實(shí)現(xiàn)有效數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——基于安徽省2017—2018小學(xué)骨干教師“國培計(jì)劃”課程案例

張 昆，張乃達(dá)

（1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.江蘇省揚(yáng)州中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225001）

數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，歸根結(jié)底在于發(fā)揮數(shù)學(xué)知識資源中蘊(yùn)藏的教育價(jià)值。數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的知識相對固定（其最低限度已經(jīng)寫入課程標(biāo)準(zhǔn)，從而有據(jù)可查）。但是，運(yùn)用什么樣的方式來傳授這種已經(jīng)設(shè)定了的知識，卻隨著教師萌生與定型的教學(xué)理念不同、預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)不同、持有的教學(xué)觀念不同、獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同，理解特定數(shù)學(xué)知識性質(zhì)不同、揣摩學(xué)生掌握特定知識時(shí)的認(rèn)知方式不同、估計(jì)學(xué)生發(fā)生知識時(shí)現(xiàn)場心理活動(dòng)意向與動(dòng)機(jī)不同，存在多種選擇余地。不同的教學(xué)設(shè)計(jì)對發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教育價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果大相徑庭、迥然有別。[1]在這一系列的要素之中，教學(xué)理念處于矛盾的主要方面，它決定了其他要素的選擇與在教學(xué)活動(dòng)中的實(shí)現(xiàn)。

一、實(shí)現(xiàn)有效數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)志

為了說明有效教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)志與本質(zhì)，我們首先引入“熟知”與“真知”的概念。所謂“熟知”指的是主體從別人（包括書籍、網(wǎng)絡(luò)等載體）那里接受了現(xiàn)成的現(xiàn)象性的知識結(jié)論，而不需要通過自己對外在信息的理解進(jìn)而經(jīng)由經(jīng)緯編織建構(gòu)出知識結(jié)構(gòu)的過程；所謂“真知”指的是主體通過對外在現(xiàn)象性信息的實(shí)踐、探索，親身體悟等一系列心理活動(dòng)過程而建構(gòu)起來的知識結(jié)構(gòu)，如此，學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介都是經(jīng)由自己的意識活動(dòng)形成了相應(yīng)的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的構(gòu)建過程。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)的重要標(biāo)志之一，可以確定為將學(xué)生接受“熟知”的學(xué)習(xí)方式，轉(zhuǎn)化為知識發(fā)生上的“真知”的學(xué)習(xí)方式。[2]實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)的技術(shù)性手段在于以下彼此關(guān)聯(lián)的三個(gè)方面：

其一，分析知識，精心揭示作為結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介；其二，分析學(xué)情，細(xì)致揣摩學(xué)生發(fā)生具有具體結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)知識的那種獨(dú)一無二的轉(zhuǎn)承啟合的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)及其過渡性心理中介；其三，分析知識與學(xué)情的關(guān)聯(lián)，它取決于對兩個(gè)體系的把握即數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系與學(xué)生發(fā)生知識結(jié)構(gòu)的心理環(huán)節(jié)體系，從而，選擇關(guān)聯(lián)知識環(huán)節(jié)與學(xué)生掌握具有這種特定的結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)的切入點(diǎn)及其延展，依據(jù)知識環(huán)節(jié)，搜尋從知識環(huán)節(jié)到學(xué)生心理環(huán)節(jié)的某些線索，模擬學(xué)生生成知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的“接力”序列，將知識環(huán)節(jié)投射（有時(shí)需要啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造）到心理環(huán)節(jié)上去，使知識環(huán)節(jié)自然而然地與學(xué)生的心理環(huán)節(jié)統(tǒng)一起來。[3]研究者以自己講授小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師“國培計(jì)劃”的教學(xué)設(shè)計(jì)課程為例展開研究。

