從度量衡單位看初唐算法文化的多樣性

朱一文

(中山大學(xué)哲學(xué)系暨邏輯與認(rèn)知研究所，廣州 510275)

1 前 言

1.1 問(wèn)題的提出

在今天的數(shù)學(xué)中，不帶度量衡單位的數(shù)與帶單位的數(shù)具有截然不同的含義——前者是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象之一，代表著某種程度的抽象；后者則往往與具體的應(yīng)用相聯(lián)系。兩者分野的關(guān)鍵在于是否帶單位。這也體現(xiàn)在對(duì)于帶單位的數(shù)的計(jì)算之中——其核心思想是統(tǒng)一單位、再分離處理單位和數(shù)。大致而言可以分作如下幾步：(1) 把不同的量換算成同一單位；(2) 抽離單位，進(jìn)行純數(shù)字計(jì)算，得到數(shù)字結(jié)果；(3) 對(duì)單位進(jìn)行處理，得到單位結(jié)果；(4)數(shù)字結(jié)果加上單位結(jié)果得到最終的結(jié)果。例如3米×3千米=3米×3000米=9000平方米。就此而言，單位在今天的數(shù)學(xué)實(shí)作中并未處于重要的位置。那么，這樣一種與“不帶單位—帶單位”“抽象—具體”有關(guān)的數(shù)學(xué)思想，在漫長(zhǎng)的歷史中是否始終如一？如果不是，它是如何形成的？

簡(jiǎn)而言之，這種數(shù)學(xué)思想當(dāng)然是在漫長(zhǎng)歷史中形成的。通過(guò)一些學(xué)者的研究，我們知道古埃及數(shù)學(xué)采用的是非位值制的十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)，有專(zhuān)門(mén)的單位換算表進(jìn)行計(jì)算([1]，頁(yè)11—34)；古巴比倫數(shù)學(xué)采用位值制的六十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)，它本身就從度量衡單位演變而來(lái)([2]，頁(yè)75—83； [3])。由此可見(jiàn)，在最古老的兩大古數(shù)學(xué)文明中，度量衡單位已經(jīng)起到了超過(guò)其在今天數(shù)學(xué)中所起的作用。

相對(duì)而言，我們對(duì)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)中度量衡單位與數(shù)學(xué)實(shí)作的關(guān)系還了解不多。中國(guó)古代依靠算籌表達(dá)數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，這樣產(chǎn)生了兩種情況：算籌數(shù)字是抽象的不帶單位的數(shù)，或者它們是單位為“筭”的數(shù)[注]傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)如《九章筭術(shù)》支持第一種情況，而正史中的歷法文獻(xiàn)則支持第二種情況。。這樣在計(jì)算中，或者是先剝離數(shù)量的單位，或者是先統(tǒng)一轉(zhuǎn)換成“筭”，得到數(shù)字結(jié)果后再配上和轉(zhuǎn)換回所求之單位[注]這里的說(shuō)法是以漢唐籌算為中心。在此之前之后，各有不同情況。[4]。然而，近來(lái)林力娜和馬彪的研究表明，在簡(jiǎn)牘中的單位換算實(shí)際幫助和參與了數(shù)字計(jì)算[5]。筆者近年來(lái)的系列研究則表明儒家經(jīng)典中有未被前人所研究的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，而其所反映的數(shù)學(xué)實(shí)作揭示出儒家對(duì)數(shù)的理解不同于籌算體系[6—10]。這些研究都說(shuō)明本文所關(guān)心的議題仍有進(jìn)一步研究的空間。

因此，本文的思路是先通過(guò)分析儒家經(jīng)典中的相關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，揭示出不為學(xué)界所知的儒家對(duì)于度量衡單位的一種計(jì)算用法，進(jìn)而與籌算的做法相比較。由此，豐富和增進(jìn)我們對(duì)于中國(guó)古代有關(guān)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，深化對(duì)于數(shù)學(xué)史的理解。

