一種基于多項(xiàng)式函數(shù)的VSSNLMS算法*

周勝文，石 俊，周云生，詹 磊

（北京遙測(cè)技術(shù)研究所 北京 100076）

引 言

歸一化最小均方誤差NLMS（Normalized Least Mean Square）算法是自適應(yīng)濾波應(yīng)用中最小均方誤差算法LMS族中最常用的一種算法。它的優(yōu)點(diǎn)是在輸入信號(hào)較大的情況下可避免梯度噪聲放大的干擾，因此具有更好的收斂特性。但是與LMS算法一樣，NLMS算法步長(zhǎng)的選擇對(duì)其性能的影響很大。小步長(zhǎng)可使濾波器收斂得更穩(wěn)定，但是收斂速度過(guò)慢；大步長(zhǎng)可以加快收斂速度，但是穩(wěn)態(tài)均方誤差較大。

為了解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，各種變步長(zhǎng)歸一化LMS（VSSNLMS）算法應(yīng)運(yùn)而生。VSSNLMS算法基本上遵循如下步長(zhǎng)調(diào)整原則：在初始收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，步長(zhǎng)比較大，以便有較快的收斂速度或?qū)r(shí)變系統(tǒng)的跟蹤速度；而在算法收斂后，應(yīng)保持較小的調(diào)整步長(zhǎng)，以達(dá)到較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

本文分析相關(guān)文獻(xiàn)中的變步長(zhǎng)NLMS 算法，在此基礎(chǔ)上提出一種新的基于多項(xiàng)式函數(shù)的變步長(zhǎng)NLMS算法，同時(shí)實(shí)現(xiàn)較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，并且實(shí)時(shí)計(jì)算量較小，有利于工程應(yīng)用。

1 VSSNLMS算法

最小均方（LMS）算法是一種以瞬時(shí)誤差信號(hào)平方的梯度作為均方誤差函數(shù)梯度估計(jì)的線性自適應(yīng)濾波算法，其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是一種使用廣泛的自適應(yīng)算法。但它對(duì)于初始收斂速度、時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力及穩(wěn)態(tài)誤差這三者的要求是相互矛盾的。

歸一化LMS（NLMS）算法[1]通過(guò)對(duì)迭代步長(zhǎng)因子進(jìn)行歸一化，來(lái)確保自適應(yīng)濾波算法收斂的穩(wěn)定性。但是和LMS算法一樣，它的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差也要受到步長(zhǎng)的控制，步長(zhǎng)大則收斂速度較快而穩(wěn)態(tài)誤差較大，步長(zhǎng)小則收斂速度較慢而穩(wěn)態(tài)誤差較小，因此需要采用變步長(zhǎng)算法實(shí)現(xiàn)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的平衡。

變步長(zhǎng)LMS（VSSLMS）算法[2,3]能同時(shí)獲得較快的初始收斂速度、時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力以及較小的穩(wěn)態(tài)誤差。但是對(duì)于脈沖信號(hào)而言，在脈沖間歇期內(nèi)無(wú)有用信號(hào)，而VSSLMS的步長(zhǎng)因子μ(n)在脈沖間歇期內(nèi)仍然繼續(xù)減小，導(dǎo)致在下一個(gè)有用脈沖信號(hào)到來(lái)時(shí)刻，步長(zhǎng)因子μ(n)變得太小，不能起到快速收斂的作用。

因此，諸多文獻(xiàn)將VSSLMS算法和NLMS算法相結(jié)合，提出變步長(zhǎng)歸一化LMS算法，它兼具初始收斂速度快、時(shí)變跟蹤能力強(qiáng)、穩(wěn)態(tài)誤差小、對(duì)輸入信號(hào)適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。各種VSSNLMS算法的不同在于變步長(zhǎng)因子的選取不同，VSSNLMS的濾波器權(quán)矢量更新基本公式為