二、實(shí)現(xiàn)有效數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的課例

在淮北師范大學(xué)的小學(xué)骨干數(shù)學(xué)教師“國培計(jì)劃”項(xiàng)目的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施中，研究者有意識地、經(jīng)過改變教科書內(nèi)容而安排了一些知識點(diǎn)，通過在課堂上真實(shí)授課的形式展開培訓(xùn)活動(dòng)。如此，研究者跟蹤聽了許多學(xué)員的數(shù)學(xué)課，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)情況下，受訓(xùn)教師基本上是在“熟知”的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的。這里，我們近乎隨機(jī)地選擇近期所聽兩節(jié)課的某些主要環(huán)節(jié)的實(shí)錄，并對其做相應(yīng)的點(diǎn)評，給出研究者與受訓(xùn)學(xué)員在一起研究而得到的教學(xué)設(shè)計(jì)的過程，以此希望啟發(fā)學(xué)員理解教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo)理念與形成技術(shù)手段，達(dá)到培訓(xùn)目的。我們看兩個(gè)具體小學(xué)數(shù)學(xué)知識教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施過程的片段實(shí)錄：

課例1 兩位數(shù)乘以兩位數(shù)

當(dāng)學(xué)生完成了個(gè)位數(shù)乘以個(gè)位數(shù)的乘法“九九表”后，研究者有意識地變動(dòng)教材提供的內(nèi)容（教材以兩位數(shù)乘以一位數(shù)作為過渡的支點(diǎn)），直接進(jìn)行兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的教學(xué)活動(dòng)。下面是教師甲的教學(xué)活動(dòng)片段實(shí)錄（省略號表示思維活動(dòng)的中斷，下同）。

計(jì)算：13×15①。

師：如何計(jì)算①式？

生：……

師：這種計(jì)算兩位數(shù)乘以兩位數(shù)方法我們可以采用豎式計(jì)算。

到此，教師在黑板上給出圖1的兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的豎式計(jì)算方法，緊接著安排了十幾個(gè)習(xí)題進(jìn)行技能訓(xùn)練。

下面是教師乙的課堂教學(xué)關(guān)鍵片段實(shí)錄：

師：如何計(jì)算13×15①？

生：……

師：我們在計(jì)算13+15時(shí)，采用怎樣的方法？

生1：豎式加法，如圖2，就可以順利地得到計(jì)算結(jié)果：13+15=28。

師：這種加法的豎式計(jì)算對乘法會(huì)有幫助嗎？

生2：我模仿圖2列豎式，只是將加號改為乘號，如圖3，首先將5乘以13，得65，然后將10乘以13，得130，按相同數(shù)位對應(yīng)排列?！?/p>

師：下一步怎么辦？

生3：在圖3中，將所得到的乘法計(jì)算結(jié)果相加，如圖4，得到13×15=195。

師：圖3中，因?yàn)?0乘以15的結(jié)果130中的十位數(shù)3 已經(jīng)與65 中的十位數(shù)6 排在同一列上，本身就已經(jīng)指的是30了，因此可以省略130的個(gè)位數(shù)0，如此，不耽誤書寫的時(shí)間與速度，就是說，在實(shí)際計(jì)算的書寫時(shí)，可以用圖1替代圖4。

圖1

圖2

圖3

圖4

研究者對這兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)的評點(diǎn)：對于教師甲，從他的設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)過程的現(xiàn)象上看，只是將列豎式的這種方法直接“奉獻(xiàn)”于學(xué)生，這是此種教學(xué)設(shè)計(jì)的敗筆。對此，我們提出的問題是，學(xué)生經(jīng)由怎樣的途徑才得到這種豎式。學(xué)生發(fā)生圖1這種豎式計(jì)算方法的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)絕不是如此輕易就可以得到的，教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是啟發(fā)學(xué)生如何從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，從心底里構(gòu)建出這種豎式計(jì)算的方法來。