1.2 文獻(xiàn)及其歷史語(yǔ)境

本文分析的核心文獻(xiàn)是賈公彥對(duì)《儀禮》喪禮飲粥制度“朝一溢米，夕一溢米”及其鄭玄(127—200)注的疏解。賈氏是初唐經(jīng)學(xué)家，生卒年不詳，尤善三禮之學(xué)[注]三禮之學(xué)，指關(guān)于《禮記》《周禮》《儀禮》的學(xué)問(wèn)。，留存至今的著作有《周禮注疏》[11]和《禮儀注疏》[12]兩部[注]據(jù)《舊唐書(shū)》，賈公彥于永徽年間(650—655年)官至太學(xué)博士([13]，頁(yè)4950)；而《周禮注疏》和《禮儀注疏》賈氏的官名都是太學(xué)博士，由此大致可以推測(cè)兩書(shū)完成于650—655年之間。。在該段注疏中，賈氏的計(jì)算對(duì)度量衡單位的運(yùn)用極具特色，為其他文獻(xiàn)所罕見(jiàn)。此外，在初唐大儒孔穎達(dá)(574—648)領(lǐng)銜注疏的《禮記》《春秋左傳》中，也有對(duì)喪禮飲粥制度的解釋。一方面，在孔氏等對(duì)《禮記》的注疏中，其解釋與計(jì)算接近賈氏的注疏[注]實(shí)際上，賈公彥也在孔穎達(dá)的領(lǐng)導(dǎo)下參與了對(duì)《禮記》的注疏([14]，頁(yè)1433)。由此，此處《禮記》注疏可以理解為賈氏的做法。；另一方面，在孔氏等對(duì)《春秋左傳》的注疏中，他們采取了與賈氏不同的計(jì)算與解釋。據(jù)此，本文可以呈現(xiàn)出儒家內(nèi)部對(duì)度量衡單位的不同運(yùn)用。

同時(shí)，由于北周甄鸞所撰的《五經(jīng)算術(shù)》[注]《五經(jīng)算術(shù)》是初唐十部算經(jīng)之一，該書(shū)共38問(wèn)，其中甄鸞用籌算方法解決儒家經(jīng)典中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，李淳風(fēng)等又為之注釋。也收錄了“朝一溢米，夕一溢米”問(wèn)題，初唐算家李淳風(fēng)(602—670)等對(duì)之注釋?zhuān)疚囊鄬?duì)之進(jìn)行分析，以顯示算家在計(jì)算中對(duì)度量衡單位的運(yùn)用又不同于儒家。

尤其值得注意的是，賈公彥、孔穎達(dá)、李淳風(fēng)等人對(duì)于喪禮“朝一溢米，夕一溢米”的不同注解，實(shí)際同時(shí)發(fā)生在初唐繁盛的注經(jīng)活動(dòng)中，而且三人互相認(rèn)識(shí)。在儒家經(jīng)典方面，孔穎達(dá)和長(zhǎng)孫無(wú)忌領(lǐng)銜諸儒注疏“五經(jīng)”[注]指《周易》《尚書(shū)》《毛詩(shī)》《禮記》和《春秋左傳》五部儒家經(jīng)典。對(duì)此的專(zhuān)門(mén)研究，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。，并于永徽四年(653年)完成；此外，還有賈公彥、徐彥、楊士勛等人對(duì)經(jīng)典的獨(dú)立注解。在算家經(jīng)典方面，李淳風(fēng)等人[注]與李淳風(fēng)一同注釋算經(jīng)的是算學(xué)博士梁述和太學(xué)助教王真儒。唐代十部算經(jīng)指《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《無(wú)草算經(jīng)》《輯古算經(jīng)》和《綴術(shù)》。后來(lái)《綴術(shù)》遺失，宋人便把《數(shù)術(shù)記遺》補(bǔ)入，便成為我們今天看到的《算經(jīng)十書(shū)》。在顯慶元年(656年)完成了對(duì)于十部算經(jīng)的注釋([13]，頁(yè)2719)，《五經(jīng)算術(shù)》位列其中。因此，諸家所反映的與度量衡單位計(jì)算有關(guān)的數(shù)學(xué)思想與實(shí)作，實(shí)際折射出初唐算法文化的多樣性。