式中，W(n)為濾波器的權(quán)矢量，X(n)為輸入信號(hào)矢量，e(n)為誤差信號(hào)。文獻(xiàn)[4,5]提出一種基于sigmoid函數(shù)的VSSNLMS算法（SF-VSSNLMS），其變步長(zhǎng)因子為

式中參數(shù)α主要用來(lái)控制步長(zhǎng)的變化范圍，參數(shù)β主要用來(lái)控制步長(zhǎng)變化函數(shù)的陡峭程度。該算法具有較快的收斂速度和時(shí)變跟蹤能力，然而由于sigmoid函數(shù)的本身缺陷使步長(zhǎng)因子在誤差e(n)接近零處存在較大的變化，不具備緩慢變化的特點(diǎn)，導(dǎo)致在算法收斂后仍存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

文獻(xiàn)[6]基于指數(shù)函數(shù)的VSSLMS算法和文獻(xiàn)[7]基于指數(shù)函數(shù)的VSSNLMS算法（EF-VSSNLMS），變步長(zhǎng)因子都為

該算法在誤差e(n)接近零處具有緩慢變化的特點(diǎn)，克服了SF-VSSNLMS算法在穩(wěn)態(tài)收斂階段步長(zhǎng)變化較大的不足。同時(shí)，算法具有較好的收斂速度。其缺點(diǎn)是抗噪聲能力不強(qiáng)，影響該算法在低信噪比環(huán)境下的精度。

文獻(xiàn)[8–10]提出的算法可以歸納為基于鐘形函數(shù)的VSSNLMS算法（BSF-VSSNLMS），其變步長(zhǎng)因子為

式中μmax是鐘形函數(shù)的上界，選擇為可收斂步長(zhǎng)的最大值，a與b決定了函數(shù)曲線的形狀，影響收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。b決定了小步長(zhǎng)與大步長(zhǎng)之間過(guò)渡帶的坡度，b越大，過(guò)渡帶步長(zhǎng)變化越快，曲線越陡峭。a決定了小步長(zhǎng)的誤差范圍，從而決定了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)范圍。

文獻(xiàn)[11，12]提出的算法可以歸納為基于余弦函數(shù)的VSSNLMS算法（CF-VSSNLMS），其變步長(zhǎng)因子為

式中參數(shù)β控制步長(zhǎng)曲線的取值范圍，影響算法的收斂速度；α控制步長(zhǎng)曲線在誤差接近零時(shí)的形狀。

文獻(xiàn)[13]提出的基于雙曲正割函數(shù)（hyperbolic secant function）的VSSNLMS算法（HSF-VSSNLMS），其變步長(zhǎng)因子為

式中α、β、γ為控制步長(zhǎng)因子的調(diào)節(jié)參數(shù)，α用于控制步長(zhǎng)傾斜度，α值越大，步長(zhǎng)函數(shù)收斂速度越快；β用于控制步長(zhǎng)的變化范圍，β越大，步長(zhǎng)函數(shù)范圍越大；γ用于控制步長(zhǎng)函數(shù)的衰減速度，γ越大，步長(zhǎng)函數(shù)的衰減越快。

2 基于多項(xiàng)式函數(shù)的VSSNLMS算法

從前節(jié)可以看出，各種變步長(zhǎng)NLMS算法的變步長(zhǎng)因子都是基于指數(shù)、余弦、雙曲正割等復(fù)雜函數(shù)，在工程實(shí)現(xiàn)時(shí)變步長(zhǎng)的實(shí)時(shí)更新需要進(jìn)行查表計(jì)算。由于實(shí)際誤差值e(n)在不同的輸入信號(hào)帶寬時(shí)存在較大范圍波動(dòng)，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)不同e(n)值變步長(zhǎng)因子的計(jì)算，查詢(xún)表的規(guī)模會(huì)非常大。本文提出一種基于多項(xiàng)式函數(shù)的VSSNLMS算法（PF-VSSNLMS），其變步長(zhǎng)因子是實(shí)時(shí)誤差值e(n)的多項(xiàng)式組合，非常方便實(shí)時(shí)計(jì)算。PF-VSSNLMS的變步長(zhǎng)因子為

