ1（h）在區(qū)間J 上無(wú)零點(diǎn)，由此可知Q（h）Ψ1（h）R（h）在J 上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)為r（計(jì)重?cái)?shù)）.根據(jù)文獻(xiàn)[17]，Q（h）Z（h）在J 上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)r+1（計(jì)重?cái)?shù)），即Z（h）在J 上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)r+1（計(jì)重?cái)?shù)）.

定理1的證明（1）當(dāng)n=1 時(shí)，

由于c1、π（c1+c2）、c1+c2關(guān)于ci（1≤i≤3）是滿秩的，因此由引理3 知，存在ci（1≤i≤3），使得M1（h）至少存在2 個(gè)正變號(hào)零點(diǎn)，即存在一次多項(xiàng)式P1＋（x,y）、P1-（x,y）、Q1＋（x,y）和Q1-（x,y），使得擾動(dòng)系統(tǒng)（1）ε至少存在2 個(gè)極限環(huán).

（2）當(dāng)n=2 時(shí)，

則有

其中：

下面估計(jì)r1=#（M*（h）），定義二階微分算子

并令φ（h）=-（6h-1）I0′+5I0，結(jié)合推論1*可得φ（h）=由文獻(xiàn)[18]可知，當(dāng)h∈時(shí)，I0＞7I1＞0，故#（φ（h））=0，且

因此L2（h）φ（h）=0.

因?yàn)?/p>

所以

同理可得

所以L2（h）M*（h）=h-3/2w2（h），其中

且deg（w2（h））≤3，則在內(nèi)有r2=#（h-3/2w2（h））≤3，由引理4 知在內(nèi)有r1=#（M*（h））≤2+r2≤5，#（M1（h））≤2+r1≤7，即當(dāng)M1（h）不恒為0 時(shí)，系統(tǒng)（1）ε至多存在7 個(gè)極限環(huán).綜上5≤B2（2）≤7.

定理2的證明（1）當(dāng)n ＝1 時(shí)，在式（17）中，c3=關(guān)于獨(dú)立，即

由引理3 知，M1（h）至少存在1 個(gè)正變號(hào)零點(diǎn)，即連續(xù)系統(tǒng)（1）ε至少存在1 個(gè)極限環(huán).

由引理3 知，M1（h）至少存在3個(gè)正變號(hào)零點(diǎn)，即連續(xù)系統(tǒng)（1）ε至少存在3個(gè)極限環(huán).同時(shí)有