2 儒家與算家：諸家對(duì)喪禮飲粥制度的注解

2.1 《儀禮》與鄭玄注

《儀禮·喪服》曰：

飲粥，朝一溢米，夕一溢米。([12]，頁(yè)1097)

這是講在喪禮中一個(gè)人每天早晚只能各飲一溢米的粥。鄭玄《儀禮》注：

二十兩曰溢，為米一升二十四分升之一。([12]，頁(yè)1097)

鄭玄《禮記·喪大記》注則云：

二十兩曰溢，于粟米之法，一溢為米一升二十四升之一。([16]，頁(yè)1576)

粟米之法載于《九章算術(shù)》，可以用來(lái)計(jì)算各種谷物的比率，以及容積和體積的計(jì)算。鄭玄據(jù)此指出：溢是重量單位，1溢=20兩；進(jìn)而轉(zhuǎn)換算成容積相當(dāng)于1升1/24升。鄭玄注不僅沒(méi)有給出這一換算的具體計(jì)算過(guò)程，而且實(shí)際留下了一個(gè)隱藏的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得之后的學(xué)者得以在其中發(fā)揮和探討數(shù)學(xué)。

其實(shí)，鄭玄斷定溢為重量單位可能是不正確的。根據(jù)今人的研究，溢在先秦有時(shí)為重量單位，有時(shí)為容量單位([17]，頁(yè)34—35，頁(yè)139—142)。然而，鄭玄注的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)引入對(duì)儒家經(jīng)典的注釋中。東漢末年，經(jīng)學(xué)章句繁多；鄭玄博覽群經(jīng)，兼習(xí)眾說(shuō)，融合古今文說(shuō)，完成經(jīng)學(xué)的統(tǒng)一([18]，頁(yè)160—161)。曾在馬融(79—166)門(mén)下的鄭玄與馬融一樣，擅長(zhǎng)利用數(shù)學(xué)來(lái)注解經(jīng)典，由此形成了獨(dú)特的風(fēng)氣。鄭玄注《周禮》“氏為量”也引《九章算術(shù)》“粟米法”([11]，頁(yè)917)，他又引鄭眾注給出了《周禮》六藝之一的“九數(shù)”名目，由此與《九章算術(shù)》相聯(lián)系([11]，頁(yè)731)。錢(qián)寶琮認(rèn)為“《九章算術(shù)》與許慎《說(shuō)文解字》相仿，是東漢初年儒學(xué)的一部分，與儒家的傳統(tǒng)思想有密切關(guān)系。”([19]，頁(yè)688)實(shí)際上，將數(shù)學(xué)與經(jīng)典相聯(lián)系，是馬鄭等人形成的風(fēng)氣，在他們的注釋中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題引發(fā)了后世儒家與算家的持續(xù)探討。本文將依次分析賈公彥、孔穎達(dá)、甄鸞、李淳風(fēng)等的相關(guān)注解，揭示諸家計(jì)算中對(duì)度量衡單位的不同用法。

2.2 賈公彥注疏

賈公彥《儀禮》注疏云：

云“二十兩曰溢，為米一升二十四分升之一”者，依筭法，百二十斤曰石，則是一斛。若然，則十二斤為一斗。取十斤分之，升得一斤，余二斤。斤為十六兩，二斤為三十二兩。升取三十兩，十升，升得三兩。添前一斤十六兩，為十九兩，余二兩。兩為二十四銖，二兩為四十八銖。取四十銖，十升，升得四銖，余八銖。一銖為十絫，八銖為八十絫。十升，升得八絫。添前則是一升得十九兩四銖八絫。于二十兩仍少十九銖二絫。([12]，頁(yè)1098)