對于教師乙，他的教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)于教師甲，因?yàn)樗行У乩脤W(xué)生的心理遷移活動(dòng)，充分借助于學(xué)生已經(jīng)存有的對加法豎式計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，這是符合維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”的原理；從現(xiàn)象上看，也符合奧蘇貝爾的“有意義學(xué)習(xí)”原理，但是，有意義學(xué)習(xí)過程的實(shí)質(zhì)，就是符號所代表的新知識與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立非任意的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。[4]我們審視這種教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，圖3與圖2的聯(lián)系更傾向于現(xiàn)象上的聯(lián)系，而非數(shù)學(xué)知識本質(zhì)上的聯(lián)系，因此，它的缺點(diǎn)就是沒有充分利用數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在規(guī)定性，最終學(xué)生學(xué)會(huì)的知識與方法依然還是某種程度上的“熟知”，而不是“真知”。

那么，教師針對這個(gè)課例，如何通過自己的教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)過程，在課堂上啟發(fā)學(xué)生將發(fā)生認(rèn)知的“熟知”途徑，轉(zhuǎn)化為發(fā)生認(rèn)知的“真知”途徑呢？這就需要教師下大功夫，努力進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新，深入思考，揣摩學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的萌生與關(guān)聯(lián)?；谶@種思想，研究者與受訓(xùn)學(xué)員一起對這個(gè)問題進(jìn)行現(xiàn)場探究，得到改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)實(shí)錄如下：

師：如何計(jì)算①式？

生：……

師：我們學(xué)習(xí)了個(gè)位數(shù)乘以個(gè)位數(shù)的“九九表”，現(xiàn)在面臨的是兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，前面的這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可以幫助我們處理這個(gè)問題嗎？

生1：“九九表”乘法是對個(gè)位數(shù)而言的，如果將①式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為個(gè)位數(shù)乘以個(gè)位數(shù)的話，那么問題就解決了，……

師：一種非常好的想法！如何轉(zhuǎn)化？

生2：①式可以轉(zhuǎn)化為13×15=(3+10)(5+10)。由于0 乘以任何數(shù)為0，因此，10 就相當(dāng)于1 了，將十位數(shù)化為個(gè)位數(shù)，運(yùn)用乘法對加法的分配律，就可以計(jì)算了，計(jì)算的步驟是(3+10)(5+10)=15+30+50+100=195②。

師：很好！原來，兩位數(shù)乘以兩位數(shù)可以由乘法對加法的分配律將其轉(zhuǎn)化為個(gè)位數(shù)乘以個(gè)位數(shù)的方法達(dá)到目的，如此完美地解決了問題。生2 的解決方法可否濃縮一些？

生3：被乘數(shù)不變，將乘數(shù)分開，即13×15=13(5+10)=13×5+13×10=65+130=195③（在真實(shí)的課堂上，這一問，學(xué)生提出許多想法，之所以選擇生3的想法，是因?yàn)棰凼接欣趯W(xué)生思維的心理進(jìn)展，即表征為豎式性的數(shù)學(xué)計(jì)算方法）。

師：當(dāng)初我們學(xué)習(xí)加法時(shí)，可以采用豎式進(jìn)行形式化的計(jì)算，兩位數(shù)乘以兩位數(shù)也可以采用豎式的形式化計(jì)算嗎？

生4：就是將③式的計(jì)算形式轉(zhuǎn)化為豎式的計(jì)算形式，這是容易辦到的。

到此，生4 與其他學(xué)生一起進(jìn)行了相應(yīng)的試驗(yàn)與交流，經(jīng)過許多學(xué)生的幾次修正，最終獲得的圖1的豎式所表征的計(jì)算形式，得到了多位數(shù)乘以多位數(shù)的一般豎式算法。

