工程意義上的高斯脈沖信號不失真采樣分析*

王云靜，張曉林，趙 雷

（北京航空航天大學 電子信息工程學院 北京 100191）

引 言

奈奎斯特采樣定理[1]給出了限帶信號的不失真采樣條件，但目前針對非限帶信號采樣的討論較少。通常認為，信號的采樣點數(shù)越多，抗噪性能越強[2]，恢復誤差越小，所以實際應(yīng)用中對于脈沖信號的采樣，為了減小信號的恢復誤差，通常會盡可能多地增加采樣點數(shù)，這對ADC的性能指標提出了很高的要求[3]，進而會大大提高電路的復雜度和硬件成本。

高斯脈沖信號作為一種典型的非限帶脈沖信號，廣泛存在于核電子學[4]和超寬帶通信[5]等領(lǐng)域。本文的研究背景是對一個高斯分布的信號進行采樣離散，進而分析誤差和離散化參數(shù)之間的關(guān)系，其本質(zhì)是研究高斯脈沖采樣問題。為了提高研究結(jié)果的通用性，本文以一種典型高斯脈沖信號為例，對其采樣問題展開分析，基于高斯脈沖信號時-頻域特征和ADC采樣原理[6]推導出高斯脈沖信號在工程應(yīng)用下的采樣邊界條件以及不同采樣點下峰值誤差達到最小值的概率，為高斯脈沖信號采樣問題提供一種工程參考。

1 高斯脈沖信號的時頻域特征

1.1 時域特征

高斯脈沖信號通常表示為

其中，Vmax和σ2分別表示高斯脈沖信號的峰值和方差。

以Vmax=1高斯脈沖信號為例（下文均以此信號為例），用N-bit量化、最大量程與信號最大幅值相等（VADC_max=Vmax）的ADC進行采樣，則ADC最小分辨率為。如圖1所示，以Δx為采樣間隔、M為采樣點數(shù)，對高斯脈沖信號進行采樣，SampleStart和SampleEnd分別是有效采樣的起始點和結(jié)束點，那么有效數(shù)據(jù)寬度為

根據(jù)ADC量化的原理，只有當采樣點處的數(shù)據(jù)幅值大于等于ADC最小分辨率LSB時，量化數(shù)據(jù)才大于0。因此，有效采樣的起始點和結(jié)束點滿足

對于有效采樣的結(jié)束點有

得出有效采樣的結(jié)束點

由于高斯脈沖信號的對稱性，可以得出有效采樣的起始點

因此，有效數(shù)據(jù)寬度為

1.2 頻域特征

1.2.1 連續(xù)高斯脈沖信號的傅里葉變換

連續(xù)高斯脈沖信號的傅里葉變換[7]為

可以看出傅里葉變換后的函數(shù)仍為高斯函數(shù)，只是幅度和方差發(fā)生了變化，如圖2所示。

圖2 高斯脈沖信號及頻譜Fig.2 Gaussian pulse signal and spectrum

1.2.2 離散后的高斯脈沖信號頻譜

由傅里葉變換的性質(zhì)可知，時域離散將導致頻域周期延拓[7]，因此以采樣頻率對連續(xù)高斯脈沖信號進行離散后，頻譜將以ωS=2πfS為周期進行延拓，如圖3。

圖3 高斯信號采樣后的頻譜Fig.3 Spectrum of sampled Gaussian signal

1.3 頻譜混疊最小的采樣條件

由圖3可以看出，頻譜搬移過程中會發(fā)生混疊，混疊點記為0ω，混疊幅度為

由ADC的采樣原理可知，只要混疊高度小于LSB，就認為沒有可分辨的混疊進入ADC輸出端的采樣數(shù)據(jù)，將對應(yīng)的采樣點數(shù)作為高斯脈沖采樣的第一個邊界條件。因此，混疊幅度需要滿足

得到混疊點

這樣，根據(jù)奈奎斯特采樣定理[1]，只要最小采樣頻率滿足

即可認為沒有可分辨的混疊進入ADC輸出端的采樣數(shù)據(jù)。

因此，頻譜混疊最小的采樣點數(shù)邊界為

2 峰值誤差最小的采樣條件

作為一種非周期信號，要保證高斯脈沖信號能夠進行工程意義上的不失真恢復的一個重要條件就是要保證其峰值可恢復。對離散數(shù)據(jù)進行平滑濾波后可得到恢復信號，其峰值不超過離散數(shù)據(jù)的最大幅度。因此要保證原始信號的峰值可恢復，必須保證采樣數(shù)據(jù)相對原始信號的峰值誤差足夠小。ADC的最小分辨率為1個LSB，因此ADC輸出的量化數(shù)據(jù)相對于原始信號的峰值誤差最小值為1個LSB。

設(shè)最靠近峰值點的采樣點位置為[k,f(k)]，只要采樣數(shù)據(jù)f(k)相對信號峰值的誤差在一個LSB以內(nèi)，即可保證采樣數(shù)據(jù)f(k)經(jīng)過量化后能夠取到最小峰值誤差LSB。則要求