此處賈氏從120斤=1石(重量)，相當(dāng)于1斛(容積)出發(fā)[注]對(duì)于體積容積的換算關(guān)系，林力娜和馬彪有很好的研究。參見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。。因1斛=10斗=100升，于是12斤相當(dāng)于1斗，即10升。于是，1斤相當(dāng)于1升，余下2斤(無(wú)法被10升整除)。因1斤=16兩，2斤=32兩。于是，3兩相當(dāng)于1升(加上前面1斤得到19兩)，又余下2兩(無(wú)法被10升整除)。又因1兩=24銖，2兩=48銖。于是，4銖相當(dāng)于1升，又余下8銖(無(wú)法被10升整除)。又因1銖=10絫，8銖=80絫。這恰好可以被10升整除，得到8絫相當(dāng)于1升。于是得到19兩4銖8絫相當(dāng)于1升，見(jiàn)表1。

表1 賈公彥19兩4銖8絫～1升的計(jì)算過(guò)程

于是賈氏得到19兩4銖8絫～1升，因?yàn)樾枰⑹璧氖?0兩～1升1/24升，所以賈氏繼續(xù)注疏云：

則別取一升，破為十九兩四銖八絫。分十兩，兩為二十四銖，則為二百四十銖。又分九兩，兩為二十四銖，則九兩者二百一十六銖。并四銖八絫，添前四百六十銖八絫?？倿槎姆?。直取二百四十銖，余二百二十銖八絫在。又取二百一十六銖，二十四分，分得九銖。添前分得十九銖。有四銖八絫。四銖，銖為十絫，總為四十絫。通八絫為四十八絫。二十四分，分得二絫。是一升為二十四分。([12]，頁(yè)1098)

此段中賈氏又另取1升，對(duì)應(yīng)于19兩4銖8絫。依據(jù)1兩=24銖，19兩4銖8絫=460銖8絫。又460銖8絫=240銖+216銖+48絫，于是它的1/24為10銖+9銖+2絫=19銖2絫，相當(dāng)于1/24升，即19銖2絫～1/24升。

賈氏繼云：

分得十九銖，添前四銖為二十三銖。將二絫添前八絫，則為十絫，則十絫為一銖。以此一銖添前二十三銖，則為二十四銖，為一兩。一兩添十九兩，總二十兩曰溢。([12]，頁(yè)1098)

把19銖2絫(～1/24升)加上19兩4銖8絫(～1升)，就得到20兩～1升1/24升。賈氏便完成了注疏。總之，賈氏的思路和方法可以總結(jié)為：從1石～1斛出發(fā)，先求出1升相當(dāng)于多少重的米；而后二十四分之，求得1/24升相當(dāng)于的米重量。把兩者相加便得到20兩～1升1/24升。在《儀禮·既夕禮》中，賈公彥也有一處有類(lèi)似的注疏，方法思路大致相同，不再贅述([12]，頁(yè)1161—1162)。

觀賞者沿肥城路自西向東行走，金城銀行率先進(jìn)入視野，建筑頂部設(shè)計(jì)的仿歐洲古典市政廳式鐘樓成為正對(duì)對(duì)景.因銀行所處地勢(shì)較低，所以高聳的鐘樓并不會(huì)使人感覺(jué)突兀.此時(shí)，由于肥城路經(jīng)過(guò)河南路后向西北偏折，導(dǎo)致觀賞者視線(xiàn)受阻，從而令圣彌厄爾教堂巧妙地“隱藏”到了后面.當(dāng)觀賞者繼續(xù)東行，轉(zhuǎn)過(guò)河南路路口，視野才豁然開(kāi)朗，教堂建筑出現(xiàn)在視線(xiàn)盡端(圖7).在此過(guò)程中，城市道路通過(guò)方向的變化起到隔景的效果，可謂一步一景，吸引著人們不斷前行，這也是西特“連續(xù)對(duì)景”理念的典型表現(xiàn).