圖1豎式計(jì)算的出現(xiàn)并不是無緣無故、異想天開、突然發(fā)生的，而是學(xué)生將具有新內(nèi)涵的數(shù)學(xué)化信息逐步地轉(zhuǎn)化為利用他們已經(jīng)學(xué)了的知識與經(jīng)驗(yàn)，將兩位數(shù)乘以兩位數(shù)化歸為個(gè)位數(shù)乘以個(gè)位數(shù)的②式，為了簡化計(jì)算步驟，將②式轉(zhuǎn)化為③式，再聯(lián)想到加法的豎式運(yùn)算方式，從③式過渡到圖1的豎式乘法，就近乎水到渠成了。學(xué)生正是通過這一系列的操作信息的活動(dòng)，理解了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的豎式乘法的來源，形成的是“真知”，同時(shí)，萌生了解題方法的聯(lián)結(jié)，為創(chuàng)造性地自己探究與解決問題打下了良好的基礎(chǔ)；相比較而言，教師甲與教師乙的教學(xué)設(shè)計(jì)，某種程度上說，都依然只是將豎式算法猶如常識一般地傳遞于學(xué)生，學(xué)生掌握這種豎式的運(yùn)算方法，事實(shí)上只是一種記憶式的“熟知”。

這是一種追求理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的結(jié)果，在知識本質(zhì)的指導(dǎo)下，揣摩學(xué)生發(fā)生認(rèn)知的心理環(huán)節(jié)，為這種設(shè)計(jì)活動(dòng)過程的出爐，奠定了基礎(chǔ)。試想，從我們研討后的教學(xué)設(shè)計(jì)出發(fā)，這樣小的年齡階段，就在教師啟發(fā)下，如此探究數(shù)學(xué)（計(jì)算）的本質(zhì)，學(xué)生假以時(shí)日，積累更豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，到中學(xué)思維力提升后，他們基本上應(yīng)該不需要老師，而依靠自己的獨(dú)立學(xué)習(xí)就可以掌握數(shù)學(xué)知識了。

課例2 異分母分?jǐn)?shù)加減法則

教科書處理“異分母分?jǐn)?shù)加減”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“同分母分?jǐn)?shù)加減”的基礎(chǔ)上展開的，因此，學(xué)生具備了強(qiáng)烈的背景，他們面臨問題的第一個(gè)想法，就是將“異分母”化為“同分母”，這種直接的、易于形成的思維路徑，掩蓋了數(shù)學(xué)知識與建構(gòu)“通分法”方法的本質(zhì)，至此，損傷了這個(gè)知識內(nèi)容的教育價(jià)值。下面是教師丙的課堂教學(xué)關(guān)鍵片段實(shí)錄：

師：如何計(jì)算①式？

生：……

師：我們發(fā)現(xiàn)，異分母分式加減，只要通過通分的手段，將它們的分母化成相同就行了。

研究者對這位教師教學(xué)設(shè)計(jì)的評點(diǎn)：這種教學(xué)設(shè)計(jì)還依然只是將異分母分?jǐn)?shù)加法法則直接奉獻(xiàn)于學(xué)生，學(xué)生形成的是“熟知”而不是“真知”，如此，損傷數(shù)學(xué)知識的教育價(jià)值。例如，在學(xué)生進(jìn)行如此的學(xué)習(xí)之后，當(dāng)我們追問：為什么要通分？或者通分的本質(zhì)到底是什么？學(xué)生的回答只能是，分母相同的分?jǐn)?shù)可以相加減，分母不同的分?jǐn)?shù)不能相加減，而這只是現(xiàn)象上的原因，而非本質(zhì)原因。那么，本質(zhì)原因是什么？

