問渠那得清如許 為有源頭活水來

馬兆兵

數(shù)學(xué)教材中的例題和習(xí)題是教材的重要組成部分，也是一些中考題的來源。我們在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)從教材入手，理清知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，既要知其然，又要知其所以然。

【原題再現(xiàn)】蘇科版八（上）95頁第21題：

在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8。（1）將矩形紙片沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處（如圖1），設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，求BF的長；（2）將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合（如圖2），求折痕GH的長。

圖1

圖2

【解析】（1）設(shè)BF=x，由題意可得，∠FDB=∠ADB=∠FBD，即DF=BF=x，則CF=8-x。則在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即（8-x）2+62=x2，解

圖3

【點(diǎn)評】本題給出了兩種不同形式的折疊，都能體現(xiàn)折疊的基本性質(zhì)：折疊只改變了圖形的位置，沒有改變圖形的形狀、大小。在解決問題時(shí)，需要充分利用已知條件，合理使用平行線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理等知識。

考點(diǎn)一 折疊中的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

例1 如圖4，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 。

圖4

圖5

【解析】如圖5，由折疊得：∠CBO=∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE。

在△ODE和△BAE中，

∴△ODE≌△BAE（AAS），

∴AE=DE。

設(shè)DE=AE=x，則有OE=BE=8-x。

在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得：OD2+DE2=OE2，即42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即DE=3，OE=5。

【點(diǎn)評】求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在求點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離。常利用勾股定理或等積法求有關(guān)線段的長。

考點(diǎn)二 折疊中的三角函數(shù)問題

例2 如圖6，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE、DE分別交AB于點(diǎn)O、F，且

OP=OF，則cos∠ADF的值為（ ）。

圖6

【解析】根據(jù)折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP。

在△OEF和△OBP中，

∴△OEF≌△OBP（AAS），

∴OE=OB，EF=BP。

設(shè) EF=x，則 BP=x，DF=DE-EF=4-x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，∴AF=AB-BF=1+x。

在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4-x）2，解得：，∴DF=4-x=，∴cos

故選：C。

【點(diǎn)評】三角函數(shù)問題一般是在直角三角形中研究，若題目給出的不是直角三角形，可以通過作一邊上的高得到。有時(shí)也可以通過等角的性質(zhì)，將角轉(zhuǎn)換，再根據(jù)相似三角形（或全等三角形）求出對應(yīng)角的三角函數(shù)值。

考點(diǎn)三 折疊中的最值問題

例3 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是 。

圖7

圖8

【解析】見圖8，延長FP，交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小。

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB= AC2+BC2=10，∴，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2，∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2。

【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵在于能正確確定點(diǎn)P的位置。點(diǎn)到線的距離就是點(diǎn)到線的垂直距離，因此當(dāng)F、P、M在一條直線上，P到AB的距離最小。

考點(diǎn)四 菱形的折疊

例4 對角線長分別為6和8的菱形ABCD，如圖9所示，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O折疊菱形，使B、B′兩點(diǎn)重合，MN是折痕。若B′M=1，則CN的長為（ ）。

A.7 B.6 C.5 D.4

圖9

圖10

【解析】連接AC、BD，如圖10，∵點(diǎn)O為菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)，∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°。

在Rt△COD中，CD=32+42=5。

∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM

和△ODN中，

∴△OBM≌△ODN（ASA），

∴DN=BM。

∵過點(diǎn)O折疊菱形，使B、B′兩點(diǎn)重合，MN 是折痕，∴BM=B′M=1，∴DN=1，∴CN=CD-DN=5-1=4。

故選：D。

【點(diǎn)評】菱形折疊問題有時(shí)還需要根據(jù)菱形的一些特殊性質(zhì)如四邊相等、對角線互相垂直等解決問題。

考點(diǎn)五 折疊中的角度問題

例5 如圖11，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，已知∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB= 。

圖11

【解析】由折疊的性質(zhì)可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB?！唷螮GH-∠EGB=∠EBC-∠EBG，即：∠GBC=∠BGH。又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC?！唷螦GB=∠BGH?！摺螪GH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°。故答案為：75°。

【點(diǎn)評】判斷折疊中對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分是解決此類問題的關(guān)鍵。

折疊問題只是教材習(xí)題中的冰山一角，但可以衍生出很多類型的中考試題。因此，我們在復(fù)習(xí)時(shí)，要學(xué)會回歸教材，注重“知識的形成與結(jié)論并重”，從而達(dá)到“舉一反三”“觸類旁通”的效果。