2.3 孔穎達(dá)等注疏

孔穎達(dá)等在《禮記·喪大記》注疏同樣的內(nèi)容，云：

云“一溢為米一升二十四分升之一”者，案《律歷志》：黃鍾之律，其實(shí)一龠?！堵蓺v志》：合龠為合。則二十四銖合，重一兩。十合為一升，升重十兩。二十兩則米二升。與此不同者，但古秤有二法。([16]，頁(yè)1576)

孔氏先指出《律歷志》[注]根據(jù)內(nèi)容，此《律歷志》應(yīng)為《漢書(shū)·律歷志》。中有另一套度量衡系統(tǒng)。1兩=24銖(重量)～1合=1/10升(容積)，因此1溢=20兩～2升，與鄭玄給處的數(shù)值(1升1/24升)不同。但“古秤有二法”，因此：

說(shuō)《左傳》者云：“百二十斤為石”，則一斗十二斤，為兩則一百九十二兩。則一升為十九兩有奇。今一兩為二十四銖，則二十兩為四百八十銖。計(jì)一十九兩有奇為一升，則總有四百六十銖八絫。以成四百八十銖，唯有十九銖二絫在。是為米一升二十四分升之一。此大略而言之。([16]，頁(yè)1576)

孔氏等這里給了非常簡(jiǎn)略的解釋?zhuān)此^“大略而言之”。從1石=120斤～10斗，得到12斤=192兩～1斗=10升。于是19兩有奇～1升[注]根據(jù)賈公彥注疏，此19兩有奇應(yīng)為19兩4銖8絫。。此19兩有奇=460銖8絫(沒(méi)有給處計(jì)算過(guò)程)，與20兩(480銖)相比，正好少19銖2絫(相當(dāng)于1/24升)。于是19兩有奇+19銖2絫=20兩～1升1/24升。由此可見(jiàn)，孔氏此處的計(jì)算基本與賈氏相同。

有趣的是，孔氏等在《春秋左傳正義》中，注疏同樣的內(nèi)容，給出了詳細(xì)地計(jì)算過(guò)程：

孔氏等也從1斛=10斗～120斤，得到12斤=192兩～1斗=10升。接著，孔氏等為了便于計(jì)算引入新的單位“分”(10分=1兩)，于是19兩2分～1升。19兩2分比20兩少8分?？资系仍偃?升，對(duì)應(yīng)19兩2分=192分。則1/24升對(duì)應(yīng)8分(192÷24=8)。這樣，20兩(19兩2分+8分)～1升1/24升。具體細(xì)節(jié)見(jiàn)表2。

表2 孔穎達(dá)等的計(jì)算過(guò)程

孔穎達(dá)等的兩處注疏，《禮記》中的較為粗略，大概與賈公彥在《儀禮》中的算法類(lèi)似。《春秋左傳》中，孔氏等為了使得計(jì)算簡(jiǎn)便，引入新的重量單位“分”，1兩=10分。這樣使得孔氏等跳過(guò)了1兩=24銖，從而避免了反復(fù)轉(zhuǎn)換單位直到是10的倍數(shù)的過(guò)程(見(jiàn)表1)。賈疏和孔疏相同之處在于，兩者對(duì)于鄭玄給出的20兩～1升1/24升，都是分作兩段注疏，即分別注1升和1/24升。

2.4 甄鸞、李淳風(fēng)等注釋

此問(wèn)也恰好被收入《五經(jīng)算術(shù)》，甄鸞、李淳風(fēng)等分別有注釋?zhuān)屛覀兛纯此麄兪窃趺醋龅模?/p>

喪服制食米溢數(shù)法：

“朝一溢米，夕一溢米?！弊⒃疲骸岸畠稍灰?，一溢為米一升、二十四分升之一。”

甄鸞按：一溢米一升二十四分升之一法：置一斛米，重一百二十斤，以十六乘之，為積一千九百二十兩。以溢法二十兩除之，得九十六溢為法。以米一斛為百升為實(shí)。實(shí)如法，得一升。不盡四升，與法俱再半之，名曰二十四分升之一。稱(chēng)法，三十斤曰鈞，四鈞曰石，石有一百二十斤也。所以名斛為石者，以其一斛米重一百二十斤故也。

臣淳風(fēng)等謹(jǐn)按：其問(wèn)宜云：《喪服》朝一溢米，夕一溢米，鄭注云：“二十兩曰溢，為米一升二十四分升之一?！庇笃渲溉绾?。術(shù)曰：置一斛升數(shù)為實(shí)。又置一斛米重斤數(shù)，以斤法十六兩乘之，所得，以溢法二十除之，為法。實(shí)如法得一升。不盡者與法俱再半之，即得分也。([22]，頁(yè)342)