于是，在培訓(xùn)教師時(shí)，與第一個(gè)課例一樣，我們設(shè)計(jì)的前提是，先不進(jìn)行“同分母分?jǐn)?shù)”的加法運(yùn)算，直接出示“異分母分式”的加法運(yùn)算習(xí)題。研究者在分析知識、分析學(xué)情的情況下，決定創(chuàng)造性地使用教學(xué)內(nèi)容，改動(dòng)教科書的安排，直接將“異分母分?jǐn)?shù)加減”法置于分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的第一課，向?qū)W生出示最簡單的問題：如何計(jì)算由于學(xué)生沒有“同分母分?jǐn)?shù)加減”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生必須要經(jīng)由自己的探究活動(dòng)，尋找出“異分母分?jǐn)?shù)加減”的法則，伴隨著這種探究活動(dòng)過程的展開，學(xué)生能夠加深“分?jǐn)?shù)加減”的本質(zhì)理解。下面是研究者與學(xué)員一起進(jìn)行分析與探究，所完成的教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)實(shí)錄：

師：2+3 可以計(jì)算嗎？

生1：可以，2+3=5。

師：這種運(yùn)算正確嗎？2 元+3 角=？

生2：這不能計(jì)算，因?yàn)榧臃ㄊ怯袟l件的，這個(gè)條件就是需要統(tǒng)一單位，當(dāng)化成以角為單位時(shí)是可以加法計(jì)算的。

師：很好。那么，其實(shí)我們已經(jīng)統(tǒng)一了單位，規(guī)定單位為1，如何計(jì)算

師（有針對性地創(chuàng)設(shè)問題情境）：如圖5，在一個(gè)單位圓（它的面積規(guī)定為單位1）中，指的是這個(gè)單位圓面積的指的是這個(gè)單位圓面積的，如此，我們知道，它們兩者的單位都是“這個(gè)單位圓的面積”，不妨記這個(gè)面積為1 個(gè)單位面積，因而是統(tǒng)一的。那么，此時(shí)，我們?nèi)绾蔚玫降挠?jì)算結(jié)果呢？

圖5

生4：是否可以考慮縮小這個(gè)面積單位？

師：如何縮小？縮小需要達(dá)到怎樣的一個(gè)目標(biāo)“單位”？

師：生5 同學(xué)提供了解決問題的有價(jià)值的思想觀念，如何具體實(shí)施這種思想觀念？

師：原來“異分母分?jǐn)?shù)加法”可以通過縮小單位將相加的分?jǐn)?shù)變成在這個(gè)較小的單位下的整數(shù)，再利用整數(shù)加法法則解決問題。那么，如何找到這個(gè)“縮小了的單位”呢？

生6：其實(shí)，這個(gè)“縮小了的單位”是比較容易得到的，它是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其分子為1，分母為加數(shù)各自分母的最小公倍數(shù)，例如與，兩個(gè)分母是6、9，它們的最小公倍數(shù)是18，它們化成整數(shù)的單位是于是，

師：其實(shí)，這種尋找“縮小了的單位”的過程，就是為了達(dá)到將異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)的過程，同分母分?jǐn)?shù)是可以相加的。因此，我們給“異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)的過程”起一個(gè)名字，把它叫作“通分”（余下教學(xué)環(huán)節(jié)略）。

數(shù)的加法運(yùn)行的本質(zhì)是“相同單位”下的物體的個(gè)數(shù)是可以合并的，因此，同一單位下的兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)所表示的內(nèi)容的份數(shù)已經(jīng)不一樣了，其實(shí)是變相地破壞了原來的統(tǒng)一的單位，變得不能直接相加了。于是，需要啟發(fā)學(xué)生用縮小單位的手段達(dá)到目的，目標(biāo)是使得兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)在這個(gè)“縮小了的單位”下，都是它的整數(shù)倍，從而將分?jǐn)?shù)的加法轉(zhuǎn)化為整數(shù)的加法。經(jīng)由對此思路的總結(jié)與抽象，我們獲得了異分母分?jǐn)?shù)的加法法則。這個(gè)探究發(fā)現(xiàn)過程，為今后學(xué)習(xí)整式加法“合并同類項(xiàng)”“合并同類根式”等知識的學(xué)習(xí)打下了現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)；同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)是可以“公度”的這種具有數(shù)學(xué)文化價(jià)值與史學(xué)價(jià)值的數(shù)學(xué)觀念（系統(tǒng)），為今后理解無理數(shù)的概念打下了比較好的基礎(chǔ)。