求出臨界點為

一定能夠保證采樣數(shù)據(jù)最大幅度相對于原始信號峰值的誤差小于一個LSB，從而保證經(jīng)過量化后的峰值誤差小于ADC的最小分辨率LSB，達到工程意義上的峰值誤差最小。

求得使峰值誤差最小的采樣點數(shù)邊界為

M即為高斯脈沖信號的峰值采樣條件。

3 高斯脈沖信號的最小采樣點數(shù)

以8-bit的ADC為例，對采樣點數(shù)的兩種邊界M1和M2進行分析和仿真，結(jié)果如圖4。

圖4 兩種邊界條件比較Fig.4 Comparison of two boundary conditions

由圖4可以看出，在可見范圍內(nèi)，有M1＜M2，而離散數(shù)據(jù)的頻譜混疊小于LSB是高斯脈沖信號采樣的最基本條件，因此采樣點數(shù)至少應(yīng)該滿足M。

4 峰值誤差為最小值的概率

4.1 M≥M2時，峰值誤差為最小值的概率

因此，當實驗次數(shù)無窮大時，用頻率無限逼近概率[8]，容易得到當采樣點數(shù)時，峰值誤差為最小值的概率等于1。

圖5 時的峰值誤差Fig.5 Peak error when

不同采樣點下，峰值誤差能夠取到最小值的概率問題可以等效為間隔ΔxMx的采樣脈沖落在區(qū)域的幾何概型問題[9]，則不同采樣點數(shù)對應(yīng)的峰值誤差為最小的概率如式（17）所示。由式（17）可以看出，峰值誤差為最小的概率與σ無關(guān)。

圖6 時，峰值誤差能夠達到最小值的區(qū)域Fig.6 The area of the minimum peak error when

5 仿真結(jié)果及性能分析

5.1 高斯脈沖信號的采樣和恢復仿真

以8-bit的ADC為例，根據(jù)式（13）～式（16）的推導，取最小采樣點數(shù)，對σ=5高斯脈沖信號進行采樣和恢復，仿真結(jié)果如圖7所示。

5.2 峰值誤差取到最小值的概率仿真

以8-bit的ADC為例，對σ=5、均值隨機變化的高斯脈沖信號采樣量化，每次隨機試驗中都對M進行一次M∈[10,40]的參數(shù)掃描，完成105次蒙特卡洛仿真，累計采樣數(shù)據(jù)f(k)的峰值誤差小于LSB的次數(shù)，最終用采樣數(shù)據(jù)f(k)的峰值誤差小于LSB的頻率逼近峰值誤差能夠達到最小值的概率，得到峰值誤差能夠達到最小值的概率如圖8所示。

圖7 σ=5時的采樣和恢復Fig.7 Sampling and recovery of Gaussian signal when σ=5

圖8 N=8bit時，不同采樣點數(shù)M下，峰值誤差能夠取到最小值的概率Fig.8 Probability of the minimum peak error for different sampling points M when N=8 bit

對圖8的峰值誤差能夠達到最小值的概率的仿真數(shù)據(jù)進行分段擬合，得到概率曲線如圖9所示，擬合置信度為95%。

由圖8的仿真結(jié)果和圖9的擬合結(jié)果可以看出，采樣點數(shù)取不同值（記為M=Mx）時，峰值誤差能夠達到最小值的概率為特殊地，當采樣點數(shù)時峰值誤差為最小值的概率為1，符合式（17）關(guān)于峰值誤差能夠達到最小值的概率的推導結(jié)果。

在以上仿真結(jié)果的基礎(chǔ)上，對σ（σ∈[5,10]，以1為步進）和M（M∈[10,100]，以5為步進）同時進行參數(shù)掃描，得到峰值誤差能夠達到最小值的概率與σ之間的關(guān)系，仿真結(jié)果如圖10所示。可以看出，峰值誤差能夠達到最小值的概率基本不隨σ變化，符合式（17）的理論分析結(jié)果。

圖9 N=8 bit時，擬合得到的峰值誤差能夠取到最小值的概率曲線Fig.9 The fitting curve of the probability of minimum peak error when N=8 bit

圖10 N=8 bit時，對σ和M進行參數(shù)掃描，峰值誤差能夠達到最小值的概率Fig.10 Probability of the minimum peak error for different σ and M when N=8 bit

6 結(jié)束語

本文對高斯脈沖信號的采樣問題進行討論，以ADC的原理為基礎(chǔ)，對高斯脈沖信號的采樣條件進行了分析。分析高斯脈沖信號的時頻域特征及其采樣的特殊性，推導出高斯脈沖信號的采樣條件和不同采樣點下的峰值誤差能夠達到最小值的概率。仿真結(jié)果表明，本文基于ADC原理提出的采樣條件能夠保證高斯脈沖信號以最小誤差采樣，提出的概率模型能夠比較準確地估計不同采樣點下峰值誤差能夠達到最小值的概率，對高斯脈沖信號的采樣和重建具有一定的指導意義。