甄鸞由1斛=100升～120斤=1920兩，把1920除以20得到96(稱(chēng)為溢法)，即1920兩=96溢，于是100升～96溢。把100除以96便得到，1溢～1升1/24升。

李淳風(fēng)對(duì)于甄鸞的算法進(jìn)行了抽象化的描述。“置一斛升數(shù)為實(shí)”，就是把100升作為被除數(shù)?！坝种靡货字亟飻?shù)，以斤法十六兩乘之，所得，以溢法二十除之，為法?！本褪?20×16÷20=96(溢)作為除數(shù)。兩者相除便得到結(jié)果。甄注、李注運(yùn)用了數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表明他們有一個(gè)在文本之外的籌算過(guò)程。

3 結(jié)語(yǔ)

3.1 諸家計(jì)算中對(duì)度量衡單位運(yùn)用之差別

通過(guò)上述例子可見(jiàn)諸家對(duì)于度量衡單位運(yùn)用之不同。由于這些不同之處事實(shí)上也反映在其他儒學(xué)經(jīng)典和算學(xué)經(jīng)典中，因此可以說(shuō)具有一般性[注]在賈公彥的其它注疏中，在孔穎達(dá)等注釋的《五經(jīng)》中，在李淳風(fēng)等注釋的其它算經(jīng)中，都有本文所反映出的類(lèi)似特色。。故而，賈公彥、孔穎達(dá)等注疏和甄鸞、李淳風(fēng)等注釋之間的明顯差別反映了儒家與算家的差別。前兩者注疏的思路是把1升1/24升分開(kāi)計(jì)算對(duì)應(yīng)的重量，而后相加，這樣便涉及到12斤÷10升的問(wèn)題；后兩者的思路是把1升1/24升作為一個(gè)整體，直接通過(guò)計(jì)算容量、重量的換算(1920兩=96溢～100升)，由除法得到結(jié)果。在兩種不同的思路之下，賈氏與孔氏就涉及到了如何通過(guò)換算度量衡單位使得12斤可以被10升整除的問(wèn)題；而甄氏與李氏的重點(diǎn)是從120斤相當(dāng)于100升出發(fā)，把度量衡單位“斤”換成所求之單位“溢”(1斤=16兩，1溢=20兩)，進(jìn)而利用籌算。因此，在儒家算法傳統(tǒng)中度量衡單位的轉(zhuǎn)換對(duì)計(jì)算過(guò)程起了決定性作用，而在算家算法傳統(tǒng)中則只是起數(shù)量轉(zhuǎn)換的作用。

賈公彥注疏與孔穎達(dá)等《春秋左傳》注疏的差別則說(shuō)明在儒家內(nèi)部對(duì)于度量衡單位的運(yùn)用也有差別。賈氏的做法，實(shí)際上是在“1斤=16兩，1兩=24銖，1銖=10絫”的度量衡體系下，逐步把12斤被10升除的余量轉(zhuǎn)化為度量衡單位更好的量，直到最終的余量可以被10升整除。這樣一個(gè)過(guò)程中，度量衡單位的轉(zhuǎn)換起了至關(guān)重要的作用。而在求1/24升對(duì)應(yīng)重量的過(guò)程中，則也是利用單位轉(zhuǎn)化得到24的倍數(shù)(即240銖+216銖+48絫)，從而計(jì)算。孔穎達(dá)等在《禮記》中首先指出《漢書(shū)·律歷志》有另一套計(jì)量系統(tǒng)，與鄭玄所云不同。接著按鄭玄注，給出的簡(jiǎn)略計(jì)算過(guò)程，大致可以視作賈氏算法的簡(jiǎn)化版，考慮到賈公彥也是注疏《禮記》的團(tuán)隊(duì)成員之一，這或許說(shuō)明他在此注疏中起了實(shí)作的作用。然而，在《春秋左傳》中，孔穎達(dá)等給出了新的處理方法。因?yàn)樯婕暗?92兩(=12斤)被10升除的問(wèn)題，不再把“兩”化為更小的銖、絫等單位以求整除，而是直接引入一個(gè)新的重量單位“分”(1兩=10分)，使得192兩可以直接被10升整除(結(jié)果為19兩2分)。因此，新引入的單位直接簡(jiǎn)化了計(jì)算了過(guò)程[注]孔氏的這一做法，實(shí)際在唐代算書(shū)中也有來(lái)源，符合學(xué)界對(duì)于唐代簡(jiǎn)化計(jì)算方法的一般論斷。參見(jiàn)文獻(xiàn)[23]。。繼而求192分的1/24，得8分，與前相加便得到結(jié)果。