式中參數(shù)α和β決定了變步長(zhǎng)函數(shù)曲線的形狀，影響收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。β決定了小步長(zhǎng)和大步長(zhǎng)之間過(guò)渡帶的坡度，β越大，過(guò)渡帶坡度越大，曲線越陡峭；α決定了步長(zhǎng)的取值范圍，α越大，步長(zhǎng)取值范圍越小。

圖1 α和β取值對(duì)變步長(zhǎng)因子的影響Fig.1 Influences of α and β on variable step size factor

參數(shù)α和β取不同值時(shí)變步長(zhǎng)因子如圖1所示。從圖1可以看出，參數(shù)α和β的取值范圍應(yīng)該適中，取值太小會(huì)導(dǎo)致收斂速度過(guò)慢，取值太大會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差過(guò)大，本文中選取α=4、β=16進(jìn)行算法仿真以及性能分析對(duì)比。

3 算法分析與仿真

在不同輸入信號(hào)帶寬和不同信噪比條件下，利用Matlab軟件對(duì)PF-VSSNLMS算法進(jìn)行蒙特卡洛仿真，并與基于指數(shù)函數(shù)、sigmoid函數(shù)、雙曲正割函數(shù)、余弦函數(shù)、鐘形函數(shù)的VSSNLMS算法進(jìn)行性能對(duì)比。仿真時(shí)采樣頻率fs=1000MHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=2048，濾波器階數(shù)K=128，蒙特卡洛仿真次數(shù)為100次。

3.1 不同信噪比條件下性能仿真

PF-VSSNLMS算法及其他五種同類(lèi)算法在信噪比SNR為3dB、0dB、–3dB時(shí)自適應(yīng)濾波收斂曲線如圖2所示。從圖2（a2）、（b2）、（c2）三張局部放大圖可以看出，PF-VSSNLMS算法在不同信噪比條件下，收斂速度較快，穩(wěn)態(tài)誤差較小，性能優(yōu)于其他同類(lèi)算法。

圖2 PF-VSSNLMS算法和同類(lèi)算法在不同信噪比條件下收斂曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of convergence curves of PF-VSSNLMS and other VSSNLMS algorithms in different SNR

3.2 不同輸入信號(hào)帶寬條件下性能仿真

仿真時(shí)信噪比SNR=0dB，信號(hào)頻率f0=20MHz，分別在信號(hào)帶寬為0MHz和20MHz條件下對(duì)PF-VSSNLMS算法和其他同類(lèi)算法進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真。不同輸入信號(hào)條件下算法收斂曲線如圖3所示。從圖3可以看出，隨著輸入信號(hào)的改變，PF-VSSNLMS算法在不調(diào)整參數(shù)的情況下，相比其他同類(lèi)算法，收斂速度更快，穩(wěn)態(tài)誤差更小。

圖3 PF-VSSNLMS算法和同類(lèi)算法在不同輸入信號(hào)帶寬條件下收斂曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of convergence curves of PF-VSSNLMS and other VSSNLMS algorithms in different input signal bandwidths

4 結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合現(xiàn)有變步長(zhǎng)歸一化LMS算法的優(yōu)點(diǎn)，從工程實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，采用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行變步長(zhǎng)因子調(diào)節(jié)，提出PF-VSSNLMS算法。該算法步長(zhǎng)調(diào)節(jié)參數(shù)少，實(shí)時(shí)運(yùn)算量小，在低信噪比條件下具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，而且在不同輸入信號(hào)帶寬條件下，算法的收斂曲線比較穩(wěn)定，相比其他同類(lèi)算法整體性能更好。PF-VSSNLMS算法計(jì)算量不大，易于硬件實(shí)現(xiàn)，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值，后續(xù)將繼續(xù)開(kāi)展硬件平臺(tái)的驗(yàn)證實(shí)現(xiàn)等工作。