三、實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師的行動(dòng)傾向

作為教師，這些整數(shù)與分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)用，我們在很小的時(shí)候就學(xué)會(huì)了，但大多數(shù)教師完全忘記了我們是在什么情況下學(xué)會(huì)的。后來，我們的智囊里又添進(jìn)了許多新的知識、新的思想和新的概念，可是它們在我們的心中，沒有一個(gè)能像我們在啟蒙時(shí)期所學(xué)的那些數(shù)的性質(zhì)那么確實(shí)、那么根深蒂固。學(xué)習(xí)這些東西的年齡正是我們對事物是“怎么樣”感到有興趣的時(shí)候，當(dāng)我們長大到問事物“為什么”是這樣的時(shí)候，這些法則經(jīng)過不斷的使用，已經(jīng)變成我們智囊中如此密切的一個(gè)部分，以至于我們把它們視為理所當(dāng)然了。[5]這是我們作為成年人的教師難于理解啟蒙時(shí)期的孩子數(shù)學(xué)計(jì)算心理活動(dòng)過程的癥結(jié)所在。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教師已經(jīng)不能恢復(fù)他在啟蒙時(shí)期掌握數(shù)學(xué)知識的那種心路歷程，致使一般教師就直接將這些知識作為“熟知”“下載”于學(xué)生的智囊，遮蔽了“真知”可能出現(xiàn)的靈光，如此，極大損傷了數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教育價(jià)值。教師傾向于回憶自己在孩童時(shí)如何發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的情景，但是，如前所述，這種回憶不太容易，由此，教師需要猜想、揣摩、試驗(yàn)、修正等手段，其中，最為重要的方法是追求對數(shù)學(xué)知識（包括觀念、方法等）本質(zhì)的理解與領(lǐng)悟。

研究者同受訓(xùn)學(xué)員一起研究而形成的教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)的這兩個(gè)課例，之所以有效，主要取決于對知識結(jié)構(gòu)體系本質(zhì)的把握。課例1 說明，整數(shù)的四則運(yùn)算的本質(zhì)就是個(gè)位數(shù)的運(yùn)算，其他的運(yùn)算都應(yīng)該轉(zhuǎn)化為個(gè)位數(shù)的運(yùn)算，具體運(yùn)算方法的形成與出現(xiàn)，就是對這種轉(zhuǎn)化的過程與結(jié)果的抽象。課例2 是在課例1 所形成的觀念的基礎(chǔ)上，領(lǐng)悟加法實(shí)施的本質(zhì)——具有相同單位，當(dāng)出現(xiàn)不同的單位時(shí)，首先化成相同的單位，這就是異分母分?jǐn)?shù)加減法通分手段的本質(zhì)來源。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要取得真正的進(jìn)步，意味著在教師的啟發(fā)與影響下，促使學(xué)生利用意識結(jié)構(gòu)中已經(jīng)掌握了的相關(guān)知識、技能、能力與觀念等要素，并以這些要素為工具，在將外在數(shù)學(xué)化信息經(jīng)緯編織成新知識結(jié)構(gòu)時(shí)，教師經(jīng)由教學(xué)設(shè)計(jì)的途徑，誘導(dǎo)學(xué)生插進(jìn)他們的“體悟”“醞釀”等的心理活動(dòng)過程。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師務(wù)必要進(jìn)行一系列的“鋪墊”“渲染”“烘托”等教學(xué)手段，細(xì)心研討產(chǎn)生具體知識結(jié)構(gòu)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)及其過渡性中介建構(gòu)的來龍去脈，由此啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)識，而不應(yīng)該迅速地將這些知識結(jié)論“下載”給學(xué)生，從而使學(xué)生掌握的不是“熟知”，而是“真知”。對此，我們一線教師要思之再思，慎之又慎！▲