3.2 從度量衡單位看中國(guó)古代數(shù)學(xué)實(shí)作的多樣性

從本文的例子中，我們可以看出在儒家算法中，度量衡單位與計(jì)算有一種前所未見(jiàn)的密切聯(lián)系，其數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)是利用度量衡單位之間的不同進(jìn)制轉(zhuǎn)換來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。從世界數(shù)學(xué)史的角度看，這一思想與古巴比倫數(shù)學(xué)中六十進(jìn)制與度量衡單位緊密關(guān)系所反映出的思想接近。故孔穎達(dá)認(rèn)為度量衡之間的轉(zhuǎn)換也是算法[注]孔穎達(dá)云：“案筭法，十黍?yàn)閰ⅲ菂殂?，二十四銖為兩，八兩為錙?！?[16]，頁(yè)1461)。同時(shí)，對(duì)算家而言，度量衡單位在計(jì)算中的重要性雖不如儒家，但也并非無(wú)關(guān)緊要。如《孫子算經(jīng)》《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》等著作開(kāi)頭便陳述度量衡制度。因此，從度量衡單位的不同使用可以看出中國(guó)古代算法文化的多樣性。

事實(shí)上，除了對(duì)度量衡運(yùn)用不同之外，在本文所分析的例子中還呈現(xiàn)出其它差別：(1) 注疏和算法的結(jié)構(gòu)，即賈注、孔注是依據(jù)把1升1/24升分開(kāi)理解，從而逐步注解的方式，而甄注、李注則是采用依據(jù)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重構(gòu)文本的方式給予注釋。(2) 對(duì)數(shù)的理解，即賈注、孔注把1升1/24升理解成1升、1份和1升分為24份三部分，而甄注、李注則將其理解為一個(gè)整體，通過(guò)除法直接得到。(3) 計(jì)算工具和推理方式，即無(wú)疑甄注、李注的計(jì)算是依靠籌算的，但是賈注、孔注的推理自然、明白易懂，無(wú)須依賴(lài)算籌。從歷史語(yǔ)境的角度可以幫助我們理解上述差異?？追f達(dá)等領(lǐng)銜諸儒正義《五經(jīng)》，賈公彥早年也參與了《禮記正義》。永徽中，官居太學(xué)博士的賈公彥獨(dú)立注疏了《儀禮》?？追f達(dá)去世之后，諸儒對(duì)于五經(jīng)注疏仍有爭(zhēng)議，因此高宗重啟對(duì)之再注疏的工作[注]此段工作在651年([24]，頁(yè)1405；[25]，頁(yè)7303)—653年([13]，頁(yè)71)之間。。故而，儒家內(nèi)部算法仍有細(xì)微差別。甄鸞、李淳風(fēng)等注釋的目的是把籌算數(shù)學(xué)運(yùn)用于儒家經(jīng)典，自然與賈公彥、孔穎達(dá)等注疏更是不同。

本文所分析的賈公彥對(duì)《儀禮》的注疏、孔穎達(dá)等對(duì)《禮記》《春秋左傳》的注疏，都不是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，但是卻展現(xiàn)了利用度量衡單位進(jìn)制做除法的兩種鮮見(jiàn)方法。這表明儒學(xué)經(jīng)典中的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)具有獨(dú)特的研究?jī)r(jià)值，數(shù)學(xué)史研究應(yīng)拓展其史料范圍。